Difração. I. Difração como conseqüência do princípio de Huygens-Fresnel

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1 Nesta prática, estudarems fenômen de difraçã. Em particular, analisarems fendas retangulares simples e duplas e redes de difraçã. Medidas quantitativas d padrã de difraçã ns permitirã, entre utras cisas, determinar cmpriment de nda da luz. Sempre que surgir uma dúvida quant à utilizaçã de um instrument, alun deverá cnsultar prfessr, mnitr u técnic d labratóri para esclareciments. Imprtante: Neste eperiment será utilizad um laser. Cuidad para nã direcinál para seu própri lh u para lh ds demais em sala!!! I. cm cnseqüência d princípi de Huygens-Fresnel De acrd cm princípi de Huygens, para calcular a frente de nda em um instante é necessári tmar a frente de nda em um instante anterir e cnsiderar as ndas secundárias emitidas pr cada pnt; a frente de nda desejada é resultad da interferência entre essas ndas secundárias. O princípi de Huygens fi psterirmente mdificad pr Fresnel, que prpôs que as ndas secundárias nã têm a mesma intensidade em qualquer direçã, mas sã mais frtes na direçã riginal de prpagaçã e se anulam na direçã perpendicular. Iss ficu cnhecid cm princípi de Huygens-Fresnel. Quand há um bstácul u uma abertura, tems que cnsiderar apenas as ndas secundárias que nã sã bstruídas, u seja, que tem cm se prpagar livremente até bservadr. A resultante desse prcess é claramente diferente d que seria btid se tdas as ndas secundárias fssem cnsideradas. Pr eempl, a prpagaçã retilínea da luz nã é mais válida. Esse desvi da luz quand atravessa um bstácul u abertura é chamad de difraçã, e trna-se mais evidente quand as dimensões da abertura sã da rdem d cmpriment de nda. 1

2 II. A integral de difraçã O frmalism matemátic da difraçã é simples de ser cmpreendid à luz d princípi de Huygens-Fresnel, e é chamad de integral de difraçã de Fresnel-Kirchhff: 1 e ( P ) ( P')cs ' i r S ikr ds (1) O integrand é uma nda esférica, de intensidade ( P' ds, partind d pnt P, ) nde (P') é a amplitude da nda incidente em P e r é a distância entre P e P. O fatr cs ', nde θ é ângul entre vetr de nda em P e vetr de P a P, é fatr de bliqüidade prpst pr Fresnel. A integraçã deve ser feita sbre tds s P na prçã nã bstruída de uma frente de nda. Um cas imprtante e que será estudad ns eperiments é a difraçã de Fraunhfer, que crre quand a distância até antepar é muit mair d que as dimensões da abertura u d cmpriment de nda. Pdems entã fazer algumas aprimações na integral de difraçã: antepar O ângul θ é cnstante durante a integraçã e igual a θ; O fatr r é aprimad pr R z sec, nde z é a distância d bstácul a O argument da epnencial fica entã r R r'sin, nde r é a distância até um pnt arbitrári sbre a frente de nda, definid cm a rigem. Vams cnsiderar uma nda plana incidind na direçã d versr û. A direçã da rigem a pnt P é dada pr û. Tems entã: ( P') a ep( ikuˆ r ') () ikr a cs e ( P ) ep( ik( uˆ uˆ) r ') ds i z S (3)

3 A intensidade é prprcinal a (P). Estams interessads apenas na distribuiçã relativa das intensidades, entã vams cmparar as intensidades cm a intensidade na direçã riginal de prpagaçã û : I( uˆ) I( uˆ ) 1 S cs 4 ep( ( ˆ ˆ) ') 4 cs ik u u r S ds (4) Onde S é a área da abertura (parte nã bstruída) da nda. Uma última aprimaçã cmumente feita é que 4 4 cs cs. Essa aprimaçã se justifica prque usualmente a figura de difraçã se cncentra na regiã próima a direçã de prpagaçã; em direções mais afastadas, a intensidade é muit pequena e nã é bservada. Prtant: I( uˆ) I( uˆ ) 1 S ˆ) ep( ik u u r ') S ( ˆ ds (5) III. pr fenda simples Cm primeir eempl de difraçã da luz, vams cnsiderar uma fenda de largura a da rdem d cmpriment de nda λ. Na figura 1, cnsiderams uma nda plana incidind perpendicularmente a fenda, e três rais saind da fenda (AO, BO e CO; pnt C é centr da fenda). N limite de Fraunhfer a distância da fenda a antepar é muit mair d que a abertura da fenda, de md que esses rais sejam aprimadamente paralels. Quand θ = 0, tds s rais saind da fenda chegam a antepar em fase e interferem cnstrutivamente, gerand um máim de intensidade. Se θ 0, a diferença de fase entre AO e CO é dada pr: a. a k sin sin (6) 3

