CAPÍTULO 1 - REVISÃO DE TÓPICOS DE CÁLCULO - DERIVADAS

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1 CAPÍTULO - REVISÃO DE TÓPICOS DE CÁLCULO - DERIVADAS. Os problemas básicos do cálculo Quase todas as ideias e aplicações do cálculo giram em torno de dois problemas geométricos áceis de serem entendidos. Ambos se reerem ao gráico de uma unção. Assumiremos, para simpliicar, que esse gráico está inteiramente acima do eio, como na Figura.. área? P declive? Figura. - Problemas básicos do cálculo a b Os dois problemas são: o cálculo das tangentes, é o problema básico do cálculo dierencial, isto é, calcular o coeiciente angular da reta tangente ao gráico num ponto dado P o cálculo das áreas, é o problema básico do cálculo integral, isto é, calcular a área debaio do gráico, entre os pontos a e b. Tudo que se az no cálculo está sempre relacionado com esses dois problemas, as ideias e as técnicas para resolvê-los e as aplicações originadas deles.

2 À primeira vista, estes problemas podem parecer de alcance bem limitado. O que é surpreendente é constatar que eles têm muitas aplicações proundas e de longo alcance em muitas ciências.. O problema da tangente Antes de calcular o coeiciente angular de uma reta tangente, devemos primeiro entender o que é uma reta tangente. E isto não é tão ácil quanto parece. No caso de uma circunerência não há diiculdade. Uma tangente a uma circunerência Figura. é uma reta que intercepta a circunerência em apenas um ponto, chamado o ponto de tangência as retas não-tangentes ou interceptam a circunerência em dois pontos ou não a interceptam. P Figura. - Tangente a uma circunerência Essa situação relete a ideia intuitiva que temos de tangente a uma curva num dado ponto como sendo uma reta que toca a curva naquele ponto. Ela sugere também a possibilidade de deinir uma tangente a uma curva com uma reta que intercepta a curva em apenas um ponto. Esta deinição não é satisatória para curvas em geral. Considere a curva mostrada na Figura.. Ela tem uma tangente pereitamente aceitável no ponto P, que esta deinição rejeitaria a reta acima, obviamente não tangente, é que seria aceita. P Figura. - Tangente a uma curva

3 O conceito correto de tangente originou-se com Fermat, em 6. Este conceito não é só um razoável enunciado sobre a natureza geométrica das tangentes, mas é também a chave de um processo prático para a construção de tangentes. Resumidamente, a ideia de Fermat é a seguinte: - considere uma curva e P um dado ponto io sobre essa curva Figura.4. - considere Q um segundo ponto próimo de P sobre a curva e trace a reta secante PQ. - a reta tangente em P pode agora ser vista como a posição limite da secante variável quando Q desliza ao longo da curva em direção a P. tangente secante Q P Figura.4 - A idéia de Fermat Com essa idéia qualitativa, é possível ter-se um método quantitativo para o cálculo do coeiciente angular eato da tangente em termos da unção. Essa idéia de tangente é uma das três ou quatro idéias mais ecundas que um matemático já possa ter concebido. Sem ela, não haveria o conceito de velocidade, de aceleração e de orça em Física, nem dinâmica ou astronomia newtoniana, nem certamente teríamos a modernidade da Engenharia e Tecnologia.

4 . Cálculo do coeiciente angular da tangente inclinação Seja P, um ponto arbitrário iado sobre a parábola, como mostrado na Figura.5. Nosso objetivo é calcular o coeiciente angular da tangente a essa parábola no ponto dado P. Para iniciar o processo, escolhemos um segundo ponto próimo Q, sobre a curva. Q secante P tangente Figura.5 - Coeiciente angular da tangente A seguir, traçamos a reta secante PQ determinada por estes dois pontos. O coeiciente angular dessa secante é evidentemente equação.: m sec Coeiciente angular PQ.

