FUNÇÕES DE DUAS OU MAIS VARIÁVEIS

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1 FUNÇÕES DE DUAS OU MAIS VARIÁVEIS Uma unção de duas ou mais variáveis é simbolizada por uma epressão do tipo w z... que siniica que w é uma unção de z... Como ocorre nas unções de uma variável nas unções de várias variáveis temos: domínio imaem ráicos limite derivada interal... Eemplo : o volume de uma piscina circular que depende do raio e da altura: V V r h. r. h Eemplo : o volume de um paralelepípedo reto retânulo: Eemplo : a área lateral de um cilindro: V V a b c a. b. c A A r h. r. h Eemplo 4: dada a unção 5 determine: a 00 b 4 c 0 d 40 e 6 Restrinir-nos-emos a unções de duas variáveis que deiniremos abaio com um maior rior. Deinição: Uma unção de duas variáveis é uma rera que associa a cada par ordenado de números reais de um conjunto D um único valor real denotado por. O conjunto D é o domínio de e sua imaem é o conjunto de valores possíveis de ou seja D Im. É comum representarmos a unção por variável dependente. onde são as variáveis independentes e z é a O conjunto de pares ordenados de números reais que possuem uma e somente uma imaem é o domínio da unção. A determinação do domínio seue as mesmas reras que usamos para unções de uma variável. No caso de unções de duas variáveis interessa-nos também a representação ráica ou eométrica do domínio. Eemplo 5: determine o domínio da unção z 4 nas ormas alébrica e eométrica. Eemplo 6: determine o domínio da unção eométrica. z nas ormas alébrica e Eemplo 7: determine o domínio da unção eométrica. z nas ormas alébrica e

2 RESUMO DE ALGUMAS CURVAS ÚTEIS PARA DETERMINARMOS O DOMÍNIO DAS FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS.. CIRCUNFERÊNCIA: Equação reduzida da circunerência: a b r onde a b é o centro da circunerência e r o raio da circunerência. Se a circunerência tiver centro na oriem 0 0 então a equação ica mais simples: r Eemplo 8: determine o centro o raio e os ráicos das circunerências de equações:. ELIPSE a 6 b 7 c a Equação reduzida ou orma padrão da elipse onde a oriem do sistema de coordenadas é o centro da elipse e o eio maior está no eio. a b Onde a reere-se ao intercepto do eio e b reere-se ao intercepto do eio com a b. b Equação reduzida ou orma padrão da elipse onde a oriem do sistema de coordenadas é o centro da elipse e o eio maior está no eiol. b a Onde a reere-se ao intercepto do eio e b reere-se ao intercepto do eio com Obs.: a é chamado de semieio maior e b é chamado semieio menor. Eemplo 9: determine a medida dos semieios das elipses e construa os ráicos: a b. a 9 4 b 9 8 c 4 6. HIPÉRBOLE a Equação reduzida ou orma padrão da hipérbole de ocos sobre o eio e centro na oriem. a b b Equação reduzida ou orma padrão da hipérbole de ocos sobre o eio e centro na oriem. a b Obs.: O a sempre é o valor que está abaio do termo positivo e está no eio real da hipérbole eio que contém o vértice e o b está no eio imainário. Eemplo 0: determine a medida dos semieios real e imainário das elipses e construa os ráicos: a 9 4 b c 4

3 Eercícios - Determine o domínio das seuintes unções de maneira alébrica e eométrica esboço do domínio. a 5 b c 6 d e 4 6 h 9 6 i ln Gráico de unção de várias variáveis Se or uma unção de duas variáveis deinimos o ráico de no espaço z como sendo o ráico da equação onde pertencem ao domínio de. Eemplos: a A esera z é uma superície de R que não é ráico de unção z =. Da equação da esera tem-se z onde tiramos as seuintes unções: e. O domínio é } / { R D D O ráico de é a semi-esera superior z 0 e o ráico de é a semi-esera inerior z 0

4 CURVAS DE NÍVEL Deinição: Dada uma unção z interceptada por um plano horizontal z k todos os pontos da intersecção têm k onde k é uma constante e e estão no domínio de. A projeção dessa intersecção sobre o plano é chamada curva de nível de altura k. Um conjunto de curvas de nível é chamado de um esboço de contornos ou mapa de contorno de. Eercícios 4