4 Figura 1 pr fenda simples Se esse valr fr múltipl de π, a interferência será destrutiva. N cas de ser um múltipl ímpar, iss é imediat: cada pnt na parte superir da fenda (AC) interfere destrutivamente cm pnt lcalizad a uma distância a/ abai, uma vez que a diferença de fase é prprcinal à distância entre s pnts da fenda. N cas de ser um múltipl par (Δφ = nπ), pdems dividir a fenda em n partes de md que em cada parte a diferença de fase entre uma nda partind d etrem e uma partind d mei seja igual a π, e entã aplicams mesm racicíni. Para cada par de pnts assim cnsiderad, a intensidade resultante é nula, lg a intensidade ttal é nula. Igualand a equaçã 6 a nπ (cm n 0), btems a cndiçã para a frmaçã ds mínims (zers) de difraçã: sin mín n a (7) Essa análise frnece as psições ds zers, mas nã permite bter padrã de intensidades (u padrã de difraçã). Para iss, precisams utilizar a integral de difraçã de Fresnel-Kirchff, na frma da equaçã 5. Entã, calcularems primeir para uma abertura retangular de lads a e b. 4

5 Os eis sã rientads de md que ei z cincida cm a direçã riginal de prpagaçã, e plan y esteja sbre a fenda. Na figura 1, ei z está para a direita, ei para cima, e ei y saind d plan d papel. Dessa frma, kuˆ rˆ ' k k y y, e a integral de difraçã fica: ˆ zˆ e u I( uˆ) I(0) 1 ( ab) a / b / d'ep( ik ') d'ep( ik y y' ) a / b / (8) Para reslvê-la, vams usar seguinte resultad: sin( k a / d 'ep( ik ') k / a / a / ) (9) Prtant: I( uˆ) sin( k a / ) (0) / I k a sin( k yb / ) / k yb (10) Tmand agra limite k 0, u seja, que vetr de nda está n plan z ( plan d papel na figura 1). y sin I( ) I(0). (11) I(0) é a intensidade n centr d padrã e α é dad pr: k a. a (1) sin 5

6 Esse é padrã de difraçã de uma fenda única, e está mstrad na figura : 1,0 0,8 Fenda simples 0,6 I / I 0,4 0, 0, (u.a.) Figura Padrã de difraçã de uma fenda simples Para achar as psições ds máims e mínims, tems que derivar a equaçã 3 cm relaçã a θ e igualar a zer. Fazend iss, vems que há duas alternativas para a derivada se anular: sin 0 (13a) tan (13b) A primeira cndiçã frnece s mínims e é fácil de ser epressa em funçã de θ (e recai na equaçã 7), enquant a segunda frnece s máims e nã tem uma sluçã analítica. Os pnts de mínim sã mais fáceis de serem medids eperimentalmente. IV. pr fenda dupla Vams agra cnsiderar duas fendas de largura a, cm seus centrs separads pr uma distância d. Obviamente, devems ter d > a, cas cntrári as duas fendas seriam na verdade apenas uma. 6

7 Inicialmente, vams fazer a aprimaçã de que a largura das fendas é desprezível (a << d), e entã cnsiderams apenas a interferência de dis rais, um partind de cada fenda. A diferença de fase entre essas ndas é: kd sin. d sin (14) Nvamente, estams assumind L >> d, nde L é a distância da fenda a antepar. Os mínims de intensidade crrem quand Δφ é um múltipl ímpar de π, que implica em: sin mín 1 n d (15) Os máims de intensidade crrem quand Δφ é um múltipl de π, u seja: sin má n d (16) Esses máims e mínims sã devid apenas à interferência entre as duas fendas; nã cnsiderams efeit de difraçã que crre em cada fenda. Para calcular padrã de difraçã, prcess é semelhante a da fenda simples, mas agra s limites de integraçã em ' vã de a / a a / e de d a / a d a /. Na segunda integral pdems fatrar ep( ik d) e ficar cm prdut da integral da difraçã de uma fenda, já calculada, e um term que depende apenas da distância entre as fendas: I( ) I 1 ep( ik d) a / a / d'ep( ik ') (17) 7

