Objetivo. Estudo do efeito de sistemas de forças concorrentes.

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1 Univesidade Fedeal de Alagas Cent de Tecnlgia Cus de Engenhaia Civil Disciplina: Mecânica ds Sólids 1 Códig: ECIV018 Pfess: Eduad Nbe Lages Estática das Patículas Maceió/AL

2 Objetiv Estud d efeit de sistemas de fças cncentes. T AB T AC W caia

3 Resultante de Duas Fças Cncentes Rega d Paalelgam paa Adiçã de Fças as: Duas fças atuand numa patícula pdem se substituídas p uma única fça, chamada esultante, btida taçand a diagnal d paalelgam que tem p lads as duas fças dadas. P R A Q Obsevações: As fças cncentes devem apesenta igens em cmum; As inclinações das fças devem se bedecidas; Os tamanhs ds vetes devem bedece a uma única escala de cnvesã.

4 Resultante de Duas Fças Cncentes Eempl: 25º 4,5 kn 50º 6 kn Duas fças sã aplicadas à cabeça de um paafus pes em uma viga. Detemine a intensidade, a dieçã e sentid de sua esultante.

5 Resultante de Duas Fças Cncentes Eempl (cntinuaçã): Pincípi da Tansmissibilidade Lei d Paalelgam 25º 4,5 kn 6 kn 6,5 kn 88º 25º 4,5 kn 50º 50º 6 kn Respsta: 6,5 kn 88º

6 Resultante de Duas Fças Cncentes Rega d Tiângul: Da lei d paalelgam é pssível dedui um ut métd paa se detemina a fça esultante. P R A Q O mesm vet fça esultante pde se deteminad cmbinand-se s dis vetes fça iginais na seqüência pnta-a-cauda e, em seguida, unind-se a cauda d pimei desenhad à pnta d segund desenhad. P R Q A dem da cmbinaçã ds vetes iginais nã altea a fça esultante (a sma de vetes é cmutativa).

7 Identidades Tignméticas paa Sluções Analíticas c β α b a γ Teema angula de Tales: α + β + γ 180 sinα a Lei ds sens: sin β b sin γ c Lei ds c-sens: a b c b a a c + c + b bc csα 2ac cs β 2abcsγ

8 Identidades Tignméticas paa Sluções Analíticas Eempl Antei: 4,5 kn Rega d Tiângul 25º 6 kn 4,5 kn 25º 50º Cm 6 kn 50º 50º α Lei ds c-sens: R θ R 4, ,5 6 cs75 R 6,502 kn Lei ds sens: sin 75 R sinα 4, α + θ 180 α 41,954 θ 88,046

9 Resultante de Mais de Duas Fças Cncentes A pincípi é pssível encnta a fça esultante aplicand-se sucessivamente a lei d paalelgam u a ega d tiângul. Aplicaçã sucessiva da lei d paalelgam: R P R PQ S A Q A dem da cmbinaçã ds vetes iginais nã altea a fça esultante (a sma de vetes é cmutativa).

10 Resultante de Mais de Duas Fças Cncentes Rega d Plígn gn: O vet fça esultante de um sistema de váias fças cncentes pde se deteminad cm uma etensã da ega d tiângul, cmbinand-se s vetes fça iginais na seqüência pnta-a-cauda e, em seguida, unind-se a cauda d pimei desenhad à pnta d últim desenhad. S A P Q R P Q S A dem da cmbinaçã ds vetes iginais nã altea a fça esultante (a sma de vetes é cmutativa).

11 Eecíci ci: Resultante de Fças Cncentes 120 N P Uma estaca cavada n sl é slicitada p dis techs de cda. Impnd que a esultante das duas fças aplicadas à estaca seja vetical, detemine: a) O val de α paa qual a intensidade de P seja mínima; b) A cespndente intensidade de P.

12 Cmpnentes de uma Fça Anteimente vims que um sistema de duas u mais fças cncentes pde se substituíd p uma fça única que gea mesm efeit sbe cp em que atua. Recipcamente, uma fça única pde se substituída p duas u mais fças que, juntas, geam mesm efeit sbe cp em que atuam. Essas fças sã chamadas de cmpnentes da fça iginal, e pcess de substituiçã da iginal p elas é denminad decmpsiçã ds cmpnentes da fça. Paa cada fça eiste um núme infinit de pssíveis cnjunts de cmpnentes.

