Instituto Tecnológico de Aeronáutica. Prof. Carlos Henrique Q. Forster Sala 121 IEC

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1 CCI-6 Cmputaçã Gráica Transrmações D e Prjeções Institut Tecnlógic de Aernáutica Pr. Carls Henriue Q. Frster Sala IEC

2 Tópics da aula Gemetria Prjetiva Tridimensinal Transrmações em D Representaçã de Rtações Transrmaçã de Crp rígid em D Prjeçã rtgráica Prjeçã perspectiva Pnts de uga CCI-6 Cmputaçã Gráica ITA IEC Transrmações D e Prjeções-/9

3 Livr para acmpanhar essa aula Mathematical Elements r Cmputer Graphics (nd editin) D. F. Rgers, J. A. Adams McGra-Hill Capítuls e pp 6-6 Fundaments de Gemetria Cmputacinal Resende, R. J., Stli, J. IX Escla de Cmputaçã, Recie, 994 Capítul pp 5-76 Fle CCI-6 Cmputaçã Gráica ITA IEC Transrmações D e Prjeções-/9

4 Gemetria Prjetiva D é espaç prjetiv rientad. Pnts Os pnts sã representads pr uádruplas de crdenadas hmgêneas [ ] T das uais se eclui [ ] T e crrespndem a pnt [ / / ] T / em crdenadas cartesianas para > (,, ) se u a pnt [ / / ] T, à direçã d vetr / d além se <. CCI-6 Cmputaçã Gráica ITA IEC Transrmações D e Prjeções-4/9

5 Plan Plans sã deinids pr uádruplas de ceicientes hmgênes pnt [ ] T Y Z X Y, Z, W pertence a plan se X W., e um Um plan divide s espaç em dis lads. De acrd cm sinal da epressã X Y Z W um pnt [ ] T está d lad psitiv u d lad negativ d plan. O plan n ininit é deinid cm Ω [ ] T espaç cm s pnts ue > e além, <., ue deine auém d CCI-6 Cmputaçã Gráica ITA IEC Transrmações D e Prjeções-5/9

6 CCI-6 Cmputaçã Gráica ITA IEC Transrmações D e Prjeções-6/9 Orientaçã d tetraedr sgn ),,, ( p p p p Obtençã d plan pr pnts [ ], W Z Y X p p p,,, W Z Y X Obtençã d pnt intersecçã de plans (ue nã pssuem reta cmum) pela órmula dual.

7 CCI-6 Cmputaçã Gráica ITA IEC Transrmações D e Prjeções-7/9 Transrmações Gemétricas em D Transrmaçã 44 de crdenadas hmgêneas (transrmaçã prjetiva em D) h h h h s r p n j i g m e d l c b a

8 Partes da matri de transrmaçã: a b c d e g i j Transrmaçã linear em D. l m n Vetr de translaçã em D. [ r] [ s ] escala glbal p perspectiva. CCI-6 Cmputaçã Gráica ITA IEC Transrmações D e Prjeções-8/9

9 CCI-6 Cmputaçã Gráica ITA IEC Transrmações D e Prjeções-9/9 Escala em D j e a j e a Eempl: aplicar escala a paralelepíped / /

10 CCI-6 Cmputaçã Gráica ITA IEC Transrmações D e Prjeções-/9 Escala glbal / euivale à TranslaçãD n m l n m l

11 CCI-6 Cmputaçã Gráica ITA IEC Transrmações D e Prjeções-/9 Rele D Rele em relaçã a plan. Cisalhament c c Deslca e em unçã de. Cisalhaments ns utrs plans sã análgs.

12 CCI-6 Cmputaçã Gráica ITA IEC Transrmações D e Prjeções-/9 Rtações em D cs sin sin cs θ θ θ θ R Rtaçã em trn d ei n sentid anti-hrári. cs sin sin cs θ θ θ θ R Rtaçã em trn d ei n sentid anti-hrári.