8 Na equaçã acima, I é a intensidade que se btém a partir de cada fenda. O primeir term pde ser desenvlvid: 1 ep( i. k. d) 4cs ( k. d / ) (18) Esse é um term de interferência. Substituind a 18 em 17, resultad é: sin I ( ) 4I cs (19) Onde α é dad pela equaçã 1 e: k d. d (0) sin O fatr dependente de α é fatr de difraçã (e depende apenas da largura das fendas), e fatr que envlve β é fatr de interferência (e depende apenas da separaçã entre as fendas). A figura 3 mstra padrã de difraçã de fenda dupla, e n mesm gráfic mstra padrã de uma fenda simples de mesm tamanh que cada uma das fendas. Perceba que padrã de fenda dupla é igual a padrã de fenda simples mdulad pr uma funçã csen quadrad. De acrd cm a equaçã 19, perfil de intensidades apresenta dis tips de mínims (zers): s zers de interferência, dads pela equaçã 15, e s zers de difraçã, dads pela equaçã 7. Iss justifica a análise feita de desprezar a difraçã e cnsiderar s mínims e máims de difraçã. Cm d > a, s zers de interferência sã mais próims d que s zers de difraçã. 8

9 1,0 0,8 Fenda dupla Fenda simples 0,6 I / I 0,4 0, 0, (u.a.) Figura 3 Padrã de difraçã de uma fenda dupla, e padrã de difraçã de uma fenda simples de mesm tamanh V. em múltiplas fendas A próima situaçã a ser cnsiderada é quand tems N fendas de largura a, cm seus centrs separads pr uma distância d. Seguind a análise anterir, vams inicialmente desprezar a largura das fendas, e cnsiderar a interferência ds rais que saem de cada uma delas até pnt de bservaçã. Cm ns eempls anterires, a distância até antepar é muit mair d que as dimensões d aparat difratr (L >> Nd). A diferença de fase entre as ndas emitidas pr duas fendas cnsecutivas é 9

10 . d (1) kd sin sin Essa equaçã é idêntica a equaçã 14. Os máims de intensidade crrem quand essa diferença de fase fr múltipl de π, prque nessa situaçã tds as ndas interferem cnstrutivamente: sin má () m d Para calcular analiticamente padrã de difraçã, prcediment aqui é idêntic a prcess para duas fendas, mas agra term de interferência (análg a primeir membr da equaçã 18) é uma sma de N terms, cada um igual a anterir multiplicad pr ep( ik d), u seja, uma prgressã gemétrica finita. Lg, fatr de interferência é fácil de ser calculad: N 1 sin ( Nk ep( ijk d) j0 sin ( k d d / ) / ) (3) Essa funçã apresenta máims principais que crrem quand sin( k d / ) 0. Nessa situaçã, numeradr também vale zer, e term de interferência tende a N. O padrã de difraçã é, prtant: sin I( ) I sin N sin (4) Onde β é mesm da equaçã 0. Para N =, essa equaçã se reduz à equaçã 19, cm era esperad. Nvamente, há dis tips de mínims, s de difraçã e s de interferência. Os mínims de interferência sã mais próims que s mínims de difraçã. O máim principal (máim de mair intensidade) da equaçã 4 crre quand θ = 0 (u seja, α = 0 e β = 0), e vale N I. A intensidade n centr é prprcinal a N, nde N 10

11 é númer ttal de fendas. O primeir mínim de intensidade crre quand Nβ = π, u seja, β = π / N. Em terms de θ, a psiçã d primeir mínim de interferência é: sin 1 Nd (5) Quand N aumenta, a largura d máim diminui, trnand- mais definid. N limite de N >> 1, term de interferência (equaçã 3) vale N ns máims principais e 0 ns demais pnts. A figura 4 mstra padrã de difraçã gerad pr 5 fendas. Veja a grande diferença na intensidade relativa entre s máims principais e s máims secundáris fendas Fenda simples 15 I / I (u.a.) Figura 4 Padrã de difraçã de uma rede de 5 fendas, e padrã de difraçã de uma fenda simples de mesm tamanh 11

