ln (1 + y) (x;y)!(0;0) x 2 + y 2 2) Veri que se as funções dadas são contínuas nos pontos indicados

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1 Governo do Estado do Rio Grande do Norte Universidade do Estado do Rio Grande do Norte Faculdade de iências Eatas e Naturais epartamento de Matemática e Estatística isciplina álculo iferencial Integral ) alcule os limites. a) lim (;)!(0;0) b) lim (;)!(;0) c) lim (;)!(0;3) d) lim (;)!(0;) (cot g) ln ( + tg) e p p ln ( + ) ( ) e sin 3 r sin cos 7 + ( + ) e) lim (;)!( 3;) cos f) lim ln ( + ) (;)!(0;0) sin + g) lim p p (;)!(0;) h) lim (;)!(;3) i) lim (;)!(0;0) + j) lim (;)!(0;0) k) lim (;)!(0;0) + ) Veri que se as funções dadas são contínuas nos pontos indicados ; 6= a) f(; ) = P(; ) 4 (+); = b) f (; ) = + ; 6=0 0; =0 P(0; 0) c) f (; ) = + ; 6=0 0 =0 P (0; 0) 3) Aplique os acréscimos parciais e calcule as derivadas parciais das funções abaio. a) f (; ) = b)f (; ) = c)f (; ) = d)f (; ) = e)f (; ) =

2 @ f) W = z + e cos (z) g) W = cos z + sin + e z h) f (; ) = e + e + i) Z = cos ( p ) j) Z = : k) f (; ) = sin + ln l) f (; ) = arctg (sin ) m) f (; ) = n) f (; ) = + o) W = ln ( + + 3z) p) f (; t) = e sin t q) f (; ; z; t) = z 3 t 4 r) f (; ; z) = z 3 + 3z s) f (; ) = p + 4) para = r cos '; = r sin ' = + z; para Z = + e 5) etermine as diferenciais das funções. a) Z = 4 tg ( ) b) W = e 4z + z c) W = e z ln arctg(z) d) Z = e 6) alcule as derivadas parciais de segunda ordem da função Z = 7) alcule as derivadas parciais de 3 a ordem da função Z = e + ln () e 8) etermine as derivadas parciais de segunda ordem das funções abaio. a) f(; ) = b) f (; ) = ln (3 + 5) c) f (; ) = + d) Z = tg e) f (u; t) = e s sin t f) Z = p + g) f (; ) = ln (3 + 5) 9) Veri que se cada uma das seguintes funções é solução da equção de Laplace u = 0: a) u = + b) u = c) u = 3 + 3

3 d) u = ln p + e) u = e cos e cos 0) Veri que se a função u u = 0: p é solução da equação de Laplace + + z ) Mostre que cada uma das seguintes funções é solução da equação a) u = sin (k) sin (akt) t b) u = a t c) u = ( at) 6 + ( + at) 6 d) u = sin ( at) + ln ( + at) ) Mostre que a função de produção de obb-ouglas P = bl K satisfaz a = ( + ) P 3) ada Z = p + ; = t + e = t 3 ; calcule dz dt 4) as funções abaio, calcule dz dt ; dw dt e dw d a) Z = ; = t e = 6t b) W = e, = sin t e = cos t c) W = u sin v + cos (u v), u = e v = 3 d) W = p u v, u = sin e v = cos 5) as funções abaio, culcule o que se pede: a) Z = 3 4 ; = uv e = cos u + @v b) W = ; = 3r + 5s e = @s c) Z = ; = u cos v e = v @v d) W = u uv + 5v ; u = cos e v = e) W = ln u + v ; u = + e v = 6) A resistencia R em ohms, de um círcuito é dada por R = E I ; onde I é a corrente em amperes e E é a força eletromotriz. Num certo instante quando E = 0vols por segundo e I = 5 amperes, E aumenta numa velocidade de 0, volts por segundo e I diminui à velocidade de 0; 05amperes por segundo. Encontre a taa de variação instântanea davariação de R: 7) etermine a velocidade angular do vetor posição OP; sendo O (0; 0) e P (; ) com = t e = 4 + t ; no instante t = s: 8) ada a equação + = 0; determine d d 9) etermine d d sendo + ln(e + e ) 0) ada a equação + 4 = : 3