5 Agora, a etapa crucial: açamos se aproimar de, de modo que o ponto variável Q se aproime do ponto P, deslizando ao longo da curva. Quando acontece isso, a secante muda de direção e se aproima da tangente em P em sua posição limite. É intuitivo que o coeiciente angular m da tangente é o valor limite aproimado pelo coeiciente angular msec da secante. Isto poderia ser escrito simbolicamente de orma concisa e mais adequada equação.. A abreviação lim, com, lê-se o limite, quando tende a, de... : m limm Q P sec lim. Não podemos calcular o valor limite m em. colocando simplesmente, porque isto daria um resultado sem signiicado: Devemos pensar que chega perto de, mas permanece distinto dele. No entanto, quando isto acontece, ambos e tornam-se arbitrariamente pequenos e não é de todo claro que valor limite esse quociente se aproima. O modo de sair dessa diiculdade é usar a equação da curva. Como P e Q estão sobre a curva temos e e, assim tem-se equação.: m sec. Donde m sec e a equação. torna-se m lim lim

6 Agora ica ácil entender o que acontece. Quando ica cada vez mais próimo de, ica cada vez mais próimo de. Assim é o coeiciente angular da tangente à curva equação.4. m.4 Eemplo. Os pontos, e, 4 estão na parábola Figura.6.. Pela equação.4, os coeicientes angulares das tangentes nesses pontos são m e m. Usando a orma ponto-coeiciente angular da equação de uma reta, nossas duas retas têm as equações: e 4 De maneira eatamente igual, ponto genérico, sobre a curva. é a equação da reta tangente em um m m, 4, Figura.6 - Tangente a um ponto genérico

7 Vamos introduzir agora a chamada notação delta notação. O procedimento acima descrito começa variando a variável independente de um primeiro valor para um segundo valor. A notação padrão para a quantidade de tal variação é leia-se delta, de modo que equação.5:.5 é a variação em ao se passar do primeiro valor para o segundo. Podemos também considerar o segundo valor como sendo obtido do primeiro, acrescentando-se a mudança equação.6:.6 É importante compreender que é um incremento de. Um incremento pode ser negativo ou positivo. Assim, se e, então e se e, então. Em vista das equações.5 e.6 a equação. para o coeiciente angular da secante, pode ser escrita na orma da equação.7: m sec.7 Epandindo o primeiro termo do numerador e simpliicando o resultado, tem-se: assim, a equação.7 torna-se: m sec

8 Se inserirmos isto na equação. e utilizarmos o ato de que é equivalente a, temos como antes: m lim, Assim, quando ica cada vez mais perto de zero, ica cada vez mais próimo de. O segundo método, usando a notação Δ, depende da epansão do quadrado, enquanto o primeiro depende da atoração da epressão. Nesse caso particular nenhum dos dois métodos é mais árduo que o outro. No entanto, em geral, epandir é mais ácil que atorar, e por essa razão adotamos o método de incrementos como nosso procedimento padrão. O cálculo que acabamos de realizar para a parábola pode ser, em princípio, generalizado para o gráico de qualquer unção, Figura.7. Q P Figura.7 - Incremento numa unção qualquer

9 Primeiro, calculamos o coeiciente angular da secante que passa pelos pontos P e Q, correspondentes a e, m sec. Depois, calculamos o limite de msec quando tende a zero, obtendo um número m que interpretamos geometricamente como sendo o coeiciente angular da tangente à curva no ponto P : m lim O valor desse limite é usualmente denominado pelo símbolo, que se lê linha de, enatizando sua dependência do ponto e da unção. Assim por deinição, temos equação.8: ' lim.8 Nessa notação, o resultado do cálculo dado acima pode ser epresso como se segue: se, então '

10 Eemplo. Calcular se Solução: Para essa unção, o numerador do quociente na equação.8, é: [ ] [ ] ' lim 4 ' lim 4 ' ' 4

11 Eemplo. Dada a unção, calcular o coeiciente angular da tg no ponto, por: a atoração b notação c achar a equação da reta tg para. Solução: a por atoração lim lim lim lim lim lim m m m m

12 b por notação m lim lim lim lim lim ' m m m m c equacao da reta para 4 4 m

13 EXERCICIOS PROPOSTOS LISTA A - Use a aproimação da secante para calcular a inclinação do gráico num ponto, sendo dados: a 4-5 b c d 4 Respostas: a - 4 b - c 4 d - Ache a equação da tangente à parábola a No ponto -,4 b No ponto em que o coeiciente angular é 8 c Se a tangente corta o eio no ponto Respostas: a -4-4 b 8 6 c 4 4 Esboce o gráico de sobre o intervalo - a Use o método dos incrementos para calcular o coeiciente angular da reta tangente num ponto arbitrário, da curva. b Quais são os coeicientes angulares das retas tangentes nos pontos -,-,,,- sobre a curva? Use esses coeicientes angulares para desenhar as tangentes nesses pontos em seu gráico. c Em que ponto sobre a curva a tangente é horizontal? Respostas: a m b para o ponto -,- m para o ponto, m para o ponto, m - para o ponto,- m -c ponto ½, ¼

