Cálculo Aplicado à Engenharia Elétrica 2 o Semestre de 2013 Prof. Maurício Fabbri. 1 a Série de Exercícios Números complexos
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- Felícia Luciana Olivares Prado
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1 Cálcul Aplicad à Engenharia Elétrica Semestre de 013 Prf. Mauríci Fabbri 1 a Série de Exercícis Númers cmplexs NÚMEROS COMPLEXOS - DEFINIÇÃO O PLANO COMPLEXO FORMAS RETANGULAR E POLAR 1. Esbce s seguintes númers n plan cmplex, e escreva cada um nas frmas retangular e plar. As respstas que nã frem simples devem ser dadas cm três significativs e cm a fase em graus entre 180 e 180. (a) 1 j (b) 3 5 (c) 3 j3 (d) 5 (e) 5 j3 (f) 6 j3 (g) 3 90 (h) 8 j (i) 9 π j (j) j (k) 11 spstas: Nte que númer cmplex 1 j crrespnde a pnt (,) n plan cmplex. As suas partes real e imáginária sã ( 1 ) e ( 1 ). 1 Em crdenadas plares, esse pnt crrespnde a (, 5 ) (,83 ; 5 ). 5 Escrevems entã que j 5 O cmplex 1 pde ser assciad a vetr que liga a rigem a pnt (3, 5 ),1 j,1 3 j3 (3,61, 56 ) (5, ),5 j,33 5 j3 (3,61, 1 ) j3 (3,61, 1 ) (3, 90 ) 3j 8 j (,, 153 ) 9 π j (3,5, ) 00-13
2 11 -j CONJUGAÇÃO. pita exercíci 1 para cada um ds cmplexs cnjugads de 1 a 11. spstas: j, ,1 j, 1 1 j3 3, ,5 j,33 5 j3 3,61 1 j3 6, j 8 j, 153 π j 3,5 9 j OPERAÇÕES 3. Efetue as perações pedidas, cm s cmplexs citads n exercíci 1. Escreva resultad nas frmas retangular e plar. Esbce a peraçã n plan cmplex. (a) w 1 1 (b) w 3 (c) w (d) w 1 5 / (e) w 5 3 (f) w 6 (g) w (h) w (i) w 9 spstas: w 1 w - 3 w R e R e R e w 1,1j,1 5,83 5 w 0,1j5,1 5,1 89 w 3 j, w 3,00j5,50 6,6 61 w 5,1j6,88,0 w 6,, 0 w,j, 90 w 8 j, w 9 0,38j,1,
3 . Efetue as perações pedidas, cm s cmplexs citads n exercíci 1, trabalhand apenas na frma retangular. (a) 1. 3 (b) w. (c) u / 3 (d) v (e) v 6 / 8 (f) ξ 1 1. (g) ξ 1/ (h) w / (i) 8 8 p 3 spstas: (j).(j3) j6jj.6 j6j6 j w 1 (j3).(j3) 3 13 j ( j).( j3) j6 j 6 j u j 0,15 j0,69 j3 ( j3).( j3) v 1 1 j8 v 0,1 j0,8 ξ 1 j ξ j w 0,6 j0,8 p 5 j1 5. Mstre que as seguintes identidades sã verdadeiras, utiliand s cmplexs na frma retangular u plar, cnfrme mais cnveniente: (a) w v w v (b) w v w v (c) w.v w. v (d) w / v w / v (e) w w Prcediment: Basta ntar que: na frma retangular, se a jb entã na frma plar, se M θ, entã M a θ jb 6. Efetue as perações pedidas, cm s cmplexs citads n exercíci 1, trabalhand apenas na frma plar. Esbce cada peraçã n plan cmplex, interpretand as mesmas cm rtações e dilatações. (a). (b) u / (c) v 1. (d) v / (e) ξ 1. (f) m / (f) ξ 1/ spstas: cm 3 90, será girad de 90 n sentid anti-hrári e multiplicad pr 3. u entã: 3 5, e será girad de 5 n sentid anti-hrári e multiplicad pr 3. u / u , entã será girad de 90 n sentid hrári e dividid pr 3. u v v 0,6 165 ξ m 1,6 150 ξ 1 90 j 00-13