13 Cmpnentes de uma Fça Pensand n pcess pátic de decmpsiçã de uma fça em duas utas, paa cas plan, duas situações pdem se ppstas: 1) Um ds dis cmpnentes, P, é cnhecid P F O segund cmpnente é btid aplicand-se a ega d tiângul unind-se a pnta d cmpnente cnhecid à pnta da fça iginal. P Q F

14 Cmpnentes de uma Fça 2) A linha de açã de cada cmpnente é cnhecida F A intensidade e sentid ds cmpnentes sã btids aplicand-se a lei d paalelgam taçand-se etas, a pati da pnta da fça iginal, paalelas às linhas de açã dadas. P F Q

15 Cmpnentes Retangulaes de uma Fça Anteimente fam apesentads métds gáfics (lei d paalelgam, ega d tiângul e ega d plígn), assim cm um métd analític (deivad da ega d tiângul), paa cmpsiçã de fças cncentes. Os métds gáfics fics, a eempl da ega d plígn, pdem se aplicads na deteminaçã da fça esultante de um sistema de fças cncentes, pém incpa a cálcul impecisões ineentes a pcess de manipulaçã gáfica. O métd analític tic, deivad da ega d tiângul, está limitad à cmpsiçã de duas fças cncentes. Paa cas de mais fças é pecis aplica este métd analític epetidamente. O póim pass seá defini um métd analític pátic que pssa tabalha um sistema cm uma quantidade qualque de fças cncentes.

16 Cmpnentes Retangulaes de uma Fça Anteimente fi discutid cnceit de cmpnentes de uma fça, em paticula, quand se estabelecem, n cas plan, duas dieções de decmpsiçã, tend cm supte a lei d paalelgam. Estabelecend dieções de decmpsiçã pependiculaes, paalelgam se tansfma num etângul, que leva a epessões analíticas simples paa s cmpnentes da fça (cmpnentes catesians u etangulaes). F O F θ F F F F P F Q F + F F ˆi F F csθ F ˆj F F sinθ

17 Adiçã de Fças pela Sma ds Cmpnentes Independentemente das duas dieções de decmpsiçã, s cmpnentes da fça esultante de um cnjunt de fças cncentes pdem se deteminads atavés das smas ds cmpnentes das fças envlvidas. R S P + Q + S R R Q P S î S ĵ P ĵ î Q Q ĵ P î ( P ˆi + P ˆj ) + ( Q ˆi + Q ˆj ) + ( S ˆi + S ˆj ) ( P + Q + S ) ˆi + ( P + Q + S )j ˆ R R

18 Adiçã de Fças pela Sma ds Cmpnentes Eempl: 210 cm C 200 cm 702 N A º 450 N Sabend que a taçã na haste AC vale 638 N, detemine a esultante das tês fças eecidas n pnt A da viga AB. B

19 Adiçã de Fças pela Sma ds Cmpnentes Eempl (cntinuaçã): 638 N 5 actan 12 22,6 A 200 actan º 702 N 450 N 43,6 R 638 cs 43, cs 202, cs307 R 84,7 N R 638 sin 43, sin 202, sin 307 R 189,2 N

20 Adiçã de Fças pela Sma ds Cmpnentes Eempl (cntinuaçã): A 84,7 N 65,9º 189,2 N 207,3 N R R R R θ actan R R 207,3 N θ 65,9

21 Equilíbi de uma Patícula Quand a fça esultante equivalente de TODAS as fças cncentes que atuam numa patícula é igual a e, a patícula está em equilíbi. F N Plígn de fças Equilíbi F N A F N F 2 779,4 N Plígn fechad Algebicamente equilíbi cespnde a0r que em tems ds cmpnentes etangulaes pde se epess cm R F 0 R F 0

22 Pblemas que Envlvem Equilíbi de uma Patícula A maiia ds pblemas que tatam d equilíbi de uma patícula se enquada em duas categias: Veificaçã ã: quand tdas as fças que atuam na patícula sã cnhecidas e se deseja sabe se a cndiçã de equilíbi é u nã atendida. Impsiçã ã: quand algumas das fças que atuam na patícula sã descnhecidas e se deseja sabe quem sã essas fças descnhecidas que gaantem a cndiçã de equilíbi.