14 4 Mostre que a tangente da curva passando pelos pontos de coordenadas,, tem uma inclinação. Usando este resultado, determine a inclinação da curva em cada um dos seguintes pontos: a 5, 5 b, c, d,. Respostas: a 5 b - c -4 d 9

15 .4 A derivada.4. Deinição Dada uma unção qualquer, sua derivada é a nova unção cujo valor num ponto é deinida pela equação.9: ' lim.9 Ao calcularmos esse limite, é mantido io enquanto varia e tende a zero. O limite indicado pode eistir para alguns valores de e deia de eistir para outros. Se o limite eiste para a, então a unção se diz derivável ou dierenciável em a. Uma unção derivável ou dierenciável é aquela que é derivável em cada ponto do seu domínio. A derivada pode ser visualizada da maneira sugerida pela Figura.8., na qual é a altura variável de um ponto P se movendo ao longo da curva e é a declividade variável da reta tangente em P. P Declive ' Figura.8 - Derivada numa curva qualquer

16 A deinição acima de derivada não depende, de maneira nenhuma, de ideias geométricas. O que pensamos a cerca da Figura.8. constitui uma interpretação geométrica e mesmo que possa ser importante como auiliar para a compreensão, não é parte essencial do conceito de derivada. Nas seções seguintes encontraremos outras interpretações de derivadas que não tem a ver com geometria. Devemos estar preparados para considerar puramente como uma unção e reconhecer que ela tem diversas interpretações. Eemplo.4 Determine se Solução Passo. Escreva a dierença para a unção dada. Passo. Dividir para ormar o quociente das dierenças Passo. Cálculo do limite do quociente das dierenças quando. lim '

17 Vamos considerar resumidamente o que o resultado deste eemplo no diz acerca do gráico da unção. Primeiro, é evidentemente negativo para todo e, como este é o coeiciente angular da tangente, todas as retas tangentes apontam à direita, para baio. Quando está próimo de zero, é muito grande, o que signiica que essas retas tangentes são bem inclinadas e quando é grande, é pequeno, e assim essas retas são quase horizontais veja Figura.9.. Como se observa, no ponto, a inclinação da reta tangente é. 4 ' 4,/ Figura.9 - Resultados do eemplo. para unção.

18 .4. Notação Diversas notações para as derivadas são de uso comum. A derivada de uma unção oi denotada acima por. Essa notação tem o mérito de enatizar que a derivada de é uma outra unção de que está associada de certa maneira com a unção dada. Se nossa unção é dada na orma, com a variável dependente eplícita, então o símbolo mais curto,, é requentemente usado em lugar de. A principal desvantagem da notação prima para derivadas é que ela não sugere a natureza do processo pelo qual é obtida de. A notação criada por Leibniz para sua versão de cálculo é melhor nesse aspecto bem como em outros. Para eplicar a notação de Leibniz, começamos pela unção e escrevemos o quociente de dierenças. Na orma, onde. Aqui não é apenas uma mudança qualquer em ela é a mudança especíica que resulta quando a variável independente muda de para. Como sabemos, o quociente de dierenças pode ser interpretado como a razão de variação de pela variação de ao longo da curva, e esta é o declive da secante Figura.. Leibniz escreveu o limite desse quociente de dierenças, que naturalmente é a derivada, na orma d leia-se d sobre d. Nessa notação, a deinição da derivada torna-se d d d lim.

19 declive d declive d Figura. - Coeiciente angular declive da tangente A equação. é o coeiciente angular declive da tangente na Figura.. Duas ormas equivalentes, um pouco dierentes de d d são d d e d d. Na segunda notação, o símbolo d d deve ser encarado como uma operação que pode ser aplicada à unção para levar a sua derivada, como é sugerida pela equação d d '. O símbolo d d unção de. pode ser lido a derivada em relação a de..., qualquer que seja a

