PROGRAMA DE NIVELAMENTO ITEC/PROEX - UFPA EQUIPE FÍSICA ELEMENTAR DISCIPLINA: FÍSICA ELEMENTAR CONTEÚDO: CÁLCULO APLICADO A CINEMÁTICA

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1 PROGRAMA DE NIVELAMENTO ITEC/PROEX - UFPA EQUIPE FÍSICA ELEMENTAR DISCIPLINA: FÍSICA ELEMENTAR CONTEÚDO: CÁLCULO APLICADO A CINEMÁTICA

2 TÓPICOS A SEREM ABORDADOS O que é cinemática? Posição e Deslocamento Velocidade Média vs Velocidade Escalar Média. Velocidade Instantânea. Noções de Cálculo Diferencial. Inclinação e coeficiente angular de uma reta. Noção conceitual de derivada. Conhecer e aplicar algumas propriedades da derivada na Cinemática. Aplicação de Derivada nas Engenharias. Noções de Cálculo Integral e a sua Aplicação na Cinemática.

3 O que é Cinemática? Estudo do movimento dos corpos sem se preocupar com as causas (Forças).

4 CONCEITOS IMPORTANTES O QUE É REFERENCIAL? O QUE É POSIÇÃO?

5 DISTÂNCIA PERCORRIDA VS DESLOCAMENTO Deslocamento = - o Distância Percorrida: Caminho real percorrido

6 VELOCIDADE VETORIAL MÉDIA VS VELOCIDADE ESCALAR MÉDIA Qual a diferença entre essas velocidades?

7 VELOCIDADE VETORIAL MÉDIA Onde: é a posição final no instante t final e o é a posição inicial no instante t o inicial. No SI velocidade é dada em m/s

8 VELOCIDADE VETORIAL MÉDIA IMPORTANTE! O vetor velocidade média é um vetor que aponta na mesma direção e no mesmo sentido que o deslocamento, pois a constante t é sempre positiva.

9 VELOCIDADE ESCALAR MÉDIA v escalar = Espaço Percorrido Tempo Gasto = S t Obs.: Unidade no SI: metros por segundo (m/s).

10 NOÇÃO DE VELOCIDADE INSTANTÂNEA Eemplo Em uma competição de Moto Cross, um engenheiro, por meio de equipamentos de medição, conseguiu descrever a função posição de uma das motos como apresentado a seguir: (t) = 5t 2 Calcule a velocidade média nos instantes: t = 1s e t = 2s, t = 1,5s e t = 2s, t = 1,9 e t = 2s. Como poderíamos estimar a velocidade em t = 2s?

11 O coeficiente angular de uma reta secante é dada por: Através da fórmula acima, podemos afirmar que velocidade média é a inclinação de uma reta secante como podemos ver na figura abaio: h f h f h f h f y m ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( NOÇÕES DE CÁLCULO DIFERENCIAL

12 NOÇÕES DE CÁLCULO DIFERENCIAL Figura gráfico de posição em função do tempo. Substituindo temos: v m = 2 1 = t 2 t 1 t

13 DEFINIÇÃO DE DERIVADA f '( ) lim h0 f ( h) f ( ) h

14 NOÇÕES DE CÁLCULO Velocidade instantânea. DIFERENCIAL v inst = lim t 0 =

15 NOÇÕES DE CÁLCULO DIFERENCIAL VELOCIDADES INSTANTÂNEA X VELOCIDADE MÉDIA ANÁLISE GRÁFICA

16 NOÇÕES DE CÁLCULO DIFERENCIAL Aceleração Vetorial Média X Aceleração Escalar Média Aceleração média (a m ): grandeza vetorial Aceleração escalar média: é a intensidade ou magnitude dessa grandeza vetorial. Define-se aceleração média como: a m = v 2 v 1 = v t 2 t 1 t Obs.: A unidade no SI de aceleração é metros por segundo ao quadrado (m/s²)

