[Fólio de Descartes] [Forma Polar: r 3cos(2

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1 NOTAS DE AULA: Diferenciação ou Derivação Implícita Introdução: Funções Eplícitas: 5 1 ( ) 1 f g( ) sen ( ) Funções Implícitas: ( ) 9( [Fólio de Descartes] [Forma Polar: r cos( ) ] ) Outros eemplos: sen ( ) e.ln( ) sen ( ) 1 Página 1 de 1

2 Eemplos: 1) Derive as epressões dadas a seguir: a) 1 0 b) 5 c) 1 Tópico Etra! [b 1 ] Derive eplicitamente as funções de 5. d) 6 e) sen ( ) e [b ] Determine o coeficiente angular da reta tangente à curva 5 no ponto em que, do 1º quadrante. Espaço para Anotações: Para refletir: A Álgebra é generosa; ela frequentemente contribui com mais do que foi pedido. Jean le Rond d Alembert (11-18) In Carl B. Boer: A Histor of Mathematics [Wile, 1968, p. 81] Página de 1

3 EXERCÍCIOS Derivação Implícita 1) Determine implicitamente a derivada d/d das funções dadas a seguir. a) + = 8 [] h) + = b) 9 = 1 [] i) +. sen = 0 c) cos + + sen + = 1/ j) e + ln = 0 d). tg( + ) = k). e ( + ) = 5 [] Construa o gráfico das funções indicadas utilizando um software adequado! e) + + = 9 l) sen + =. cos f) + = 1 m) = 9 [] é conhecida como curva do diabo! g) e cos + e sen = 1/ n) = + sen() [] ) Dada a equação + =, chamada Quártica Especial de Lamé [sendo, às vezes, apelidada de círculo gordo], determine e e utilize um software para representá-la graficamente, confirmando seu singelo apelido. Ao final da aula de cálculo, o professor pergunta: alguma dúvida? RESPOSTAS RESPOSTAS RESPOSTAS RESPOSTAS RESPOSTAS RESPOSTAS RESPOSTAS 1a) d = d d 1b) = d 9 1c) d d = 1 d 1d) = d. sec (+).sec + + tg(+) 1e) d = ( + ) d d 1f) = d 1g) d sen.ecos = d cos.e sen 1h) d d = i) d d = + sen +.cos 1j) d d = e 1k) d = +1 d 1l) d =.sen + cos (+) d.cos cos (+) 1m) d d = 9 1n) d +.cos () = d.cos () ) = (/) e = 8 Para refletir: A vida é um eco. Se você não está gostando do que está recebendo, observe o que está emitindo. (Lair Ribeiro) Página de 1

4 Página de 1 Resolução do Eercício Derivação Implícita 16 Calculando a 1ª derivada: 0 Derivação Implícita em relação à variável. Logo, a 1ª derivada é: Calculando a ª derivada: Inicialmente, vamos preparar a epressão para facilitar o cálculo da ª derivada. Assim: 1. Agora, fazendo a Derivação [pela Regra da Multiplicação] ). ).( ( ) ).( ( ).( Lembre-se que:. )..( Tirando o MMC de e 6 Note que: ).( Logo, a ª derivada é: 8

5 CONSTRUINDO E INTERPRETANDO GRÁFICOS ATRAVÉS DE DERIVADAS [Máimos e Mínimos] Relembrando... O que o valor da derivada nos diz quando analisamos graficamente uma função? Considere uma função f(). Onde f é positiva *f > 0+, a reta tangente ao gráfico de f() está subindo. Onde f é negativa *f < 0+, a reta tangente ao gráfico de f() está descendo. Onde f é nula *f = 0+, a reta tangente ao gráfico de f() não está subindo e nem descendo, está na horizontal. Assim, temos que o sinal de f nos diz se f() é crescente ou decrescente. Logo: Se f > 0 em um intervalo, então f é crescente nesse intervalo. Se f < 0 em um intervalo, então f é decrescente nesse intervalo. Se f = 0 em um intervalo, então f é constante nesse intervalo. Além disso, o valor absoluto da derivada nos dá a taa de variação. Logo, se f é grande em módulo (positiva ou negativa), então o gráfico de f() é bastante inclinado (para cima ou para baio), enquanto, se f é pequena em módulo, o gráfico de f() tem inclinação mais suave (mais próimo da horizontal). Com isso em mente, podemos entender melhor o comportamento de uma função através do comportamento de sua derivada. Derivadas Positivas Derivadas Negativas Teto acima adaptado do Livro: HUGUES-HALLETT, Deborah et al. Cálculo de uma Variável.. ed. Rio de Janeiro: LTC, 00. Pontos Críticos Seja f() uma função definida no intervalo fechado [ a, b ] definida pelo gráfico abaio. Vamos identificar, através dos valores de, os pontos críticos, os etremos relativos e os etremos absolutos. Y Página 5 de 1