20 Apesar das vantagens da notação de Leibniz, ela ainda não é pereita. Por eemplo, suponha que desejamos escrever o valor numérico da derivada num ponto especíico, digamos. Como d como az, somos orçados a usar a notação d não mostra a variável da maneira conveniente, d d ou d d que não é conciso..4. Algumas regras de derivação Se lembrarmos que a notação abarca todas as unções concebíveis, então podemos compreender que o cálculo das derivadas pelo processo descrito na seção 4., muitas vezes pode ser diícil e demorado. Nosso propósito, nesta seção, é apresentar um número de regras ormais que nos capacitarão a derivar rapidamente grandes classes de unções, por processos puramente mecânicos. A derivada de uma constante é zero d c d Se n é um inteiro positivo, então d d n n n d d c n c n n Eemplo: d d d d

21 Se c é uma constante e u é uma unção derivável de, então d d d c d cu c du c d Se u e v g são unções de, então d d u v du d dv d d d u v w du d dv d dw d A regra do produto. Sejam u e v unções deriváveis de, então d d u v dv u d v du d d d u v w v w du dv u w u d d v dw d A regra do quociente. Sejam u e v unções deriváveis de, então d d du v u u d v v dv d vu ' u v', em todos os valores de onde v v

22 A regra da cadeia. Seja uma unção de u, onde u, por sua vez, é uma unção de, isto é u onde u g. A correspondente unção composta é a unção g, obtida substituindo-se u g em u. A derivada d é obtida por: d d d d du du d Eemplo: 5 d d se u 5 u e assim u ' d du du d ' 5u u Outras regras de derivação da d ln a a de d ln e e e dln d du v d u v v ln u v u u

23 Observação: derivação implícita Consiste em derivar toda a epressão sem antes colocar a variável dependente em evidencia. É útil quando or trabalhoso ou impossível colocar em evidencia como se osse uma unção u qualquer. Eemplo: a d d d d d d Estas regras serão usadas de muitas maneiras em tudo que izermos a partir de agora. Portanto é recomendável praticá-las até seu uso se torne quase automático..4.4 Derivadas de ordem superior As derivadas sucessivas de uma unção podem ser escritas como: d d Primeira deridada ' ' d d Segunda derivada ' d d ' '' d d Terceira derivada ' d d '' ''' d d n n n n d d n-ésima derivada n n d d

24 A seguinte observação é importante: a Segunda derivada é a derivada da primeira derivada, e assim sucessivamente, isto é d d d d d d d d d d d d Quais as aplicações das derivadas de ordem superior? Em geometria, a derivada segunda nos diz se a curva é côncava para cima ou para baio. Em ísica, as segundas derivadas são importantes, pois se s t dá a posição de um corpo móvel no tempo t, então sabemos que a primeira e segundas derivadas dessa unção de posição são a velocidade e a aceleração do corpo no instante t. ds dv d s v e a dt dt dt, As derivadas de ordem maior que dois não tem tais interpretações geométricas e ísicas undamentais. No entanto, essas derivadas têm sua aplicação também, na epansão de unções em série ininitas. EXERCICIOS PROPOSTOS LISTA B Use a deinição de derivada para calcular, sendo dados: a b c d e. Respostas: a b c d e

25 Use as regras práticas de derivação para calcular no ponto, sendo dados:. 5 t log j s log i r h q g p 6 o 4 e n d ln m 4 c ln l b log k a 5 5 sen e e e e e

26 Respostas: a k 6log ln b 5 l 6 c m d n sech e o p g q h r i s j t

27 .5 Algumas aplicações de derivadas.5. Taas relacionadas À medida que um reservatório vai recebendo água, o nível da água sobe. Para descrever a velocidade com que o nível da água sobe, usamos a taa de variação do nível da água ou, de modo equivalente, a taa de variação da proundidade. Denotando-se a proundidade por h e sendo t o tempo medido a partir de um momento conveniente, a derivada dh ornece a taa de variação da proundidade. Além dt disso, o volume V de água no reservatório também está mudando e dv variação. dt é sua taa de Analogamente, toda quantidade ísica ou geométrica que varia com o tempo é unção do tempo, digamos que Q Qt e sua derivada dq dt é a taa de variação da quantidade. Os problemas que vamos considerar a seguir estão baseados em que, se duas quantidades variáveis estão relacionadas entre si, então suas taas de variação também estarão. Eemplo.5 Um reservatório em orma de cone com vértice para baio mede m de altura e tem no topo um diâmetro de m. Bombeia-se água à taa de 4 m.min. Encontre a taa com que o nível da água sobe: a quando a água tem m de proundidade e b quando a água tem 8 m de proundidade.