5 -Esboce o mapa de contorno de 5 usando as curvas de nível de altura k = 0 4 e 5. - Esboce o mapa de contorno de 4 k 0. - Esboce o mapa de contorno de k 49. usando as curvas de nível de altura usando as curvas de nível 4- Esboce o mapa de contorno de usando as curvas de nível k 0. LIMITES LIMITE E CONTINUIDADE Quando temos uma unção de uma variável há dois limites laterais em um ponto são eles: Isto siniica que podemos nos aproimar de um ponto pela direita ou pela esquerda. Dizemos que o limite eiste se os limites laterais eistirem e orem iuais. Mas se a unção or de duas variáveis temos uma ininidade maneiras de aproimar-nos do ponto. Intuitivamente dizemos que o limite eiste se or o mesmo para TODOS os caminhos distintos. Abaio ormalizaremos essa deinição: DEFINIÇÃO: Seja uma unção de duas variáveis cujo domínio contém pontos arbitrariamente próimos de. Dizemos que o limite de quando tende a é L e escrevemos se para todo 0 lim 0 0 e L podemos encontrar um número 0 tal que L sempre que pertencer ao domínio de e

6 Encontre o limite das seuintes unções: - lim [5 9] 4 - lim [7 ] TEOREMA: a Se L quando 0 então L quando ao lono de qualquer caminho contínuo que esteja situado no domínio de. b Se o limite deiar de eistir quando 0 0 ao lono de aluma curva no domínio de ou se tiver dierentes limites quando 0 0 ao lono das curvas suaves dierentes no domínio de então o limite de não eiste quando 0. 0 Encontre o limite das seuintes unções ou mostre que não eiste o limite: a lim [ ] 00 b lim [ ] 00 4 CONTINUIDADE Usando as mesmas idéias de unções de uma variável deinimos unções contínuas: DEFINIÇÃO: Diz-se que uma unção é contínua em se 0 0 lim 0 0. Além disso se or contínua em cada ponto de uma 0 0 6

7 reião R do plano então dizemos que é contínua sobre R; e se or contínua em todo o plano então dizemos que é contínua em toda parte. Ademais diremos que é uma unção contínua se ela or contínua em cada ponto do seu domínio. Eemplo de unção contínua: unções polinomiais. DERIVADAS PARCIAIS DEFINIÇÃO: Se z então a derivada parcial de em relação à também chamada de derivada parcial de z em relação à é a derivada em relação a da unção que resulta quando é mantido io e é permitido variar. Esta derivada parcial é denotada por ou simplesmente ou. Analoamente a derivada parcial de em relação à também chamada de derivada parcial de z em relação à é a derivada em relação a da unção que resulta quando é mantido io e é permitido variar. Esta derivada parcial é denotada por ou simplesmente ou. Eemplos: Determine as derivadas parciais de: a 4 b. sen Resp:. a b. cos sen.cos DERIVADAS PARCIAIS DE ORDEM SUPERIOR Uma vez que as derivadas parciais e são unções de e essas unções podem elas mesmas ter derivadas parciais. Isso oriina quatro possíveis derivadas parciais de seunda ordem de as quais são dadas por: a Derivando duas vezes em relação à : b Derivando duas vezes em relação à. c Derivando primeiro em relação à e depois em relação à. d Derivando primeiro em relação à e depois em relação à. 7

8 Eemplos: determinar as derivadas parciais de seunda ordem de: 4 a t b t e. sen usar = u.v = u.v + v.u t t e e t t e e e t e.cos sen.0.cos t. sen cos.0 t. sen.0 cos. e t.cos t. t t tt tt t t e t e e e e e.0 sen. e t t t. sen t t.0 sen. e. sen.cos sen.0.cos t. t. Teorema: Seja uma unção de duas variáveis. Se e orem contínuas em alum disco aberto então nesse disco. Teorema: Se as derivadas parciais e eistem perto do ponto a b e são contínuas em a b então é dierenciável em a b. Eercícios. Determinar as derivadas parciais de seunda ordem da unção.cos.. Dada a unção 4. Determine quando possível: a b 0 c d 5 e D O esboço de D. Determine as derivadas parciais de primeira ordem das unções abaio: a b cos 4 c s t s t st t 4 r s r s e d 4 e 4. A capacidade vital V dos pulmões é o maior volume de ar que pode ser ealado após uma inalação de ar. Para um indivíduo do seo masculino com anos de idade e centímetros de altura V pode ser V aproimada pela órmulav Calcule e interprete as derivadas parciais e V. RESPOSTAS 8