4 . Efetue as perações pedidas. Escreva resultad nas frmas retangular e plar. 3j (a) ( j3)( j3) (b) ( j3)(3 j) ( 3 j) (c) 5 j3 1 j 3 5 (d) 3 5 (e) 3 5 (f) (g) spstas: (a) 13 (b) 3 j9 9,9 8 (c),5 j0,5,53 6 (d) 1,1 j3,85,01 (e) 5,80 j1,55 6, (f) 0,388 j 1,5 1,50 5 (g) 1,3 j1,50, Efetue as perações pedidas, cm s cmplexs citads n exercíci 1. Escreva resultad nas frmas retangular e plar. (a) 1 8 (b) (c) (d).. spstas: (a) 0,0 j0,63 0, (b) 0,0 j0,0 1, (c),00 j,00, (d) 1, j 0,66 1, Determine vetr resultante nas smas abaix, interpretand-s cm númers cmplexs. (encntre s valres de A e de φ). A φ A 150 φ 15 spstas: A 13,9 φ 1 A, φ
5 POTÊNCIAS E RAÍZES DE EQUAÇÕES. Utiliand a identidade de Euler, determine tds s cmplexs distints tais que: (a) 3 1 (b) 1 (c) 5 3 (d) 15j0 (e) 3 j spstas: (a) (b) 1 5 0,0 j0,0 (c) 36 1,6 j1, j ,0 j0, j1, j ,0 j0,0 180, ,0 j0,0 5 0,618 j1,90 3 1,6 j1,18 (d) 5, j, (e) ,866 j0, , j, ,866 j0, j 11. Determine valr de w de md que cmplex (1j) seja rai de f() 3 w. spsta: w j FUNÇÕES EXPONENCIAIS, TRIGONOMÉTRICAS E HIPERBÓLICAS 1. Mstre as seguintes identidades: (a) sen(a jb) sen(a).csh(b) jcs(a).senh(b) (c) senh(a jb) senh(a).cs(b) jcsh(a).sen(b) (b) cs(a jb) cs(a).csh(b) jsen(a).senh(b) (d) csh(a jb) csh(a).cs(b) jsenh(a).sen(b) Utilie as definições e as fórmulas: csh(a) a a e e senh(a) a a e e jθ jθ e e cs( θ ) sen( θ ) e jθ e j jθ 13. Calcule s seguintes valres, escrevend resultad nas frmas retangular e plar. (a) e j (b) e,j (c) sen(j) (d) 5cs(,5j) (e) tan(1j) (f) senh(j) (g) 6csh(0,50,j) (h) tanh(1j) spstas: (a) 0,16 j0, (b) 0,1 j0,16 0,36,9 0, (c) 1,18j 1,18 90 (d) 3,05 j,19 3,5 36 (e), j,8 11, (f) 1,68j 1,68 90 (g) 6,63 j0,61 6,66 15 (h) 1,08 j0, 1,
6 SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES 1. Obtenha um cmplex tal que: (a) e 1 (b) e 1j (c) e 5 É necessári lembrar que (1) td númer cmplex pde ser escrit na frma Me jθ j 1 () se dis cmplexs M θ j e M θ sã iguais, nde M 1 0, M 0 e θ 1 e θ sã reais, 1e entã θ 1 θ kπ, nde k 0, ±1, ±, ±3,... e spstas: (a) j(π kπ), k 0, ±1, ±,... π (b) ln j kπ, k 0, ±1, ±,... (c) ln5 jkπ, k 0, ±1, ±, Verifique que s cmplexs da frma kπ jln( ± 3) equaçã sen(). π, nde k é um númer inteir, satisfaem a Mauríci Fabbri MCT/INPE: Universidade Sã Francisc USF Itatiba/Campinas Sã Paul - Brail Permitid us livre para fins educacinais, sem ônus, desde que seja citada a fnte
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