28 Solução: 4 m min 6 m r m V h Figura. - Reservatório em cone Ao se despejar água no reservatório cônico Figura. à taa de 4 m min, a taa de variação do volume V da água no reservatório no instante t, será dv dt 4 A taa de variação da proundidade h é a derivada dh dt e esta não é constante. É intuitivamente claro que essa taa de variação é grande quando a área da superície da água é pequena e torna-se pequena quando esta área aumento. dv dt Neste problema, estamos procurando dh, quando h e h 8, sendo dado 4. O volume variável da água no reservatório tem a orma de um cone, logo, o nosso ponto de partida é a órmula dt V r. h As únicas variáveis dependentes que nos interessam são V e h. Queremos eliminar a variável supérlua r. Da Figura., usando triângulos semelhantes, vemos que, r h 6 ou r h

29 Assim, obtemos V h. Estamos agora em condições de introduzir as taas de variação, derivando a órmula de volume, com relação a t, o que leva a dv dv dh h dt dh dt 4 dh dt Como dv 4, tem-se dt dh 4 dt h dv dt 6 h Para h, dh 6,7m min - dt 4 e, para h 8, dh dt,8m min 4 Obs.: Vale a pena observar que a taa de variação do volume é igual à área da superície livre vezes a taa de variação da proundidade, isto é, Como, h r Diâmetro D Tem-se, dv dt h 4 dh D dt 4 dh dt dh A dt onde, A área da superície livre da água

30 Eemplo.6 Um grande balão esérico de borracha está sendo cheio de gás a uma taa constante de 8 m.min. Calcule com que velocidade o raio r do balão cresce a quando r m b quando r 4 m. Solução: O volume do balão Figura. é dado pela órmula: V 4 V r r Figura.. Balão Temos que dv dt 8 e precisamos determinar dr dt para dois valores especíicos de r. É essencial compreender o que está por trás dessa situação, ou seja, o ato de que V e r serem variáveis dependentes, tendo o tempo t como variável independente subjacente. Com isto em mente, é natural introduzir as taas de variação de V e r, derivando o órmula do volume com relação a t, dv dv dr 4 dr r 4 r dt dr dt dt dr dt Onde a regra da cadeia oi aplicada. Segue-se que dr dt 4 r dv dt r, pois dv dt 8. Para r, temos dr dt,6m.min 4 e para r 4, temos dr dt,4m.min 8

31 Eemplo.7 Uma plataorma de m está apoiada em uma parede. A base da plataorma está sendo empurrada no sentido contrário ao da parede, a uma taa constante de m min. Qual a velocidade com a qual o topo da plataorma se move para baio, encostada à parede, quando a base da plataorma está a m da parede? Solução: A Figura., representa graicamente o problema em questão. m m min Figura. - Plataorma apoiada numa parede Estamos interessados em calcular dv d, para m, dado dt dt m min. O uso do sinal negativo é porque está decrescendo. Deveremos procurar uma equação que relaciona e, da qual possamos obter uma Segunda equação relacionando suas taas de variação. Pela Figura., decidimos que nosso ponto de partida deve ser o ato de que 9. Derivando essa epressão com relação a t, obtemos d d d d d ou ou dt dt dt dt dt d dt, d d e, portanto, visto que dt dt. Para, temos d. 9 logo,6m min. dt

32 .5. Descrevendo gráicos de unções O objetivo dessa seção é dar condições para descobrir a derivada como uma erramenta para descobrir rapidamente os aspectos mais importantes de uma unção e esboçar o seu gráico. Funções crescentes e decrescentes Dizemos que uma unção é crescente num certo intervalo do eio se, nesse intervalo, < implica <. Geralmente, isso signiica que o gráico é ascendente quando o analisamos da esquerda para a direita. Analogamente, a unção é dita decrescente se < implica >. Estes conceitos são ilustrados na Figura.4. Figura.4 - Função crescente e decrescente Para esboçarmos o gráico de uma unção, é importante conhecermos os intervalos em que ela é crescente e aqueles em que ela é decrescente. O sinal da derivada nos dá essa inormação: uma unção é crescente nos intervalos em que > e é decrescente nos intervalos em que <. Estes conceitos são ilustrados na Figura.5.