6 Os pontos críticos de uma função são aqueles em que a derivada é zero ou que a derivada não eiste. Esses pontos podem ser etremos relativos, ou ainda, pontos de infleão, ou mesmo, bicos no gráfico. Pontos Críticos: f ( ) 0 : 1,,, 6, f () :, 5, 8 Nota: O ponto de uma curva em que a função muda sua concavidade é chamado ponto de infleão. Etremos Relativos: Valores Máimos Relativos: f( ) e f( 6 ) [Local] Valores Mínimos Relativos: f( ), f( 5 ) e f( ) Etremos Absolutos: Valor Máimo Absoluto: f(a) [Global] Valor Mínimo Absoluto: f( 5 ) Observe, no gráfico, que o valor mínimo relativo f( ) é MAIOR do que o valor máimo relativo f( 6 ). Considere também que os pontos críticos da função em: 1, e 8 NÃO representam um etremo relativo. Fonte: [i] Critério da Derivada Primeira: a) Para determinar quais são os etremos relativos de uma função f (), devemos encontrar os valores para os quais a derivada de uma função é igual a zero, ou seja, f ( ) 0. Veja o esquema abaio: c b) Para determinar se os etremos relativos de uma função f () são valores de máimo ou de mínimo, analisamos: f ( ) 0 para c f () é decrescente + f ( ) 0 para c f () é crescente c Logo, f () tem mínimo relativo em c + c f ( ) 0 para c f () é crescente f ( ) 0 para c f () é decrescente Logo, f () tem máimo relativo em c [ii] Critério da Derivada Segunda: P Note que no eemplo ao lado, em ambos os lados do ponto P, o gráfico da função é crescente, mas à esquerda de P a concavidade está para baio e à direita de P a concavidade está para cima. O ponto em que uma função muda sua concavidade é chamado ponto de infleão, nesse caso, o ponto P. Página 6 de 1

7 Assim: a) Para determinarmos o(s) ponto(s) de infleão [caso eista(m)], devemos encontrar o(s) ponto(s) em que a derivada segunda se anula, ou seja, f ( ) 0. a) Para determinar a concavidade de uma função, ou seja, se a função é côncava para cima ou côncava para baio, num dado intervalo, analisamos: Com f () crescendo, a função f () é côncava para cima [nesse intervalo] Com f () decrescendo, a função f () é côncava para baio [nesse intervalo] Então, concluímos que: Se f ( ) 0 então a curva de f () é côncava para cima. Se f ( ) 0 então a curva de f () é côncava para baio. Eemplos: 1) Avalie os pontos críticos e as concavidades das funções: a) f ( ) 6 10 b) g ( ) 1 Página de 1

8 ) Construa o gráfico da função f ( ) e identifique os pontos críticos. Note que: lim ( ) e lim ( ) EXERCÍCIOS Construindo e Interpretando Gráficos Através de Derivadas 1) Construa o gráfico da função f ( ), indicando os etremos relativos e os pontos de infleão. ) Construa o gráfico da função f ( ), indicando os etremos relativos e os pontos de infleão. ) Construa o gráfico da função g ( ) 10, indicando os etremos relativos e os pontos de infleão. ) Construa o gráfico da função h( ) 6 5) Construa o gráfico da função, determinando todos os pontos críticos. ( ). e, indicando os etremos relativos e o ponto de infleão. Página 8 de 1