23 Pblemas que Envlvem Equilíbi de uma Patícula Paa identificaçã da situaçã física eal d pblema de equilíbi fa-se um esbç cnhecid cm diagama espacial. Alguns pblemas pdem se estabelecids: Quã esistentes devem se s cabs? Quã esistentes devem se s fiades das ldanas? Quã ftes devem se s peáis?

24 Pblemas que Envlvem Equilíbi de uma Patícula Paa s pblemas que envlvem equilíbi de uma patícula, esclhe-se uma patícula SIGNIFICATIVA e taça-se um diagama sepaad, denminad de diagama de cp live, mstand essa patícula e tdas as fças que atuam sbe ela.

25 Pblemas que Envlvem Equilíbi de uma Patícula T ChB T ChC θ B 50º 30º C α T AB T AC T AB T AC T AB T AC T AB T AC 50º A 30º T HE T HD W caia

26 Pblemas que Envlvem Equilíbi de uma Patícula Eempl: Dis cabs estã ligads em C e sã caegads tal cm msta a figua. Visand a especificaçã ds techs de cab AC e BC, detemine as tações ns mesms.

27 Pblemas que Envlvem Equilíbi de uma Patícula Eempl (cntinuaçã): Diagama de Cp Live 36 actan 48 T AC 36,9 C T BC 60 actan 63 43, N

28 Pblemas que Envlvem Equilíbi de uma Patícula Eempl (cntinuaçã): Impsiçã d Equilíbi T AC 36,9 C T BC 43,6 R R 2700 N 0 T cs 43,6 + T cs143, cs 270 BC AC 0 T sin 43,6 + T sin143, sin 270 BC AC 0 0 0,724 T BC 0,800 T AC 0,690 T BC + 0,600 T AC T AC T BC 1981,8 N 2189,8 N

29 Pblemas que Envlvem Equilíbi de uma Patícula Eecíci ci: P Dis cabs estã ligads em C e sã caegads tal cm msta a figua. Sabend-se que s techs de cab AC e BC suptam até 2400 N e 2200 N, espectivamente, detemine a máima fça hintal P que pde atua n aanj.

30 Pblemas que Envlvem Equilíbi de uma Patícula Eecíci ci: P Ns cabs d aanj mstad, a mai taçã pemitida é de 300 N n cab AC e de 400 N n cab BC. Detemine a mai fça P que pde se aplicada em C e val cespndente de α.

31 Cmpnentes Retangulaes de uma Fça a n Espaç Anteimente fi discutid cnceit de cmpnentes de uma fça, em paticula, quand se estabelecem, n cas plan, duas dieções tgnais de decmpsiçã, levand as denminads cmpnentes etangulaes (u catesians) da fça. F O F θ F F F F F + F F ˆi F F csθ F ˆj F F sinθ O bjetiv, p ha, cnsiste em estende a idéia de decmpsiçã de fças n espaç. Paa tal seã necessáis tês dieções independentes de decmpsiçã, que p simplicidade seã cnsideadas tgnais ente si.

32 Cmpnentes Retangulaes de uma Fça a n Espaç F F O F F F F + F + F Cm defini esses cmpnentes a pati de infmações de fácil identificaçã n diagama espacial?

33 Cmpnentes Retangulaes de uma Fça a n Espaç F θ F F h F sinθ O φ F F F F F F h F ˆi F ˆj F kˆ F F h F F F F h csφ csθ sinφ F F sinθ csφ F F sinθ sinφ

34 Cmpnentes Retangulaes de uma Fça a n Espaç F θ F F O θ θ F F F F F F ˆi ˆj F kˆ F F F F F F csθ csθ csθ Os c-sens de θ, θ e θ sã cnhecids cm c-sens dietes da fça F.

35 Cmpnentes Retangulaes de uma Fça a n Espaç F F + F + F F F ˆi F F csθ F F ˆj F F csθ F F kˆ F F csθ F F csθ ˆi ˆj kˆ + F csθ + F csθ F F( csθ ˆi cs ˆj cs kˆ ) + θ + θ F F λˆ O vet fça pde se gead d pdut de sua intensidade p um vet unitái na mesma dieçã e sentid.