13 R csθ sinθ sinθ csθ Rtaçã em trn d ei n sentid anti-hrári. O determinante é. As linhas sã vetres rtnrmais (unitáris e rtgnais). Pr iss R T R A cmpsiçã de rtações é assciativa, mas nã é cmutativa. A mudança da rdem das rtações pde dar resultads dierentes. CCI-6 Cmputaçã Gráica ITA IEC Transrmações D e Prjeções-/9

14 CCI-6 Cmputaçã Gráica ITA IEC Transrmações D e Prjeções-4/9 Eempl: Rtaçã de 9 graus em e em. Depis em rdem inversa.

15 Eercíci: Cmpsiçã de Transrmações Rtaçã em trn de um ei arbitrári. Ei passa pr [ ] T Rtaçã pr um ângul δ.,. ( ) cm cssens de direçã c c, c - Transladar de (,, ) para ei passar pela rigem. - Rtacinar em trn d ei até ei n plan. - Rtacinar em trn d ei até ei cincidir cm ei. 4- Rtacinar δ em trn d ei 5- Transrmaçã inversa 6- Transrmaçã inversa 7- Transrmaçã inversa CCI-6 Cmputaçã Gráica ITA IEC Transrmações D e Prjeções-5/9

16 CCI-6 Cmputaçã Gráica ITA IEC Transrmações D e Prjeções-6/9 T d c d c c c d α sinα, cs d c d c d c d c R T

17 CCI-6 Cmputaçã Gráica ITA IEC Transrmações D e Prjeções-7/9 d c β β sin, cs d c c d R T cs sin sin cs 4 δ δ δ δ R T Cmpsiçã: 4 T T T T T T T

18 Outrs Eempls de Cmpsiçã de Transrmações: Rtações e Translações Rtaçã pr ei paralel a um ei crdenad. Rele sbre plan arbitrári n espaç CCI-6 Cmputaçã Gráica ITA IEC Transrmações D e Prjeções-8/9

19 CCI-6 Cmputaçã Gráica ITA IEC Transrmações D e Prjeções-9/9 Transrmações Ains em D n m l P j i g e d c b a P (crdenadas cartesianas) Ou ainda, em crdenadas hmgêneas: P n j i g m e d l c b a P Preservam paralelism de retas e de plans e as cmbinações cnveas.

20 CCI-6 Cmputaçã Gráica ITA IEC Transrmações D e Prjeções-/9 Transrmações de Crp Rígid em D Rtações e translações em D e suas cmpsições. n m l P j i g e d c b a P cj bi ag j ei dg c be ad j i g e d c b a e j i g e d c b a Restrições nã-lineares

21 Representaçã de Rtações em D graus de liberdade Ânguls de Euler: rtaçã em, rtaçã em e rtaçã em. Ânguls de Euler II: ei pela rigem e ângul de rtaçã (regra mã direita). Matri rtnrmal psitiva. Quatérnins unitáris. Prblema ds ânguls de Euler é chamad Gimbal lck : para uma dada cniguraçã, um grau de liberdade é perdid. CCI-6 Cmputaçã Gráica ITA IEC Transrmações D e Prjeções-/9

22 Lembrand númers cmples i nde i. ( i Sma ) ( ) translaçã. Escala α ( α) i( α) Prdut Fórmula de Euler Prdut pr escala unirme. ( i)( i) i( ) θ e i csθ i sinθ e iθ iθ e : csθ sinθ ( csθ sinθ ) i Númer cmple unitári representa uma rtaçã em D. CCI-6 Cmputaçã Gráica ITA IEC Transrmações D e Prjeções-/9

23 Quatérnins Vetr de 4 cmpnentes (sma de um cmpnente escalar e um vetr D). Prdut, assciativ, mas nã cmutativ r p r p p r p p p Prdut escalar de uartenhões p p Nrma: p CCI-6 Cmputaçã Gráica ITA IEC Transrmações D e Prjeções-/9

24 Quartenhã unitári tem nrma igual a. Rtaçã de θ em trn de um vetr unitári ω r é representada pr θ θr sin cs ω Ntar ue deine a mesma rtaçã ue e ângul simultaneamente., vist ue inverte a rientaçã d ei Quartenhã cnjugad: * Inverte apenas cssen : rtaçã inversa para uartenhã unitári: * * (para uartenhã unitári) CCI-6 Cmputaçã Gráica ITA IEC Transrmações D e Prjeções-4/9