9 RESPOSTAS RESPOSTAS RESPOSTAS RESPOSTAS RESPOSTAS RESPOSTAS RESPOSTAS 1) ) ) ) 5) Para refletir: As ciências têm as raízes amargas, porém os frutos são doces. [Aristóteles] Revisando: Página 9 de 1

10 PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO [MÁXIMOS E MÍNIMOS] EXEMPLO 1: Quais devem ser as dimensões [em cm] de uma lata com capacidade de 1 litro e com a forma de um cilindro reto, de modo que se utilize o mínimo de material? Observação: Ignore a espessura do material e o desperdício na fabricação. Figura adaptada da Fonte: h h r Eu estava furioso por não ter sapatos; então encontrei um homem que não tinha pés e me dei por muito satisfeito. [Provérbio Chinês] Página 10 de 1

11 EXEMPLO : Suponha que, numa empresa, a receita seja definida por por R( ) 9 e que o custo de produção seja definido C( ) 6 15, ambos em u.m. [unidades monetárias], onde representa milhares de unidades de um produto. Considerando que tudo que é produzido é vendido, pergunta-se: a) Qual o nível de produção que maimiza o lucro? b) A partir de quantas unidades vendidas se obtém lucro? Fonte da Figura: Dica do Prof. Tomio! Na resolução dos problemas de otimização, você deve montar uma função *obviamente, respeitando todos os dados do problema] em que a variável dependente [costumamos representá-la por ou f() ] é aquela que representa a grandeza do problema que necessitamos otimizar, ou seja, calcular o seu valor máimo ou mínimo. Página 11 de 1

12 EXERCÍCIOS Problemas de Otimização [Máimos e Mínimos] 1) Uma caia aberta deve ser feita com uma folha de papelão, medindo 8 cm de largura por 15 cm de comprimento, cortando-se quadrados iguais dos cantos e dobrando-se os lados. Qual deve ser o tamanho dos quadrados cortados para a obtenção de uma caia com o máimo volume? ) Um terreno retangular é cercado por 1500 m de cerca. Quais as dimensões desse terreno para que a sua área seja a maior possível? E qual a área máima? ) [ROCHA] Um tipógrafo quer imprimir diplomas retangulares com 51 cm de teto impresso, margens superior e inferior de 6 cm e margens laterais de cm cada uma. Quais as dimensões da folha para minimizar o gasto de papel? ) Uma área retangular está limitada por uma cerca de arame em três de seus lados e por um rio reto no quarto lado. Ache as dimensões do terreno de área máima que pode ser cercado com m de arame. 5) [ANTON] Um terreno retangular deve ser cercado de duas formas. Dois lados opostos devem receber uma cerca reforçada que custa R$,00 o metro, enquanto os outros dois restantes recebem uma cerca-padrão de R$,00 o metro. Quais são as dimensões do terreno de maior área que pode ser cercado com R$ 6.000,00? 6) O rio da figura a seguir tem uma largura de 100m e o ponto C está deslocado de 00m do ponto A, na outra margem. Deseja-se ir do ponto A ao ponto C, fazendo o percurso AB remando e depois BC correndo pela margem. Sabendo que se pode remar a 0m/min e correr a 100m/min, qual deve ser o valor do segmento BC para que essa travessia seja feita no menor tempo possível? Qual é o menor tempo que será gasto para eecutar tal travessia? Lembre-se que: V S t ) [ANTON] Um recipiente em forma de paralelepípedo com base quadrada deve ter um volume de.50 cm. O material para a base e a tampa do recipiente custa R$,00 por cm e o dos lados R$,00 por cm. Quais as dimensões do recipiente de menor custo? 8) Uma lata cilíndrica fechada tem capacidade de 1 litro. Mostre que a lata de área mínima é obtida quando a altura do cilindro for igual ao diâmetro da base. 9) Um grupo de escoteiros possui uma peça de lona circular de m de raio. Cortando-se um setor circular pode-se construir uma tenda de forma cônica. Quais as dimensões da tenda para que seu volume seja máimo? 10) Uma folha de papel para um cartaz tem m de área. As margens no topo e na base são de 5 cm e nas laterais 15 cm. Quais as dimensões da folha para que a área limitada pelas margens seja máima? 11) Um fazendeiro tem 00 bois, cada um pesando 00kg. Até agora ele gastou R$ ,00 para criá-los e continuará gastando R$,00 por dia para manter cada boi. O gado aumenta de peso a uma razão de 1,5 kg/dia. Seu preço de venda hoje é R$ 18,00 o quilograma, entretanto o preço cai 5 centavos por dia. Quantos dias deveria o fazendeiro aguardar para ter o maior lucro possível? Página 1 de 1

