ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA

Transcrição

1 Departamento Matemática Disciplina Análi Matemática II Curso Engenharia do Ambiente º Semestre º Ficha nº : Funções de várias variáveis: derivadas parciais, dierenciais e regra da cadeia DERIVADAS PARCIAIS Considere a unção (,) Calcule as derivadas parciais (,0 ) e (,0 ), usando a deinição; Veriique os resultados anteriores usando as regras de derivação Calcule as derivadas parciais de ª ordem de cada uma das guintes unções: 4 ; ( ) ( ) (, ) + +, (, ) e ( cos n) ; 4 (, ) ; + ; z 5 (,,z) ze ; 6 (,,z) e ln z Calcule as derivadas parciais de ª ordem das unções deinidas em e 4 Considere a unção deinida por Calcule:,0 ( ) ( ) ( ) + 0 (, ) ( 0, ) (, ) ( 0, ) 4 ( ) e (,0 ); 4 (, em que m e n são inteiros positivos, veriique que n 5 Se (, ) m Página de 5

2 Disciplina Análi Matemática II º Semestre º 6 Calcule: 4 6 z ndo (,,z) z + z ; 6 tut 4 g ndo g( u,v,t) u vt uv t ; 6 w z ndo w(,,z) + z n kt 7 Veriique que a unção u(,t ) e n n satisaz a equação do calor unidimensional u u k, em que k e n são constantes, u reprenta a temperatura no instante t e no ponto de t coordenada de uma vara isolada, situada ao longo do eio OX 4 8 Mostre que a unção v (,t) ( at) + cos( + at), com a constante, satisaz a equação de onda t v a v 9 Seja a unção deinida por (, ) Calcule ( a, 0 ), ( 0,b), ( 0,, ( 0,, com a e b IR \{0}; 9 O resultado anterior contradiz o Teorema de Schwarz? Justiique Página de 5

3 Disciplina Análi Matemática II º Semestre º DIFERENCIAIS 0 Calcule a epressão do dierencial de cada uma das guintes unções: 0 z + + ; 0 z arctg ; 0 z arcn + e ; 04 w ln( + + z ) Calcule o valor aproimado da variação da unção entre os pontos indicados: (, ) +, P (, 4) e Q (97, 404) ; (, ) (,,z ), P (, 6) e Q (0, 605); + + z e, P (,0, ) e Q (0, 00, Utilize a aproimação linear, baada no dierencial, para calcular um valor aproimado de: ( ) ; ( 0 4) cos + As dimensões de uma caia rectangular echada são m, m e m, com um erro possível de 06 cm em cada medida Por meio de dierenciais, aproime o erro máimo, cometido no valor calculado: da área da superície; do volume 4 Medem- dois lados menores de um triângulo rectângulo, obtendo- cm e 4cm, respectivamente, com erro possível de ±00 cm em cada medida Por meio de dierenciais, obtenha uma aproimação do erro máimo, cometido no valor calculado: 4 da hipotenusa; 4 da área do triângulo Página de 5

4 Disciplina Análi Matemática II º Semestre º 5 A resistência total R de três resistências R, R e R, ligadas em paralelo, é dada por R + + R R R Se as medidas de R, R e R são 00, 00 e 400 ohms, respectivamente, com erro máimo de ±% em cada medida, aproime o erro máimo, cometido no valor calculado de R 6 O raio e a altura de um cilindro recto são 8 cm e 0 cm, respectivamente, com erro possível de medida de ±00 cm U os dierenciais para aproimar o erro máimo, cometido no cálculo do volume do cilindro CONTINUIDADE E DIFERENCIABILIDADE 7 Considere (, ) ( ) ( ) + (, ) ( 0, ) (, ) ( 0, ) 7 Calcule (0,) e (0,), caso eistam; 7 Prove que não é continua em (0,); 7 Que pode concluir quanto à dierenciabilidade de em (0,)? 8 Seja (,,z) z z (,,z) ( 0, 0, (,,z) ( 0, 0, 8 Prove que, e z eistem em (0,0,; 8 Prove que não é dierenciável em (0,0, Página 4 de 5

5 Disciplina Análi Matemática II º Semestre º REGRA DA CADEIA 9 Calcule e, ndo (u, v) u v, com u + e v 0 Se z (u) e u, em que é uma unção derivável qualquer, mostre que: z z e z z z Se z (u) e u +, em que é uma unção derivável qualquer, mostre que : z z + 0 dw d w Calcule e, utilizando a regra de derivação em cadeia, ndo w n(z), t, dt dt t, z t Se z (u) + g(v), u at e v + at, em que e g são unções deriváveis quaisquer e z z a é uma constante qualquer, mostre que a t d 4 Utilize as derivadas parciais para calcular, supondo que () é deinida d implicitamente por: ; Calcule z z e, supondo que z (,) é deinida implicitamente por: 5 ln( + z) + + z ; 5 e e + ze z z Página 5 de 5