25 CCI-6 Cmputaçã Gráica ITA IEC Transrmações D e Prjeções-5/9 Fórmula da rtaçã * ) ( ) ( A cmpsiçã de rtações resulta da multiplicaçã de uartenhões * * * * ) )( )( ( ) ) ( ( ) ( ) ( p p p p p p A matri de rtaçã crrespndente é ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( R

26 Para s ânguls de Euler,, a matri de rtaçã é dada pr α β, γ cs β csγ cs β sinγ R sinα sin β csγ csα sinγ sinα sin β sinγ csα csγ csα sin β csγ sinα sinγ csα sin β sinγ sinα csγ sin β sinα cs β csα csγ A rtaçã em trn d vetr n [ n n n ] T R n I csθ ( csθ ) nn nn Os autvalres de R sã unitári é n n n n n, csθ i sinθ n n n n sinθ n n n n n n n ±. O aut-vetr de é vetr n (ei). CCI-6 Cmputaçã Gráica ITA IEC Transrmações D e Prjeções-6/9

27 CCI-6 Cmputaçã Gráica ITA IEC Transrmações D e Prjeções-7/9 Prjeçã Ortgráica Reduçã para um espaç de dimensã menr. N cas da prjeçã rtgráica, perdems a inrmaçã d ei. P u simplesmente P W Z Y X

28 Prjeçã Perspectiva Várias rmulações pssíveis P C C é centr de prjeçã, é a distância cal (C a plan-imagem). CCI-6 Cmputaçã Gráica ITA IEC Transrmações D e Prjeções-8/9

29 CCI-6 Cmputaçã Gráica ITA IEC Transrmações D e Prjeções-9/9 Em crdenadas hmgêneas: P, u entã P

30 Outr mdel. P C O plan-imagem agra está sbre a rigem (e nã centr de prjeçã). CCI-6 Cmputaçã Gráica ITA IEC Transrmações D e Prjeções-/9

31 CCI-6 Cmputaçã Gráica ITA IEC Transrmações D e Prjeções-/9 Em crdenadas hmgêneas: P

32 Mais um mdel P C Agra centr de prjeçã está à rente d plan-imagem. CCI-6 Cmputaçã Gráica ITA IEC Transrmações D e Prjeções-/9

33 CCI-6 Cmputaçã Gráica ITA IEC Transrmações D e Prjeções-/9 Em crdenadas hmgêneas: P

34 Pnts de Fuga Os pnts de uga numa imagem de perspectiva sã s pnts em ue as imagens das retas paralelas de uma cena se encntram. Para nós, é simplesmente a prjeçã perspectiva de pnts n ininit. Se a transrmaçã de um pnt n ininit resultar um pnt n ininit, as retas paralelas nauela direçã sã também paralelas na imagem. Se a transrmaçã de um pnt n ininit resultar um pnt init, as retas paralelas nauela direçã sã cncrrentes na imagem sbre esse pnt. CCI-6 Cmputaçã Gráica ITA IEC Transrmações D e Prjeções-4/9

35 CCI-6 Cmputaçã Gráica ITA IEC Transrmações D e Prjeções-5/9 Pnts de Fuga Resultad da seguinte matri de prjeçã p p Aplicand a pnt n ininit n ei / p p p

36 CCI-6 Cmputaçã Gráica ITA IEC Transrmações D e Prjeções-6/9 Resultad da seguinte prjetividade: p p p r p Aplicand as pnts n ininit da direçã ds eis, e e à rigem:, /, /, / r p r p

37 Eempl encntrar s pnts de uga da seguinte transrmaçã para as retas paralelas a ei, a ei e a ei CCI-6 Cmputaçã Gráica ITA IEC Transrmações D e Prjeções-7/9

38 Respsta: O pnt de uga de Em crdenadas cartesianas é pnt para ei é u ( 6.4,.5). da imagem. Os pnts de uga para ei e sã respectivamente (,.5) e (.4,.5) CCI-6 Cmputaçã Gráica ITA IEC Transrmações D e Prjeções-8/9

39 Eempl Translaçã para tra e para rente. Mudança da distância cal em cada um ds mdels de prjeçã perspectiva. Encntrar s pnts de uga para uma dada matri de transrmaçã. Encntrar a matri de prjeçã rtgráica numa determinada direçã. CCI-6 Cmputaçã Gráica ITA IEC Transrmações D e Prjeções-9/9