33 ' ' ' ' ' ' crescente decrescent e crescente crescente Figura.5 - Intervalos crescentes e decrescentes de uma unção Uma curva lisa só pode se transormar de crescente em decrescente passando por um pico onde o coeiciente angular da reta tangente é zero. Analogamente, ela só pode passar de decrescente para crescente passando por uma depressão onde o coeiciente angular da reta tangente é zero. Nesses pontos temos um valor máimo ou mínimo relativos da unção. Localizamos esses pontos determinando inicialmente os pontos críticos da unção, que são as soluções da equação. Depois resolvemos a equação encontrando suas raízes. Na Figura.5, os pontos críticos são, e e os correspondentes valores críticos são os valores da unção nesses pontos, isto é,,,. Um valor crítico não é necessariamente um ponto de máimo ou de mínimo. No ponto crítico o gráico não passa por um pico nem por uma depressão, mas simplesmente se achata momentaneamente entre dois intervalos, em cada, um dos quais a derivada é positiva.

34 Os valores máimos ou mínimos locais ou relativos são assim qualiicados quando comparados somente com pontos vizinhos sobre a curva. Na Figura.5, é um máimo, embora haja muitos pontos com cota maior sobre a curva, à direita. Estamos interessados no máimo absoluto de uma unção, devemos comparar esses máimos relativos entre si, determinando qual se eistir é maior que qualquer outro valor assumido pela unção. Eemplo.8 Analise o gráico do polinômio Solução: Começamos calculando a derivada e atorando tanto quanto possível ' Os pontos críticos são obtidos como segue donde, e. Os correspondentes valores críticos são 9 e 8. Os dois pontos críticos dividem o eio em três intervalos: <, < < e >. Em cada um desses intervalos tem sinal constante.

35 Quando <, e são ambos negativos e o seu produto é positivo, logo >. Quando < < e é positivo e é negativo e assim seu produto é negativo, logo <. Quando >, e são ambos positivos e assim seu produto é positivo, logo >. Na Figura.6 assinalamos os pontos, 9 e, 8 e esboçamos a curva lisa passando por eles, usando os resultados da análise acima, isto é: é crescente quando <, decrescente quando < < crescente quando >.,9, 8 Figura.6 - Polinômio Concavidade e pontos de inleão

36 Um dos aspectos mais marcantes de um gráico é o sentido em que ele se curva. O sinal da segunda derivada nos dá essa inormação. Uma segunda derivada positiva, >, indica que o coeiciente angular é uma unção crescente de. Se <, o declive da tangente é decrescente veja Figura.7. Dessa orma, em um dado ponto, se >, então é côncava para cima ou simplesmente côncava se <, então e côncava para baio ou convea. '' côncavo cima para P conveo '' Figura.7 - Concavidade e pontos de inleão Um ponto P, no qual o sentido da concavidade muda chama-se ponto de inleão. Se é contínua e tem sinais apostos em cada lado de P, deve-se anular no próprio P. A busca de pontos de inleão é basicamente uma questão de resolver a equação e conerir o sentido de concavidade em ambos os lados de cada vez.

37 Eemplo.9 Investigue a unção quanto à concavidade e pontos de inleão. 8 Solução Calculamos ' e '' 4. Os pontos críticos as raízes de são e, e os valores críticos correspondentes são 6 e. Resolvendo, encontramos uma única raiz,. Temos, portanto, um possível ponto de inleão < e positiva para >. Assim, o gráico e côncavo para baio à esquerda de e côncavo para cima em à sua direita. Isto revela que temos realmente um ponto de inleão em, como está indicado na Figura.8., 6,, - Figura.8 Polinômio 8

38 Na tabela abaio, mostra-se resumidamente como um gráico pode combinar as propriedades de crescimento, decrescimento, concavidade e conveidade. Condição nas derivadas Descrição de Gráico de na vizinhança de > crescente > côncava > crescente < convea < decrescente > côncava 4 < decrescente < cônvea

39 .5. Problema de otimização Uma das aplicações mais notáveis do conceito de derivada é a dos problemas de otimização, em que se buscam valores máimo ou mínimo de unções. Sempre que utilizamos palavras como o maior, o menor, o máimo o mínimo, o melhor, e assim por diante, é razoável admitir que alguma espécie de problema de máimo ou mínimo se nos apresenta. Quando esse problema puder ser epresso em termos de variáveis e unções o que nem sempre é possível, os métodos do cálculo estão disponíveis para acilitar sua compreensão e solução. Analisemos alguns problemas. Otimizar a unção objetivo maimizar a vantagem Minimizar a desvantagem O procedimento consiste em achar o ponto crítico. Obter em seguida a segunda derivada. Sendo: Se > concavidade para cima indicando ponto de mínimo Se < concavidade para baio indicando ponto de máimo

