MAT Cálculo Diferencial e Integral para Engenharia II 2 a lista de exercícios

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1 MAT454 - Cálculo Diferencial e Integral para Engenharia II a lista de eercícios Ache as derivadas parciais de primeira ordem das funções: ( y (a) f(,y) = arctg (b) f(,y) = ln(1+cos ) (y 3 )). Seja f : R R uma função derivável. Calcule as derivadas parciais de primeira ordem de: (a) u(,y) = f ( ) y (b) u(,y) = f(a+by), sendo a e b constantes. 3. Dada a função f(,y) = ( +y ) 3 e sen( y), ache f (1,0). Sugestão: Neste caso, usar a definição de derivada parcial é menos trabalhoso do que aplicar as regras de derivação. 4. Verifique que a função u(,y) = ln +y é solução da equação de Laplace bidimensional u + u = Sejam f e g funções de R em R, deriváveis até a ordem. (a) Mostre que u(,t) = f(+ct)+g( ct) satisfaz a equação u t = c u. (b) Mostre que u(,y) = f(+y)+yg(+y) é solução da equação u u + u = As superfícies abaio são os gráficos de uma função f : R R e de suas derivadas parciais f e f. Identifique cada superfície e justifique sua resposta. (a) (b) (c) 1

2 7. Sejam f(,y) = ( +y ) 3 e g(,y) = y 4. 5 Mostre que f e g são de classe C 1 em R. y +sen(+3y), se (,y) (0,0); 8. Seja f(,y) = +y4 (a) Mostre que as derivadas parciais f e f (b) f é contínua em (0,0)? eistem em todos os pontos. (c) f é diferenciável em (0,0)? 3 9. Seja f(,y) = +y, se (,y) (0,0); (a) Mostre que f é contínua em (0,0). (b) Calcule f f (0,0) e (0,0). (c) É f diferenciável em (0,0)? (d) São f e f 10. Considere f(,y) = contínuas em (0,0)? (a) Mostre que f é diferenciável em (0,0). (b) As derivadas parciais f e f 11. Seja f(,y) = ( ) ( +y 1 )sen, se (,y) (0,0); +y são contínuas em (0,0)? sen (( +y ) ) +y, se (,y) (0,0); (a) Verifique que f é contínua em (0,0). (b) Determine f (,y), para todo (,y) R. (c) A função f é contínua em (0,0)? Justifique sua resposta. (d) A função f é diferenciável em (0, 0)? Justifique sua resposta. y y 1. Seja f(,y) = +y, se (,y) (0,0); (a) Verifique que f f (0,y) = y para todo y, e que (,0) =, para todo.

3 (b) Verifique que f (0,0) = 1 e que f (0,0) = Determine o conjunto de pontos de R onde f não é diferenciável, sendo: (a) f(,y) = 3 3 +y 3 (b) f(,y) = y (c) f(,y) = e 4 +y 4 (d) f(,y) = cos( +y ) 14. Mostre que não eiste nenhuma função diferenciável f : R R cujo gradiente é dado por: f(,y) = ( y,y ), (,y) R. 15. Calcule w t e w pela regra da cadeia e confira os resultados por meio de substituição u seguida de aplicação das regras de derivação parcial. (a) w = +y ; = t +u,y = tu. (b) w = +y; = tcosu, y = tsenu. (c) w = +y +z; = tu,y = t+u,z = t +u. 16. O raio de um cilindro circular está decrescendo à taa de 1,cm/s enquanto sua altura está crescendo à taa de 3cm/s. Qual a taa de variação do volume do cilindro no instante em que o raio vale 80 cm e a altura vale 150 cm? 17. Um carro A está viajando para o norte a 90km/h e um carro B está viajando para o oeste a 80km/h. O carro A está se aproimando e o carro B está se distanciando da intersecção das duas estradas. Em um certo instante, o carro A está a 0,3km da intersecção e o carro B a 0,4km. Neste instante, estão os carros se aproimando ou se distanciando um do outro? A que velocidade? 18. Sejam f : R R, diferenciável em R, com f(, ) = (a, 4) e g(t) = f(t 3 4t,t 4 3t). Determineaparaquearetatangenteaográficodeg nopontodeabscissa 1sejaparalela à reta y = Seja f(,y) uma função de classe C e sejam a, b, c, d constantes tais que a +b = 1, c +d = 1 e ac+bd = 0. Seja g(u,v) = f(au+bv,cu+dv). Mostre que: g g u (u,v)+ v (u,v) = f f (au+bv,cu+dv)+ (au+bv,cu+dv). 3

