Faculdade de Engenharia. FRVV diferenciabilidade e aplicações

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1 FRVV dierenciabilidade e aplicações z 2 2 x, y y x

2 Aproximação linear de FRVR dierencial Seja g : com dierenciável em x x gx gx g g' x x g x x g x x g x x x g x É possível aproximar na vizinhança de pela reta que passa por e tem o declive da tangente à curva em. Assim onde g' x x gx x gx x x gx g x x ' x x x g g x é o dierencial de em, x

3 Aproximação linear de FRVR dierencial g x x gx g x x ' Exemplo Calcule um valor aproximado de 1.1

4 Aproximação linear de FRVV dierencial 1. Existem derivadas parciais em 2. Para unções dierenciáveis, D aproxima com um erro que tende para zero mais rapidamente do que Então, D D é o dierencial de em

5 Aproximação linear de FRVV dierencial D Exemplo Considere um contentor cilíndrico com altura h=1m e raio de base r=1m. O aumento de volume será maior quando se aumenta 1% o raio ou a altura?

6 Aproximação linear de FRVR reta tangente e reta normal x g Reta tangente a em : 2 x, y : y gx g' x x x x gx g' x x g x x g x x x x x g x, 1 x x, y gx ' Direção normal ao gráico em : Reta normal ao gráico em : x g x ', 1 x 2 x y : x, y x, gx g' x,, 1,

7 Aproximação linear de FRVV hiperplano tangente e reta normal FRVR g x x gx g' x x Reta tangente: 2 x, y : y gx g' x x x 2 Reta normal : x y : x, y x, gx g' x, FRVV, 1, Hiperplano tangente T n, z 1 : z 1, z, Direção normal, 1 n1 Reta normal r z :, z,,, 1,

8 Aproximação linear de FRVV hiperplano tangente e reta normal Exemplo n Hiperplano tangente: T 1, z : z n1 Reta normal: r z :, z,, 1,,

9 Regras de derivação Seja

10 Regras de derivação composição de unções (regra da cadeia) A composição de unções que envolvem FRVV incluem os casos 1. FRVV+FRVR 2. FVVR+FRVV 1. FRVV+FRVR Seja : n y h : hy y h h y h h h : n D h h D '

11 Regras de derivação composição de unções (regra da cadeia) 2. FVVR+FRVV Seja : t n t t t : n t : ' t D t t ' ' t t t '

12 Consequências da regra da cadeia 1. GRADIENTE E DERIVADA DIRECIONAL ' t t t ' Seja : A n, A aberto A t tu, dierenciável em u n, u 1 u ' ' u u u se dierenciável em

13 Consequências da regra da cadeia Exemplo dierenciável em u u derivada de em (,) segundo o vetor (1,1) não é a derivada direcional de em (,) segundo a direção do vetor (1,1) IMPORTANTE: se dierenciável em ' u u ;

14 Consequências da regra da cadeia 2. DIREÇÃO DE MAIOR CRESCIMENTO Estando em, qual é a direção de maior crescimento de? ' t t t ' u u A que u n u, 1, corresponde o valor máximo de? u u cos, u u u max u // u desde que dierenciável em e

15 Consequências da regra da cadeia Exemplo Determine a direção de maior crescimento de nos pontos a) b), 1, 2 x, y x 1 2 y 2 2

16 Consequências da regra da cadeia 3. DIREÇÃO ORTOGONAL AO CONJUNTO DE NÍVEL ' t t t ' Seja : A n, A aberto A, dierenciável em c N c : I n t a parametrização da curva de nível Nc t c,t I t c ' t t ' t se ' t N como ' t é tangente a c em, é perpendicular a c em N

17 Consequências da regra da cadeia 3. DIREÇÃO ORTOGONAL AO CONJUNTO DE NÍVEL HIPERPLANO TANGENTE E RETA NORMAL AO CONJUNTO DE NÍVEL Hiperplano tangente: T c n : Reta normal: r c n :, (ao conjunto de nível) NOTA: T r n, z 1 : z n1 z :, z,,, 1, (ao gráico)

18 Consequências da regra da cadeia Exemplo Hiperplano tangente a N C : Reta normal a N C : r c n T : c n :, n Hiperplano tangente: T 1, z : z n1 Reta normal: r z :, z,, 1,,

19 Dierenciabilidade e aplicações exercícios c)

20 Dierenciabilidade e aplicações exercícios 5 a) b) 6 b) d) 7