Aula 4 Derivadas _ 1ª Parte

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1 1 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Aula 4 Derivadas _ 1ª Parte Professor Luciano Nóbrega UNIDADE 1

2 DERIVADA CONHECIMENTOS PRÉVIOS 2 y y 0 INCLINAÇÃO DA RETA A inclinação de uma reta ou, em outras palavras, o coeficiente angular de uma reta é dado por: Passando o denominador para o outro lado e fazendo tg Θ = m, temos: y1 y0 tg 1 0 y 1 Θ 0 1 EXEMPLO: Suponha que as coordenadas dos ponto P e Q sejam: P(4,6) e Q(5,-3). Determine: a) A inclinação da reta; b) A equação da reta. RELAÇÃO ENTRE LIMITES e DERIVADAS A ideia inicial da DERIVADA é a ilustrada por retas secantes tendendo no limite a uma reta tangente. A palavra tangente vem do latim e significa tocando. Para um círculo, poderíamos dizer que a tangente é uma reta que intercepta o círculo uma única vez. Para as curvas, essa definição é inadequada.

3 3 2 O PROBLEMA DA RETA TANGENTE Encontre a equação da reta tangente à parábola y = 2 no ponto P (1,1). SOLUÇÃO: Se soubermos como encontrar a inclinação da reta, m na fórmula y y P = m.( P ) seremos capazes de achar a equação da reta tangente. Podemos calcular uma aproimação de m escolhendo um ponto próimo de P (1, 1). Escolhendo 1de forma que P Q, temos: 1,5 m PQ Vamos completar a tabela com valores que se aproimam de 1: 0 0,5 m PQ Calculando: 1,1 1,01 0,9 0,99 E, usando a fórmula: y y P = m.( P )

4 GABARITO: 30) y = ) y = A sequência de figuras a seguir ilustra o processo de limite que ocorreu no eemplo anterior. reta tangente y f( 1 ) Q y=f() reta secante f( 0 ) P 1-0 f( 1 ) - f( 0 ) Encontre a equação da reta tangente à parábola y = 3 2 no ponto P (2,12). 31 Encontre a equação da reta tangente à função y = 2 3 no ponto P (1, 2).

5 5 A reta tangente a uma curva y = f() em um ponto P (a, f(a)) é a reta que passa por P que tem a inclinação Há outra epressão para a inclinação da reta tangente, às vezes mais fácil de ser usada. DEMONSTRAÇÃO: 32 Encontre a equação da reta tangente à hipérbole y = 3 / no ponto (3, 1). 33 Encontre a equação da reta tangente à curva f() no ponto dado: a) y = ( 1) / ( 2) ; (3, 2) b) y = ; (1, 1) GABARITO: 32) + 3y 6 = 0 33) a) y = + 5 b) y = (+1) /2

6 6 Os limites do tipo surgem sempre que calculamos uma taa de variação em uma das ciências ou engenharias. Como esse tipo de limite sempre ocorre amplamente em vários segmentos, ele recebe nome e notação especiais. A derivada de uma função f() em um número a, denotada por f (a), é: OU EXEMPLO: Seja y = Determine a taa de variação no ponto = 4 34 Determine a taa de variação da função y = no ponto: a) = 3 b) = 2 c) = 1 d) = 0 35 Determine a equação da reta tangente ao gráfico y = no ponto (2, 5), utilizando a fórmula em que h 0 36 Determine a derivada da função f() = em um número a GABARITO: 34) a) 6 b) 4 c) 2 d) ) y = ) 2a 8

7 7 NOTAÇÃO PARA Algumas notações usadas para a derivada são as seguintes: REGRAS DE DERIVAÇÃO As regras de derivação nos permitem calcular com relativa facilidade as derivadas de: Polinômios; Funções Racionais; Funções Algébricas; Funções Eponenciais e Logarítmicas e Funções Trigonométricas. 1ª) DE UMA CONSTANTE k É IGUAL À ZERO. f() = k Es: Se g() = 7, então g () = Se h() = 7, então h () = 2ª) DAS POTÊNCIAS DE. Seja f() = n, então Es: Se f() = 5, então f () = Se g() = 7 3, então g () = Se h() = 3 7, então h () =

8 8 REGRAS DE DERIVAÇÃO 3ª) DA SOMA (e da diferença). A derivada de uma soma é igual à soma das derivadas. Seja h() = f() + g(), então Es: Se f() = 4 + 3, então f () = Se g() = 3 2 2, então g () = Se h() = , então h () = 37 Determine a derivada das funções abaio: a) f() = 773,2 b) f() = 7 c) f() = 5 1 d) f() = 3 7 e) f() = f) f(t) = ( 1 / 2 )t 6 ( 3 / 2 )t 4 g) f(t) = ( 1 / 4 ).(t 4 + 8t) h) f() = ( 2).(2 + 3) i) y = 2/5 j) y = ( 4 / 3 ).π.r 3 k) y = 5t 3/5 L ) y = 7 / 7 38 Determine a derivada das funções abaio: a) f() = 1 / b) f() = 3 c) f() =.( 1) d) f() = ( 2) + (3) e) f() = [ + 1 /( 3 )] f) y = ( 2 2 )/ Para conferir o GABARITO, some os coeficientes com os epoentes das variáveis. GABARITO: 37) a) 0 b) 0 c) 5 d) 15 e) 3 f) 5 g) 6 h) 4 i) 9 /5 j) 4 pi + 2 k) 23 /5 L) )a) 1 b) 1 /3 c) 0 d)( 2) +1 e) 1 /3 f) ½

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