4 0. Seja v(r,s) uma função de classe C em R e defina u(,t) = v(+ct, ct), onde c é constante. Verifique que u tt (,t) c u (,t) = w(+ct, ct), onde w(r,s) = 4c v rs (r,s). 1. Seja u = u(,y)função declasse C em R e defina v(r,θ) = u(rcosθ,rsenθ). Verifique que v 1 v r (r,θ)+ r r (r,θ)+ 1 v r θ(r,θ) = u(rcosθ,rsenθ), sendo u, por definição, dado por u = u +u yy.. Seja f = f(,y) função de classe C em R. Se u(s,t) = f(e s cost,e s sent), mostre que [ ] [ ] [ ( u ) ( ) ] f f u (es cost,e s sent) + (es cost,e s sent) = e s s (s,t) + t (s,t) e que [ ] f cost,e s sent)+ f cost,e s sent) = e s u u (es (es s (s,t)+ t (s,t). 3. Seja f = f(,y) uma função de classe C e seja g : R R dada por (a) Determine g u v g(u,v) = uf(u v,u+v) em função das derivadas parciais de f. (b) Sabendo que 3+5y = z +6 é o plano tangente ao gráfico de f, f (1,4) = 1 e f (1,4) = 1, calcule g u v (,3). f (1,4) = 4. Seja F(r,s) = G(e rs,r 3 cos(s)), onde G = G(,y) é uma função de classe C em R. (a) Calcule F (r,s) em função das derivadas parciais de G. r (b) Determine F G (1,0) sabendo que r (t +1,t+1) = t t Ache a equação do plano tangente e a equação da reta normal a cada superfície no ponto indicado: (a) z = e +y, no ponto (0,0,1) (b) z = ln(+y), no ponto ( 1,3,0) (c) z = y, no ponto ( 3,,5) (d) z = e lny, no ponto (3,1,0) 4

5 6. Determineoplano que passa por(1,1,)e( 1,1,1)eétangente aográfico def(,y) = y. Eiste mesmo só um? 7. Determine a equação do plano que passa pelos pontos (0,1,5) e (0,0,6) e é tangente ao gráfico de g(,y) = 3 y. 8. Determine k R para que o plano tangente ao gráfico de f(,y) = ln( + ky ) no ponto (,1,f(,1)) seja perpendicular ao plano 3+z = Sejaf :( R ) Rumafunçãoderivável. Mostrequetodososplanostangentesàsuperfície z = f passam pela origem. y 30. Se f(,y) = +4y, ache o vetor gradiente f(,1) e use-o para achar a reta tangente à curva de nível 8 de f no ponto (,1). Esboce a curva de nível, a reta tangente e o vetor gradiente. 31. Seja r a reta tangente à curva 3 +3y +y 3 +3 = 18 no ponto (1,). Determine as retas que são tangentes à curva +y +y = 7 e paralelas à reta r. 3. Seja f : R R uma função diferenciável em R. Fiado um certo P = ( 0,y 0 ) R, sabe-se que o plano tangente ao gráfico de f no ponto ( 0,y 0, f( 0,y 0 ) ) tem equação +y z + 3 = 0. Determine, entre as curvas abaio, uma que não pode ser a curva de nível de f que contém o ponto P: (a) γ(t) = ( 1t ) ( ) t 5,t ; (b)γ(t) = 5, t3 3 +3t ; (c) γ(t) = (t,t 3 +t). 33. Seja f : R R, f com derivadas parciais contínuas em R e tal que +y +z = 7 é o plano tangente ao gráfico de f no ponto ( 0,,f(0,) ). Seja g(u,v) = uf ( sen(u v 3 ),u v ). Determine a R para que o plano tangente ao gráfico de g no ponto ( 1,1,g(1,1) ) seja paralelo ao vetor (4,,a). 34. Sejaf : R Rumafunçãodiferenciável talqueasimagensdascurvasγ(t) = (,t,t ) e µ(t) = (t,t,t 4 ) estejam contidas no gráfico de f. Determine o gradiente de f no ponto (, 1). 5

6 35. O gradiente de f(,y) = + y 4 é tangente à imagem da curva γ(t) = (t,t) em um ponto P = γ(t 0 ) com t 0 > 0. Considere a curva de nível de f que contém P. Encontre a equação da reta tangente a essa curva no ponto P. 36. Sabe-sequeacurvaγ(t) = (t +1,t 3 +t +t)éumacurvadenível dafunçãodiferenciável f : R R, com f(γ(t)) =, t R. Admita que eistem pontos ( 0,y 0 ) Imγ com a propriedade de que o plano tangente ao gráfico de f em ( 0,y 0,) é paralelo ao plano +y z = 0. Encontre esses pontos. 37. Ache aderivada direcional máima de f no ponto dadoedêadireção emque ela ocorre. (a) f(,y) = e y +3y, (1,0); (b) f(,y) = ln( +y ), (1,); 38. Seja f uma função diferenciável em R e considere os pontos A(1,3), B(3,4), C(,4) e D(6,15). Sabe-se que a derivada direcional de f em A na direção e sentido do versor AB/ AB é 3 5 e que a derivada direcional de f em A na direção e sentido do versor AC/ AC é 8. Encontre o vetor gradiente f(1,3) e a derivada direcional de f em A na direção e sentido do versor AD/ AD. 39. Mostre que f(,y) = 3 y é contínua em (0,0) e tem todas as derivadas direcionais em (0,0). É f diferenciável em (0,0)? 40. Seja f uma função diferenciável em R tal que γ(t) = (t+1, t ), t R é uma curva de nível de f. Sabendo que f ( 1, 4) =, determine a derivada direcional de f no ponto ( 1, 4) e na direção e sentido do vetor u = (3,4). 3 +y Seja f(,y) = +y, se (,y) (0,0); (a) Calcule o gradiente de f no ponto (0,0). (b) Mostre que d dt f( γ(t) ) f ( γ(t) ) γ (t) em t = 0, onde γ(t) = ( t, t). (c) Seja u = (m,n) um vetor unitário (isto é, m + n = 1). Use a definição de derivada direcional para calcular f u (0,0). (d) É f diferenciável em (0,0)? Justifique. 4. Sabe-se que f : R ( R é diferenciável em R e que o gráfico de f contém as imagens de ambas curvas γ(t) = t, t, t ) ( e σ(u) = u+1,u,u++ 1 ), u 0. Determine u 6