9 Páina 4:. Feito em aula.. 4 com k 0. k = neste caso temos um ponto na oriem 00. k = 4 elipse com eio maior no eio. / 4 a a b / 4 b / k = 4 elipse com eio maior no eio. 4 : 4 a a 4 / b / b / 07 k = 4 elipse com eio maior no eio. 4 : 4 a a / 4 7 b / 4 b / Representação ráica: 9

10 . com k 4 9. k = circunerência com centro em C - e raio r =. k = 4 4 circunerência com centro em C - e raio r =. k = 9 9 circunerência com centro em C - e raio r =. Representação ráica: 4. com k - 0. k = - k = 0 0 k = k = Representação ráica: 0

11 Eercícios páina 8:. Determinar as derivadas parciais de seunda ordem da unção.cos u v Usar a rera da derivada do produto: = u.v + v.u Cálculo de derivada parcial de em relação a : u. v' v. u'. sen. cos.. sen.cos Cálculo de derivada parcial de em relação a :. sen.cos u v u v usar duas vezes a rera do produto pois temos a soma de dois produtos:.cos. sen.. sen. cos. 6.cos. sen. sen 6.cos.cos 6. sen 6.cos Cálculo de derivada parcial de em relação a :. sen.cos u v u v.cos. sen.. sen. cos.0 4.cos. sen. sen 4.cos 4. sen Cálculo de derivada parcial de em relação a :.cos u v. sen. cos.0

12 4. sen Cálculo de derivada parcial de em relação a : 4 u. sen v 4.cos. sen.0 5.cos Cálculo de derivada parcial de em relação a : 4 u. sen v 4.cos. sen. 4 4.cos 4. sen. 4 a 4 4 b c d não eiste e D { / 4}

13 . a.. b.cos. sen. cos.. sen cos. sen. cos.0. sen 4 c s t s t st t 4 s 4 8s t t t 6s t st r s r s d 4 r s r s.r r. r 4 s r s.s 8s. r 4 s 4. A capacidade vital V dos pulmões é o maior volume de ar que pode ser ealado após uma inalação de ar. Para um indivíduo do seo masculino com anos de idade e centímetros de altura V pode ser aproimada pela órmulav Calcule e interprete as V derivadas parciais e V.

14 V 76 siniica que a taa de variaçãodo volumeem relação à idade é iual a condiderando a altura constante. 76 V 0 siniica que a taa de variação do volumeem relação à altura é iual a condiderando a idade constante. 0 DIFERENCIAIS Para uma unção de uma única variável deinimos o dierencial d como uma variável independente; ou seja d pode ser qualquer número real. O dierencial de é deinido como: d ' d. Para unções de duas variáveis z deinimos os dierenciais d e d como variáveis independentes; ou seja podem ter qualquer valor. Então o dierencial dz também chamado dierencial total é deinido por Eemplo: z dz d d d d - Determine o dierencial dz se z. REGRA DA CADEIA Trataremos apenas do caso onde as unções e dependem de um único parâmetro t. TEOREMA: Rera da Cadeia: Se t e t orem dierenciáveis em t e se t t então é z or dierenciável no ponto dierenciável em t e dz dt d d.. dt dt Eercícios: - Suponha que z t dz t. Use a rera da cadeia para determinar. dt - A que taa está variando a área de um retânulo se seu comprimento é de 8m e está crescendo a uma taa de m/s enquanto que sua larura é de 6m e está crescendo a m/s. DERIVADA DIRECIONAL E GRADIENTE DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS 4