40 Eemplo. Ao preço de R$,5 um comerciante pode vender 5 unidades de certa mercadoria que custa R$,7 cada. Para cada centavo que o vendedor abaia no preço, a quantidade vendida pode aumentar de 5 unidades. Que preço de venda maimizará o lucro? Solução Façamos denotar o número de unidades monetárias que o vendedor abaia no preço o lucro na venda de cada mercadoria será a Receita menos o custo L,5,7 L 8 centavos, e a quantidade vendida será 5 5. O lucro total, em unidades monetárias é: L resultante, Maimizamos essa unção igualando sua derivada a zero e resolvendo a equação dl e, centavos d O preço de venda mais vantajoso será R$,. Conirmando ponto de máimo: d L 5 d convea ponto de máimo

41 Eemplo. Deseja-se construir uma área retangular cercada ao longo de um dos lados de um muro. Determinar as dimensões da maior área que pode ser construída usando 4 m de cerca. Solução: A Figura.9 apresenta um esquema do problema. área A Figura.9 - Área a ser cercada 4 m, isto é Designemos por e as dimensões da área. A cerca em três lados deve perazer 4 equação restritiva. Desejamos maimizar a área A em termos das variáveis e, temos A. onde, 4. Logo, a unção objetivo será A 4 4 Temos agora uma órmula para a área que depende de uma única variável, isto é, A. Derivando e igualando a zero, temos da d m e 4. m

42 Eemplo. Uma caia echada com base quadrada vai ter um volume de. dm. O material da tampa e da base vai custar R$, por dm, e o material para o lado R$ 5, por dm. Encontre as dimensões da caia de modo que o custo do material seja mínimo. Solução Sejam, número de decímetros no comprimento de um lado da base quadrada número de decímetros na altura da caia C número de reais no custo do material. O número total de cm na soma das áreas da tampa e da base é e para os lados é de 4. Assim temos, C 5 4 Como o volume da caia é o produto da área da base pela altura, temos.. ou. Assim, C 6 O objetivo é determinar as dimensões da caia de orma a minimizar o custo dos materiais. Dessa orma, dc. ou dm d A altura da caia será dm. Para certiicar que em, a unção de custo C tem um mínimo relativo, aplicamos o teste da derivada Segunda: d C 4. d C Para, d d e portanto a unção é côncava.

43 EXERCICIOS PROPOSTOS LISTA C. Dado 6 8, achar: a os pontos críticos b os intervalos em que é crescente e decrescente c os valores máimos e mínimos. Respostas:pontos críticos,66 e -,5. Repita os cálculos da questão para a unção Respostas:pontos críticos- e 6. Estudar a concavidade e os pontos de inleão da curva 4 7. Respostas:pontos de inleão - 6 e,9 4. Dividir o número em duas partes tais que o produto P de uma pelo quadrado da outra, seja máimo. Resposta: A 4 e B 8 5. Uma olha de papel para um cartaz tem m de área. As margens no topo e na base são de 5 cm e nos lados 5 cm. Quais são as dimensões da olha sabendo que a área impressa é máima? Resposta: 9,54cm 8,58 cm 6. Um reservatório cilíndrico, de base circular, tem capacidade de 64 dm. Achar suas dimensões de modo que a quantidade área de metal necessário seja mínima a considerando o reservatório sem cobertura, b com cobertura. Respostas: a D 5,46 dm e h,7dm e b D 4,6 dm e h 4,6 dm

44 7. O preço do combustível para acionar um veículo é proporcional ao quadrado da velocidade e é de R$ 5, por hora para uma velocidade de 5 km/h. O preço de outras despesas independentes da velocidade é de R$, por hora. Achar a que velocidade o custo por km será um mínimo. Resposta: km/h 8. Um corpo se move na horizontal de acordo com a lei 4 S t t 6t t t a quando o movimento é acelerado e quando é retardado? b quando é mudado o sentido do movimento? c Achar a distância total percorrida nos primeiros segundos do movimento. 9. O gás escapa de um balão na razão de dm.mim. Qual a razão de diminuição da superície do balão, quando o raio or de dm? Resposta: - / dm /minuto. De um unil, cônico, escoa água na razão de cm.s. Sabendo-se que o raio da base do unil é de 4 cm e a altura é de 8 cm, achar a razão segundo a qual o nível da água está descendo, quando estiver a cm do topo.. Resposta: -,5cm/s