7 ( ) ( f 1 u, 1, onde u =, 43. Seja f(,y) = (y) 1/3. ). (a) Determine as derivadas parciais de f nos pontos (,y) tais que y 0. (b) Calcule as derivadas parciais de f em (0,0). (c)seaebsãonúmerosreaisnão-nulos, eistem asderivadas parciaisf (0,b)ef y (a,0)? (d) Determine os pontos em que f é diferenciável. Justifique. 44. A curva de nível 1 da função diferenciável f : R R pode ser parametrizada por γ(t) = (t,t ),t R. A curva σ(u) = ( u,u 3,u 6 u 5 u 4 +1),u R tem sua imagem contida no gráfico de f. (a) Determine o vetor tangente à curva σ no ponto (,8,1). (b) Determine o vetor tangente à curva γ no ponto (,8). (c) Calcule o gradiente de f em (,8). 45. Seja F : R R dada por F() = b() a() f(,t)dt sendo a,b : R R funções deriváveis e f : R R uma função de classe C 1. Mostre que F () = 46. Calcule F () para: (a) F() = (c) F() = 0 cosh cos b() a() f (,t)dt+f(,b() ) b () f (,a() ) a () e t dt (b) F() = sen( t )dt 1 0 +t dt RESPOSTAS 1) (a) f (,y) = y +y ; ( ) (a) u(,y) = 1 y f y f (,y) =. +y ) ( ; u(,y) = f y (b) u (,y) = af (a+by); u (,y) = bf (a+by). y 3) 8) (b) Não é contínua em (0,0). (c) Não é diferenciável em (0,0). ). 9) (b) f f (0,0) = 1 e (0,0) = 0. (c) Não. 7

8 d)nenhuma das derivadas parciais é contínua em (0, 0). 11) (b) f (,y) = (c) Sim. 10) (b) Não { 4 y( +y ) cos(( +y ) ) ysen(( +y ) ) ( +y ) se (,y) (0,0), 0 se (,y) = (0,0). (d) Sim. 13) (a) f não é diferenciável em nenhum ponto da reta y =. (b)f não é diferenciável nos pontos da forma (a,0) com a 0. (c) f é diferenciável em R pois é de classe C 1 em R. (d) O mesmo que o item (c). 16) 9600π cm 3 /s 17) Distanciando-se a 10km/h. 18) a = 3 3) b) 1. 4)(a) F r = s e rs G +6r e rs scoss G +9r4 cos s G +s e rs G +6rcoss G ; (b)0. 5) (a) z = 1;X = (0,0,1)+λ(0,0,1),λ R. (b)+y z 1 = 0;X = ( 1,3,0)+λ(,1, 1),λ R. (c) 6 4y +z +5 = 0;X = ( 3,,5)+λ(6, 4,1),λ R. (d)e 3 y z e 3 = 0;X = (3,1,0)+λ(0,e 3, 1),λ R. 6) +6y z 3 = 0 (sim, só um) 7) 6 y z +6 = 0 8) k = 8 30) f(,1) = (4,8) e a reta é +y 4 = 0. 31) X = (±1,±)+λ(5, 4),λ R. 3) (c) 33) a = 4 34) (1,4) 35) X = ( 1 4, 1 ) +λ( 1,1), λ R. 36) (, 1) e (10/9, 7/7). 37) (a) 5, (1,); (b) 5, ( 1 5, 5). 38) f(1,3) = (11, 7) e a derivada direcional pedida é 9/13. 39) f não é diferenciável em (0,0). 40) 4/5 41) (d) Não é. 4) 3 43) (a) f (,y) = y 3(y) /3 ; f y (,y) = (b) f 3(y) /3 (0,0) = f y (0,0) = 0 (c) não eistem. (d) f é diferenciável no conjunto {(,y) y 0}. 44-c) f(,8) = (96,1) 8