15 Nosso objetivo é encontrar a inclinação de uma superície z em um ponto em uma direção especiicada. DEFINIÇÃO: Se or uma unção dierenciável de e de e se u u. i u j or um vetor unitário então a derivada direcional de na direção de u é denotada por D u e é deinida por: Du. u. u ou D u. u. u Desde que o limite eista. 0 0 Sabendo que um vetor pode ser escrito como positivo podemos escrever u cos. i sen. j onde é o ânulo com o eio Du.cos. sen Se o vetor não or unitário então azemos a seuinte transormação Dado um vetor a. i. j necessitaremos do vetor unitário u com mesma direção e a sentido. Para tanto usaremos a seuinte órmula: u onde a é o módulo do vetor a a e é epresso por a. Eercícios: - Determine a derivada direcional de no ponto na direção do vetor a. i 4. j. - Determine a derivada direcional de e em - na direção do vetor unitário que az um ânulo de com o eio positivo. DEFINIÇÃO: Se or uma unção de duas variáveis e então o radiente de é a unção vetorial deinida por: Com esta deinição a órmula de derivada direcional pode ser escrita como o produto escalar: D u. u - Determine a radiente de no ponto e use-o para calcular a derivada direcional de em na direção do vetor a 6i 8 j. 5

16 IMPORTÂNCIA DO GRADIENTE TEOREMA: Seja uma unção de duas variáveis que é dierenciável em. a Se 0 então todas as derivadas direcionais são nulas. b Se 0 então dentre todas as possíveis derivadas direcionais de em a derivada na direção e sentido de tem o maior valor. O valor dessa derivada direcional é. A derivada no sentido oposto ao de tem o menor valor que é dado por. Eercícios: - Seja e. Determine o valor máimo de uma derivada direcional em -0. Determine o vetor unitário na direção do qual o valor máimo ocorre. - Uma partícula que procura calor está localizada no ponto de uma placa lisa de metal cuja temperatura em um ponto é T 0 8. Qual é o vetor que representa a direção e o sentido da maior taa de variação da temperatura? - Suponha que a temperatura em um ponto do espaço seja dada por T e onde T é medida em raus Celsius e em metros. Em que direção do ponto 0 a temperatura aumenta mais rapidamente? Qual é a taa máima de aumento? MÁXIMOS E MÍNIMOS Da mesma maneira que estávamos interessados em encontrar máimos e mínimos de unções de uma variável vamos nos interessar em encontrar máimos e mínimos de unções de duas variáveis. Para tanto vejamos máimos e mínimos eometricamente. 6

17 TEOREMA: Se uma unção tem um máimo ou mínimo local em a b e as derivadas parciais de primeira ordem de eistem nesses pontos então a b 0 e a b 0. TEOREMA: Suponha que as seundas derivadas parciais de sejam contínuas num disco com centro em a b e suponha que a b 0 e a b 0 ou seja a b é um ponto crítico de. Seja a D D a b a b. a b b a Se D 0 e: a b 0 então a b é um ponto de mínimo local. a b 0 então a b é um ponto de máimo local. b Se D 0 então a b é um ponto de sela nem máimo nem mínimo local. c Se D 0 não podemos concluir nada Eercício: Determine os valores máimos e mínimos locais e pontos de sela da unção quando eistir: a INTEGRAL DUPLA O que mais nos interessa neste capítulo é calcularmos áreas de iuras e volumes usando interais duplas. Porém vamos iniciar aprendendo como calcular interais duplas. 7

18 Ao nos depararmos com uma interal do tipo dd devemos air como se eistissem colchetes no interior da interal e calcular inicialmente a interal que está dentro dos colchetes isto é b d a c b d a c b d dd dd. a c Eercício: O resultado será colocado no luar dos colchetes e resolveremos a seunda interal. - Resolva as interais a dd 0 b dd 0 Teorema de Fubini: Se or contínua no retânulo R a b c d Eercício: - Calcule a interal dupla R b d então: d b da dd dd R a c da c a onde 0 R. Interais duplas sobre reiões limitadas por dois ráicos Para o cálculo de interais em reiões não retanulares devemos proceder da seuinte maneira: d h da R c h dd nos seuintes casos: e R b da dd nos seuintes casos: a 8

19 Eercício: - Calcule R. da onde R é a reião compreendida pelas parábolas e Observação: É possível calcular a área de uma reião R compreendida entre duas curvas como acima usando interais duplas bastando para isto usar a órmula: Área.dA R Eercícios de revisão 9