17 NOÇÕES DE CÁLCULO DIFERENCIAL Aceleração Instantânea (Aceleração) Definição: a inst = lim t 0 = Como podemos ver que a velocidade instantânea é dada por: Temos que a aceleração também pode ser escrita como: = d² dt² Obs.: A unidade no SI de aceleração é metros por segundo ao quadrado (m/s²)

18 NOÇÕES DE CÁLCULO DIFERENCIAL PROPRIEDADES DA DERIVADA DERIVADA DE UMA CONSTANTE k k = 0 Figura - Reta horizontal de uma função constante

19 NOÇÕES DE CÁLCULO DIFERENCIAL ANÁLISE DA DERIVADA f ( o )>0: A função f é crescente em = o ; f ( o )<0: A função f é decrescente em = o ; f ( o )=0: = o é um ponto crítico de f(ponto de máimo, mínimo ou de infleão).

20 QUESTÃO REVISÃO SOBRE DERIVADA Uma partícula move-se ao longo do eio de acordo com a epressão =at 2 -bt 3. Sendo dado em metros e t em segundos, (a) Que dimensões e unidades a e b devem ter? Suponha que seus valores numéricos sejam respectivamente 3,0 e 1,0 (válidos também para o restante da questão). (b) Para que instante a partícula atinge a posição máima? (c) Calcule o deslocamento atingido pela partícula nos primeiros 4 segundos. (e) Calcule a velocidade média entre os instantes t=0s e t=4s. (f) Qual a velocidade da partícula em t=4s? (g) Em que instante a partícula não está sob a ação de força eterna?

21 NOÇÕES DE CÁLCULO INTEGRAL A Integral é um recurso matemático inverso ao da derivada. Ao invés de achar derivada dy d de uma função f(), calculase a função f() a partir da derivada da função dy d. A integral também é definida como a área sobre a curva de uma função. Como determinar a Área (A) da figura acima?

22 NOÇÕES DE CÁLCULO INTEGRAL Aproimação cada vez melhor conforme as bases dos retângulos vão se tornando mais finas : A = integral de f = soma das áreas dos retângulos

23 NOÇÕES DE CÁLCULO INTEGRAL NOTAÇÃO A integral de uma função f() é denotada por f d. Tal qual fizemos em relação à derivada, vamos colocar algumas propriedades da integral.

24 NOÇÕES DE CÁLCULO INTEGRAL INTEGRAL - PROPRIEDADES Integral de uma constante kd k c Integral de uma função potência n d n1 n 1 c

25 INTEGRAL - PROPRIEDADES NOÇÕES DE CÁLCULO INTEGRAL Soma ou subtração de integrais Constante multiplicando uma função d v d u d f v u f ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( d f k d kf ) ( ) (

26 NOÇÕES DE CÁLCULO INTEGRAL APLICAÇÃO NA CINEMÁTICA A integral pode ser considerada como o processo inverso da derivada. Assim: v s' ( t inst ) s v inst dt a v' ( t inst ) v inst a inst dt

27 ESQUEMA DE DERIVADA E INTEGRAL

28 NOÇÕES DE CÁLCULO INTEGRAL APLICAÇÃO NA CINEMÁTICA A área de um gráfico v t é a variação da posição ( S):

29 NOÇÕES DE CÁLCULO INTEGRAL APLICAÇÃO NA CINEMÁTICA A área de um gráfico a t é a variação da velocidade escalar instantânea ( v):

30 QUESTÃO SOBRE INTEGRAL O gráfico da velocidade em função do tempo para uma partícula que parte da origem e se move ao longo do eio O e está representado na figura abaio. a) Trace os gráficos da aceleração a(t) e da posição (t) para 0 t 16 s. b) Quantos metros a partícula terá percorrido ao todo (para frente e para trás) no fim de 12 s? c) Qual o valor de nesse instante?