Plano tangente a uma superficie: G(f).

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1 Plano tangente a uma supericie: G. O plano tangente ao gráico de uma unção num ponto é o plano que contem todas as retas tangentes ao gráico de que passam pelo ponto. Se todas as retas tangente a esse ponto não são co-planares então dizemos que o plano tangente não eiste. Seja uma unção dierençável no ponto : A R 2 R Equação do plano tangente a o gráico G no ponto z z = 1. z z

2 Plano tangente a uma curva. A interseção do plano e A curva z= é justamente o ponto

3 Derivada direcional Deinição: Seja : A R n R uma unção real de variável vetorial Seja r = n ϵ A e u um vetor unitário de R n. A derivada direcional de no ponto r é D u r hu r lim h h Se o limite eiste. r h u r Que passa por r na direção u. Deine uma reta L

4 Derivada direcional - lim h z h hu z hu hu D h u R R A 3 : Seja e r o = z e u=u 1 u 2 u 3 Conorme h r r

5 Derivada direcional Seja : A R 2 R e r o = e u=u 1 u 2 D u hu hu lim 1 2 h h u r o + h u = r r o Conorme h r r

6 Derivada direcional

7 Derivada direcional u u É a taa de variação de em relação à distancia no ponto r ao longo do vetor unitário u. Particularizando para u = e 1 = 1 = i Particularizando para u = e 1 = 1 = j 1 lim 1 r h e h r he r D 2 lim 2 r h e h r he r D

8 Derivada parcial como taa de variação. A derivada parcial é a taa de variação de ao longo da reta que passa pelo ponto e na direção e1 = 1 A derivada parcial é a taa de variação de ao longo da reta que passa pelo ponto e na direção e2 = 1 Notemos que na deinição de derivada direcional o vetor v deve ser unitário. A razão disto é a seguinte: se o vetor não osse unitário a derivada direcional não dependeria somente do ponto e da direção mas também do comprimento do vetor.

9 Eemplos 1.- Seja = determine a derivada direcional da unção no ponto na direção do vetor unitário u=u1u Seja z= z determine a derivada direcional de no ponto 111 na direção v= Determine a taa de variação do potencial elétrico V = k z 2-1/2 no ponto 12 na direção v=12 K é uma constante assuma k=1.

10 Gradiente de uma unção real de variável vetorial. Deinição: Seja : A u R n R n uma unção real de variável vetorial sendo u um vetor arbitrário de A subconjunto de R n grad : R R n grad n u Eiste uma transormação linear que leva a um vetor R n chamado de vetor gradiente grad

11 grad Operador gradiente grad vetor gradiente n 2 1 e... e e n 2 1 grad en e e Caso : R 3 R =z z grad

12 Operador Gradiente

13 À medida que o ponto se aasta da origem o comprimento do gradiente cresce icando igual a duas vezes a distância do ponto à origem.

14 F= 2-2 grad = 2-2 costuma se pensar em grad como um campo de vetores no domínio de

15 Propriedades algébricas do vetor gradiente grad g grad gradg grad g grad g grad g grad g g grad g 2 gradg. α β são constantes.

16 Eemplos: 1.- seja z= + z gz= z determine grad/g e grad +g utilizando as proprie dades anteriores. Propriedade importante D grad. u u u é um vetor unitário Eemplo: Determine o vetor gradiente da unção = Veriique a relação anterior

17 Z== gradiente de grad = 22

18 Propriedade importante D u grad. u u 1 D u grad cos Dado um ponto r = n de R n sendo = n D u Varia com o ângulo ϴsendo esta variação máima quando ϴ =

19 Propriedades importantes 1 A taa máima de crescimento de no ponto r ocorre na direção do gradiente. 2 O valor máimo de no ponto r é grad D u D u 3 Se grad=...= então para todo u 4 Se a unção é z= então as curvas de nível são perpendiculares em qualquer ponto ao vetor grad. 5.- Se a unção é w=z então a superície de nível é perpendicular ao grad.

20 eercícios 1 Seja a unção real de variável vetorial z== 2sin+ a Determine o gradiente de no ponto pi/4pi/4=p. b Determine a derivada direcional de no ponto P na direção u=12 v=1 w=1 respectivamente. c Em que direção a derivada direcional de no ponto P tem a taa máima de variação. d Qual é a taa máima de variação de no ponto P e Mostre que as curvas de nível são ortogonais ao vetor gradiente de em cada ponto do dominio.

21 Vetor gradiente numa superície de nível Seja : R3 R w = z Consideremos a superície de nível S c = z. Seja rt o vetor que parametrisa uma curva α que descansa na superície S. Logo r t t t z t e a velocidade V é : V r z Ele é tangente à superície S grad. V Eles são perpendiculares

22 Equação do plano tangente à superície de nível S Dado o ponto P = z ϵ S e seja z P z P z z z P P P P z z z Equação do plano tangente à superície S

23 Eemplos Eemplo1.- Seja a superície de nível c = z onde z = z; ou dito de uma orma dierente temos uma superície deinida pela equação z = c. Sendo c uma constante real. Determine a equação do plano tangente a dita superície no ponto P =11-2 Eemplo 2.- Seja a superície S deinida pela equação 4cos+ z =. a Determine a equação do plano tangente à superície S no ponto P = pi/4pi/4. b Seja uma curva α parametrizada do seguinte modo rt=ttgt determine gt para que a curva descanse na superície S. Determine o vetor unitário tangente á curva para t=pi/4.