DERIVADA DE UMA FUNÇÃO

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1 CÁLCULO I o Semestre de Pro. Maurício Fabbri 4- a Série de Eercícios DERIVADA DE UMA FUNÇÃO INCREMENTOS, TAXAS DE VARIAÇÃO, TANGENTES E A DERIVADA análise ráica O incremento de entre e é β A taa média de variação de entre e é tan β NOTE que essa taa média depende dos pontos escolidos. A taa média é iual à inclinação da secante que passa pelos pontos, e,. A taa instantânea de variação, ou derivada de no ponto é iual à inclinação da tanente ao ráico de no ponto,, e pode ser encontrada azendo tan α tan β Em cada ponto, a derivada de é deinida como α Desse modo, dada uma unção deinimos a sua unção derivada como sendo o valor da taa de variação de no ponto. A derivada de também costuma ser escrita como dierenciais "d " e "d" indica que estamos trabalando no ite. d. A notação de d d d NOTE que, enquanto as variações " " podem ser calculadas numericamente, os dierenciais "d " eprimem um ite, e não podem ser escritos ou obtidos nem calculados como dierenças numéricas "initas". Finalmente, observe que - > nos pontos onde é crescente - < nos pontos onde é decrescente - nos pontos locais de máimo, mínimo ou de inleão orizontal camados de pontos críticos de. MFabbri 4-

2 Eercício : Em cada eemplo, esboce o ráico de. Preste especial atenção ao sinal da derivada e aos pontos críticos da unção. a b c d e MFabbri 4-

3 i LIMITES E CONTINUIDADE Uma unção é contínua no ponto se e só se eiste e. Quando uma unção é contínua em um ponto, podemos calcular simplesmente substituindo por na órmula da unção a unção eiste em, não dá "saltos" em e nem tem "ininitos" no ponto. No ráico ao lado, vemos que b a e c b c a Portanto, é descontínua no ponto. Também. Aliás, para. Podemos escrever, pelo que o ráico parece indicar, que e que. No ponto, o ráico indica que e. é descontínua nos pontos, e. parece ser contínua em qualquer ponto {,, }. dizemos "parece ser" porque um ráico não é capaz de indicar todas as inormações a respeito de. MFabbri 4-

4 4 MFabbri 4- Eercício : Quais os valores dos ites pedidos? sia apenas a indicação dos ráicos

5 DIFERENCIABILIDADE é dierenciável no ponto quando eiste. o ráico de admite uma tanente no ponto NOTE que a dierenciabilidade implica em continuidade, mas o contrário não é verdadeiro. Na iura ao lado, é dierenciável em todos os pontos, eceto e. é contínua em, mas não é dierenciável nesse ponto. não é contínua em, muito menos dierenciável nesse ponto. LINEARIDADE Se a. b., onde a e b são constantes não dependem de, então a. b.. Na notação de dierenciais, teremos d d d d a b. d d Se n A DERIVADA DE n d d n n válido para todo n R. CASOS PARTICULARES IMPORTANTES: K ab a a bc a b K, a, b e c sendo constantes, independentes de Eercício : Escreva a órmula da derivada das unções: a b c 4 d 6 e MFabbri 4-

6 6 Eercício 4: Um objeto se move sobre uma lina reta, de modo que a sua posição em unção do tempo é dada por: t t t em seundos st 4 s em metros a Qual sua posição nos instantes s, s, min, min e mins? s b Calcule a velocidade média entre os instantes: t e 6s; 6s e s; e s; s e 4s ds c Escreva a órmula para a velocidade instantânea v t em unção do tempo. dt d Calcule a velocidade instantânea nos instantes, s, min, min e mins. dv e Escreva e órmula para a aceleração a t em unção do tempo. dt Qual a posição do corpo quando sua velocidade or de m/s? Eercício : Repita o eercício anterior quando t 7 st t t s em em seundos metros Eercício 6: A cúbica y 9 A B tem o ráico mostrado na iura ao lado. a Encontre os valores de A e B de modo que o ponto de máimo local esteja em P,8. b Com esses valores de A e B, encontre a posição R do mínimo local. c Com esses valores de A e B, encontre a posição Q onde a unção y muda de concavidade ponto de inleão. Eercício 7: Esboce o ráico de cada uma das unções abaio, marcando a posição das raízes e as coordenadas dos pontos de máimo e mínimo locais: a. b 4 4. c 6. Eercício 8: Uma antena de teleone celular de m está bem no topo de uma montana de 4m de altura, cujo peril é descrito pela parábola 4. Uma ormia sobe a montana, a partir do solo. A que altura a ormia começa a enerar a torre? retirado de ttp://ocw.mit.edu/ocwweb/web/courses/courses/inde.tm ALGUNS LIMITES BÁSICOS Aluns ites importantes podem ser calculados apenas por inspeção ou eetuando uma atoração simples. Eercício 9: Determine os ites abaio: a e b c d 6 i MFabbri 4-

7 Certos ites podem ser obtidos pela rera de L Hôpital que oi, na verdade, obtida por J.Bernoulli em 694: Se e são dierenciáveis em um intervalo aberto a,b contendo c, e se / tem a orma indeterminada / ou / em c, então 7, contanto que esses ites eistam. c c Eercício : Calcule os ites do Eercício 8 pela rera de L Hôpital. Eercício : a b c RESPOSTAS d e i Eercício : Eercício : a b c 8 d e Eercício 4: a m;,7m; m; m;,7m b,m/s ;,67m/s; ;,8m/s d,m/s;,m/s; ;,m/s;,667m/s e a m / s 4m c vt Eercício : a 4,7m; 9,7m; 4,7m; 46,m; 66,m b ; 6,m/s;,7m/s;,m/s d,7m/s;,m/s;,7m/s;,m/s;,7m/s e a m / s 84m 8 t c t em seundos v em m/s t vt 8 4 t em seundos v em m/s Eercício 6: a 4 e b 4,4 c, 6 MFabbri 4-

8 8 Eercício 7: a b c,,8 ;,8,, -,77 ;,8, -,869 ; 6, , -, -,,,, -,,77 ; -,8 -, -, -, ,46 ; -, ,47 ; -,8 Eercício 8: m Eercício 9: a b, c d e / i 4- Maurício Fabbri MCT/INPE: ttp:// Universidade São Francisco USF Itatiba/Campinas ttp:// São Paulo - Brazil Permitido uso livre para ins educacionais, sem ônus, desde que seja citada a onte. MFabbri 4-