20 - A tabela abaio apresenta dados numéricos sobre uma unção I T v chamada de índice de vento rio que mede o eeito de rio ocasionado pelo vento onde T é a temperatura real e v é a rapidez do vento. Responda: 6 km/h 0 km/h 0 km/h 0 km/h 40 km/h 50 km/h 60 km/h 70 km/h 80 km/h 90 km/h 00 km/h 0º º º 8 º º º º º º º -0 º a Qual o valor de I 860? Qual o seu siniicado? b Descreva em palavras o siniicado da questão Para que valores de v é I v 6? Em seuida responda à questão. c Descreva em palavras o siniicado da questão: Para que valores de T vale I T 80 4? Em seuida responda à questão? d Qual o siniicado da unção I 4 v? Descreva o comportamento dessa unção. e Qual o siniicado da unção I T 50? Descreva o comportamento dessa unção. -Dada a unção 4. Determine quando possível: a b 0 c d 5 e D O esboço de D -Determine o domínio das unções abaio esboce-o e esboce o mapa de contorno para os valores de k dados: a k=0 96 b k=-0 c 6 k=- 0 d 8 4 k=- 04 e 4 k= Uma camada ina de metal localizada no plano tem temperatura T no ponto. As curvas de nível de T são chamadas isotérmicas porque todos os pontos em uma isotérmica têm a 0

21 mesma temperatura. Faça o esboço de alumas isotérmicas se a unção temperatura or dada 00 port. 5- Se V é o potencial elétrico de um ponto do plano as curvas de nível de V são chamadas de curvas equipotenciais porque nelas todos os pontos tem o mesmo potencial elétrico. 0 Esboce alumas curvas equipotenciais de V 4 6-Determine as derivadas parciais de primeira ordem das unções abaio: a b cos 4 c s t s t st t 4 d 4 r s r s e e 7- Veriique que as unções abaio satisazem:. 4 a 4 b 8- Veriique se as unções abaio satisazem a Equação de Laplace: 0. a b c d Observação: As equações que envolvem a unção e uma ou mais derivadas parciais são chamadas de Equações Dierenciais Parciais EDP a Equação de Laplace é uma EDP. 9- Uma ábrica de azulejos produz dois tipos de azulejos. O custo em reais para se produzir e unidades de cada tipo de azulejo é c c a O valor representa a taa de variação no custo devido ao acréscimo de uma unidade na produção do azulejo mais barato sendo que os níveis de produção da outras unidade mais cara permanece constante. Encontre essa taa. c b Encontre e orneça uma interpretação. z 0- A capacidade vital V dos pulmões é o maior volume de ar que pode ser ealado após uma inalação de ar. Para um indivíduo do seo masculino com anos de idade e centímetros de altura V pode ser aproimada pela órmulav Calcule e interprete V V as derivadas parciais e. - Determine a derivada direcional da unção no ponto dado na direção do vetor v: a 4 P v 4 b 4 P 0 v

22 c ln P4 v d e cos P0 v Determine a taa de variação máima de no ponto dado e a direção em que isso ocorre: a e P0 b ln P c sen - Suponhamos que você esteja subindo um morro cujo ormato á dado pela equação P00 z E você esteja num ponto de coordenadas Determine a direção que você deve seuir inicialmente de modo a chear ao topo do morro. 4- Uma plataorma retanular é representada no plano por 0 4 e 0 6. A temperatura em seus pontos é dada por T. Um indivíduo encontra-se no ponto P4 e necessita esquentar-se o mais rápido possível. Determine a trajetória obter a equação que o indivíduo deve seuir. 5- Determine os valores máimos e mínimos locais e pontos de sela da unção quando eistir: a 4 b Uma caia retanular sem tampa deve ser eita com m de papelão. Determine o volume máimo de tal caia. 7- Um tanque retanular deve ter 05m de capacidade. O custo do material das aces laterais é de R$800 o metro quadrado do undo é R$500 o metro quadrado e a tampa sozinha é R$000. Calcule as dimensões mais econômicas do tanque. 8- Calcule as interais múltiplas abaio: a 0 4 dd b dd 0 c 0 e 0 5 dd d sen dd 0 0 e 0 e 0 dd 00 e dd