12 VI. Redes de difraçã Uma rede de difraçã é um cnjunt de fendas paralelas; cm da rdem de centenas de fendas pr milímetr. A difraçã pr uma rede é dada pela equaçã 4 cm N da rdem de centenas u milhares (N deve ser igual a númer de fendas na regiã iluminada da fenda). Iss faz cm que s máims principais sejam bastante intenss e estreits. A intensidade fra ds máims principais é muit pequena, e padrã de difraçã, na prática, se trna um cnjunt de pnts, cuja psiçã é dada pela equaçã. Cm númer de fendas é da rdem de centenas pr milímetr, a distância entre elas é da rdem de micrômetrs, apenas uma rdem de grandeza a mais d que cmpriment de nda da luz visível. Send a distância até antepar da rdem de um metr, a equaçã diz que a diferença entre s máims será da rdem de váris centímetrs, e prtant pde ser medida sem grandes dificuldades. 1

13 Eperiments 1. pr fenda simples e duplas utilizand métd de prjeçã a) Alinhe feie de um laser He/Ne em relaçã a trilh óptic. b) Na frente d laser clque uma fenda simples de abertura descnhecida em um suprte cm parafus micrmétric. c) Psicine um antepar fi a cerca de 1 metr de distância. Certifique-se que antepar de prjeçã está psicinad paralelamente à fenda, Figuras 5 e 6. d) Observe padrã de difraçã frmad n antepar e certifique que s máims psitivs (m= 1,,...) e negativs (m= -1,-,...) estã eqüidistantes d máim central. Cas nã esteja gire antepar para bter essa situaçã. Figura 5 Esquema eperimental para medida d padrã de difraçã pr redes e fenda utilizand a prjeçã. Figura 6 Ftgrafia da mntagem eperimental para medida d padrã de difraçã pr redes e fenda 13

14 utilizand a prjeçã. e) Determine a psiçã ds mínims de intensidade e calcule s respectivs ânguls. f) Faça um esbç em escala d padrã de difraçã bservad. g) Utilizand a equaçã 7 e cmpriment de nda d laser (63.8 nm), determine a abertura da fenda para cada um ds mínims de difraçã. Tme cm resultad da medida a média ds valres btids. h) Repita prcediment para a utra fenda simples. Resultads da difraçã pr uma fenda simples descnhecida (fenda 1) m Psiçã Ângul de difraçã Largura da fenda Distância fenda-antepar: Abertura da fenda: Resultads da difraçã pr uma fenda simples descnhecida (fenda ) m Psiçã Ângul de difraçã Largura da fenda Distância fenda-antepar: Abertura da fenda: 14

15 i) Substitua a fenda simples pr uma fenda dupla e ajuste sistema para bservar um padrã de difraçã simétric. j) Determine a psiçã ds mínims de intensidade difraçã e máims de interferência bservads. Calcule s respectivs ânguls. k) Faça um esbç em escala d padrã bservad. l) Utilizand cmpriment de nda d laser (63.8 nm) e utilizand respectivamente a equaçã 7 e 16,determine a abertura das fendas e a separaçã entre elas para cada um ds mínims de difraçã e máims de interferência bservads. Tme cm resultad da medida a média ds valres btids. A interferência fica bem difícil de ver, mas ainda é pssível estimar. m Psiçã Ângul de difraçã Resultads da difraçã pr uma fenda dupla descnhecida Largura das fendas Separaçã entre fendas Distância fenda-antepar: Abertura da fenda: m) Substitua a fenda dupla uma rede de difraçã e ajuste sistema para bservar um padrã de difraçã simétric. Dica: é de fundamental imprtância que laser atinja a grade de frma nrmal. Para garantir iss, bserve a retr-refleã da grade nde também é bservad um padrã de difraçã. Nte ainda que máim central nesse cas varia cm a rientaçã da grade. Para garantir uma incidência nrmal, faça cm que máim central da difraçã riginada da refleã cincida cm laser incidente ( retr-difraçã ). n) Determine a psiçã ds máims de interferência bservads. Calcule s respectivs ânguls. 15

16 ) Faça um esbç em escala d padrã bservad. p) Utilizand a equaçã 7 e cmpriment de nda d laser (63.8 nm), determine númer de linhas pr mm da rede de difraçã para cada um ds máims de interferência bservads. Tme cm resultad da medida a média ds valres btids. Resultads da difraçã pr uma rede de difraçã cm númer de linhas descnhecid. m Psiçã Ângul de difraçã Linhas/mm Distância rede-antepar: q) Slicite um fi de cabel de um membr d grup e determine a sua espessura (diâmetr) utilizand que vcê aprendeu cm s eperiments de difraçã realizads.. Medida d perfil de intensidade d padrã de difraçã pr fendas a) Cm bjetiv de medir perfil de intensidade faça a mntagem descrita nas figuras 7 e 8. b) Analise a mntagem e descreva princípi de funcinament d eperiment, eplicitand a funçã de cada element. 16