36 Cmpnentes Retangulaes de uma Fça a n Espaç F λˆ F Esta fma de epesentaçã é inteessante pis em muits pblemas sã cnhecids dis pnts de efeência a lng da linha de açã da fça em questã. λˆ MN MN λˆ ON ON OM OM

37 Adiçã de Fças n Espaç pela Sma ds Cmpnentes R Independentemente das tês dieções de decmpsiçã, s cmpnentes da fça esultante de um cnjunt de fças cncentes pdem se deteminads atavés das smas ds cmpnentes das fças envlvidas. S P + Q + S R Q P ( P ˆi + P ˆj + P kˆ ) + ( Q ˆi + Q ˆj + Q kˆ ) + ( S ˆi + S ˆj + S kˆ ) R ( P + Q + S ) ˆi + ( P + Q + S ) ˆj + ( P + Q + S )kˆ S î S ĵ S kˆ P kˆ Q kˆ P ĵ î Q Q ĵ P î R R R

38 Adiçã de Fças n Espaç pela Sma ds Cmpnentes Eempl: À baa AO é aplicada uma caga P. Sabend que a taçã n cab AB é de 850 N e que a esultante da caga P e das fças aplicadas pels cabs em A deve te a dieçã de AO, detemine a taçã n cab AC e a intensidade de P.

39 Adiçã de Fças n Espaç pela Sma ds Cmpnentes Eempl (cntinuaçã): 850 N T AC Cm a fça esultante dessas tês fças deve te a dieçã de AO, que é a dieçã, s cmpnentes nas dieções e devem se nuls. P

40 Adiçã de Fças n Espaç pela Sma ds Cmpnentes Eempl (cntinuaçã): P 0; P; 0 T AB λˆ AB ( 600; 360; 270) ΑΒ AB ( 600; 360; 270) ( 0,800; 0,480; 0,360) ( 0,480; 0,360) 680; 408; T 850 0,800; ( 306)N AB ( ) λˆ T AB T AC T AC ΑΒ λˆ T AC ΑC λˆ AC ( 600; 320; 510) ΑC AC ( 600; 320; 510) ( 0,706; 0,376; 0,600) ( 0,706T ; 0,376T ; 0, 600T ) AC AC AC

41 Adiçã de Fças n Espaç pela Sma ds Cmpnentes Eempl (cntinuaçã): R P ,376TAC 0 R ,600T AC 0 T AC 510 N P 599,76 N

42 Equilíbi de uma Patícula n Espaç Quand a fça esultante equivalente de TODAS as fças cncentes que atuam numa patícula é igual a e, a patícula está em equilíbi. Algebicamente equilíbi cespnde a0r que em tems ds cmpnentes etangulaes pde se epess cm R F 0 R F 0 R F 0

43 Equilíbi de uma Patícula n Espaç Eempl: Um caite de 7500 N é sustentad p tês cabs. Detemine a taçã em cada cab.

44 Equilíbi de uma Patícula n Espaç Eempl (cntinuaçã): Diagama de Cp Live T AB T AC T AD 7500 N

45 Equilíbi de uma Patícula n Espaç Eempl (cntinuaçã): P ( 0; 7500; 0)N T AB λˆ T AB ΑΒ ΑΒ AB λˆ ( 0,480; 0,800; 0,360) AB T AC λˆ T AC ΑC λˆ ΑC AC AC ( 0,000; 0,882; 0,471) T AD λˆ T AD ΑD ΑD AD λˆ ( 0,519; 0,779; 0,351) AD

46 Equilíbi de uma Patícula n Espaç Eempl (cntinuaçã): R R R 0 0 0,480T ,519T AB AD AB AC AD ,800T + 0,882T + 0,779T AB AC AD 0 0 0,360T + 0,471T 0,351T ,480T AB + 0,519T AD 0,800T 0,882T + 0,779T 0 AB + AC AD 0,360T + 0,471T 0,351T AB AC AD T AB T AC T AD 2676,2 N 3890,0 N 2475,1 N