4 ) ada a equação + = 6; determine d d ed d ) etermine d d ; sendo 3 4 = 3) ada a equação + = 5; determine d d 4) etermine o máimo, mínimo e ponto de sela das funções abaio. a) f (; ) = b) f (; ) = 4 3 c) f () = d) f (; ) = e)f (; ) = f) f (; ) = g) f (; ) = h) Z = sin + sin + cos ( + ) ; com e arcos do 0 quadrante. i) Z = j) Z = 8 k) Z = l) f (; ) = 3 4 m) f(; ) = n) f (; ) = 4 3 5) e uma folha de ande com cm de largura deseja-se obter uma calha dobrando-se as bordas das folhas de iguais quantidades de modo que as abas façam o mesmo ângulo com a horizontal. Qual a largura das abas e qual o ângulo que devem fazer a m de ter uma capacidade máima?. 6) Encontre as dimensões de uma caia retângular de maior volume possível que possa a ser inscrita no elipsóide z = ; considerando que as arestas da caia sejam paralelas aos eios de coordenadas. 7) Estude quanto ao máimo e mínimo a função z = havendo entre e a restrição = 0: 8) alcule as dimensões do paralelepípedo retângulo de volume máimo que se pode inscrever no elipsóide de equação a + b + z c = 9) Uma caia retangular sem tampa é feita de m de papelão. etermine o volume máimo dessa caia. 30) etermine a derivada direcional de f no ponto dado e a direção indicada pelo ângulo. a) f (; ) = ; P (; ), = 3 b) f (; ) = sin ( + ) ; P (4; ) ; = 3 4 c) f (; ) = p 5 4; P (4; ) = 6 4

5 d) f (; ) = e ; P (5; 0) = 3) etermine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor v: a) f (; ) = + p ; (3; 4) v = 4i 3j b) f (; ) = ; (6; ) v = i + 3j c) f (s; t) = s e t ; (; 0) v = i + j d) f (; ; z) = p + + z ; (; ; ) v = 6i + 6j 3k e) g (; ; z) = arctg z (; ; ) ; v = i + j k f) g (; ; z) = z 3 ; (; 6; ) v = 3i + 4j + k 3) alcule a derivada da função W = p + + z no ponto P ( ; ; ) e na direção do vetor AB; sendo A (; ; ) e B (; 0; ) : 33) ada a função Z = ln p + ; calcule a derivada no ponto P (; ) ; na direção do vetor v = 5i + j: 34) alcule a derivada direcional máima da função W = sin ( + ) + cos ( + z) ; no ponto P 3 ; 0; 6 35) Se = 3 z 3 e A = zi j + 3 k; achar: a) r; b) r A c) rota d) div (A) e e) rot (A) ; todos no ponto P (; ; ) : 36) alcule as integrais. d) a) Z Z 4 Z Z 4 dd b) Z Z 0 dd c) Z Z 3 dd 0 ZZ 37) alcule na ordem mais conveniente de integração a integral 0 dd ( + ) dd; sendo = f(; ) R= e g 38) alcule usando integral dupla, a área da super cie limitada pelas retas = 0; = ; ZZ = 3 e + 3 = 0: 39) alcule dd; onde é a região do plano O; limitada por = e = : 40) alcule, na ordem dada ZZ ( ) dd; sendo a região de O limitada pelo eio dos e pelas retas = e + 6 = 0: Z (;3) 4) alcule d + + d ao longo do segmento de (0;) reta de reta de etremos (0; ) e (; 3) : 4) Zalcule o valor das integrais. a) (3d 5d) ; : = + t; e = 4t; 0 t : b) Z (3;9) ( ;4) d d ao longo da parábola = 5

6 Z c) Z d) d + d ; : = cos t; = sin t; 0 t + d + d ; : o caminho triângular de (; 0) para (; ) para(0; 0) para (; 0) : I 43) Achar a área do círculo = R cos e = R sin sendo A = (d d) : Z 44) Veri que o teorema do Green no plano para 3 3 d + + d ; sendo a curva fechada do domínio limitado entre as = e = : 45) Zalcule as integrais de linha. a) d 4d ; : : = t, = 4 + 3t; = 4 + 3t t Z b) [(5 + ) d + (3 4) d] ; : = 4 + t; = 0 t; 0 t c) Z (;4) ( ;4) d 3 d ; ao longo da parabola = 46) I alcule, usando o teorema de Green. d + d onde : é o retângulo de vértices (0; 0) ; (3; 0),(3; ) e (0; I) : 47) alcule [( 3 ) d + (3 + 6) d] ao longo de um círculo de raio 4 e centro em (0; 0) usando o teorema de Green. 48) Ache o trabalho realizado pela força F dada, atuando sobre uma partícula que se move na trajetória dada por: F = i 6j; : caminho poligonal de (0; 0) a (; ) a (; 3) a (3; 3) : 49) Seja R a região ZZinterior do trapezóide cujos vértices são (; ), (4; ), (5; 4) e (; 4) :alcule 8dd: R ZZ 50) Integre na ordem mais conviniente a integral dupla região limitada pelas retas = 0; = 0 e + 3 = 0: dd p + sendo a 6