17 Figura 7 Esquema da mntagem eperimental para bservaçã e quantificaçã d perfil de intensidades da difraçã pr fendas. Figura 8 Ftgrafia d esquema da mntagem eperimental para bservaçã e quantificaçã d perfil de intensidades da difraçã pr fendas. c) Clque uma fenda dupla n suprte em frente a laser. Translade a fenda para ter máim de intensidade transmitida. Ligue espelh rtativ e aguarde até que a velcidade de rtaçã d mesm estabilize. Psicine ftdetectr tal cm mstrad na figura 8 (utilizand uma fita adesiva preta cnstrua uma fenda de ~ 1 mm na entrada d ftdetectr). Cnecte sinal de dispar (trigger) d espelh giratóri n canal de scilscópi digital. Ajuste scilscópi de md a visualizar sinal de dispar d espelh rtativ. Meça períd de rtaçã d espelh e determine a velcidade angular de rtaçã d mesm. 17

18 d) Cnecte ftdetectr n canal 1 d scilscópi. Ajuste scilscópi para que trigger seja feit pel canal (md nrmal) e sinal d detectr seja visualizad n canal 1. Ajuste nível de trigger d scilscópi d espelh rtativ até bter uma imagem estática d padrã de difraçã. Para melhrar a bservaçã deste padrã, ist é bservá-l de uma maneira mais epandida, vcê pde utilizar ptenciômetr que ajusta atras entre dispar da medida (sinal de dispar canal ) e sinal a ser envid a scilscópi (sinal d detectr canal 1). Ajuste simultaneamente ptenciômetr e a base de temp d scilscópi até bter um padrã de difraçã estátic que cupe tda a tela d scilscópi. e) Observe padrã de difraçã da fenda dupla. Cm máquina ftgráfica digital, tire uma ftgrafia da tela d scilscópi, de md a visualizar padrã e as escalas. Utilizand essa ftgrafia, meça a psiçã e intensidade ds máims de interferência e de difraçã. f) Meça também a psiçã ds mínims de difraçã e a largura d máim central de interferência. g) Utilizand as características gemétrica da mntagem (Distâncias fenda-espelh rtativ e espelh rtativ-detectr e velcidade d espelh) deduza uma epressã que relacine s ângul de difraçã cm a medida da psiçã bservada n scilscópi. h) Determine as características da fenda e cmpare cm s valres nminais. i) Repita prcediment utilizand uma fenda tripla e uma fenda quádrupla. j) Utilizand a equaçã 4 calcule a intensidade relativa ds máims de interferência e difraçã e a largura d máim central para as fendas dupla, tripla e quádrupla utilizadas. Cmpare cm s valres medids e estime desvi %. k) O que vcê cnclui sbre que acntece sbre que acntece quand se varia númer de fendas? O que acntecerá quand númer de fenda fr muit grande? 18

19 m Resultads da análise d perfil de intensidades da difraçã pr uma fenda dupla Psiçã ds máims de interferência medids n scilscópi (ms) Ângul crrespndente as máims de interferência (º) m Psiçã ds máims de difraçã medids n scilscópi (ms) Ângul crrespndente as máims de difraçã (º) Distância fenda-espelh rtativ: Distância espelh rtativ-detectr: Velcidade Angular d espelh rtativ: Separaçã entre as fendas: Largura das fendas: m Resultads da análise d perfil de intensidades da difraçã pr uma fenda tripla Psiçã ds máims de interferência medids n scilscópi (ms) Ângul crrespndente as máims de interferência (º) m Psiçã ds máims de difraçã medids n scilscópi (ms) Ângul crrespndente as máims de difraçã (º) Distância fenda-espelh rtativ: Distância espelh rtativ-detectr: Velcidade Angular d espelh rtativ: Separaçã entre as fendas: Largura das fendas: Resultads da análise d perfil de intensidades da difraçã pr uma fenda quádrupla 19

20 m Psiçã ds máims de interferência medids n scilscópi (ms) Ângul crrespndente as máims de interferência (º) m Psiçã ds máims de difraçã medids n scilscópi (ms) Ângul crrespndente as máims de difraçã (º) Distância fenda-espelh rtativ: Distância espelh rtativ-detectr: Velcidade Angular d espelh rtativ: Separaçã entre as fendas: Largura das fendas: 0