13 1) [ANTON] Ache o raio e a altura de um cilindro circular reto com o maior volume, o qual pode ser inscrito em um cone reto com 10 cm de altura e 6 cm de raio. 1) Dois terrenos retangulares, com dimensões e e um lado comum, como mostra a figura, devem ser murados. Cada terreno tem uma área de 00 m. Determinar as dimensões de cada terreno para que o comprimento do muro seja o menor possível. 1) Certa fábrica produz embalagens retangulares de papelão. Um de seus compradores eige que as caias tenham 1 m de comprimento e volume de m. Quais as dimensões de cada caia para que o fabricante use a menor quantidade de papelão? 15) [FLEMMING] Um retângulo é inscrito num triângulo retângulo de catetos medindo 9 cm e 1 cm. Encontre as dimensões do retângulo com maior área, supondo que a sua posição é dada na figura ao lado. 16) Um agricultor deseja construir um reservatório cilíndrico, fechado em cima, com capacidade de 6.80 m. Sabendo que o custo da chapa de aço é de R$50,00 o m, determine: a) o raio e a altura do reservatório de modo que o custo seja mínimo; b) o custo mínimo. 1) [FERREIRA] Sendo 5.8 cm o volume de um reservatório de água sem tampa com base quadrada, R$,00 por cm o preço do material da base e R$ 1,50 por cm o valor do material para os lados, calcule as dimensões desse reservatório de modo que o custo total do material seja mínimo. 18) Uma forma líquida de penicilina produzida a granel por uma indústria farmacêutica, é vendida a granel a um preço de R$ 00,00 a unidade. Se o custo total de produção para unidades for C() = ,00 e se a capacidade de produção da fábrica for, de no máimo, unidades por mês, quantas unidades de penicilina devem ser fabricadas e vendidas nesse período para que o lucro seja máimo? E qual o valor do lucro máimo? 19) Uma certa indústria vende seu produto por R$ 100,00 a unidade. Se o custo da produção total diária, em R$, para unidades for C() = 0, e se a capacidade de produção mensal for, de no máimo, unidades, quantas unidades desse produto devem ser fabricadas e vendidas mensalmente para que o lucro seja máimo? 0) [FLEMMING] Uma fábrica produz milhares de unidades mensais de um determinado artigo. Se o custo da produção desta fábrica é dado por C = , e o valor obtido na venda é dado por V = 60 1, determinar o número ótimo de unidades mensais que maimiza o lucro L = V C. Página 1 de 1

14 1) Suponha que o número de bactérias em uma cultura no instante t é dada por N = 5000.(5 + t.e t/0 ). Ache o maior número de bactérias durante o intervalo de tempo: 0 t 100. ) [MUNEM] Uma centena de animais pertencendo a uma espécie em perigo estão colocados numa reserva de proteção. t 5t 5 Depois de t anos a população p desses animais na reserva é dada por p 100. Após quanto tempo a t 5 população será máima? ) Um tanque para peies, de base quadrada, deve ser construído de forma que seu volume seja 500 m. O material do fundo do tanque (base) vai custar R$ 100,00 por m e o material das paredes (laterais), R$ 980,00 por m. Encontre as dimensões do tanque de modo que o custo material seja mínimo. ) Um cilindro deve ser fabricado para conter 6 litros. Que medidas [raio e altura] devem ter esse cilindro para custar o mínimo possível, sabendo que: O material do fundo custa R$ 5,00/dm ; O material da lateral custa R$,00/dm ; O material da tampa custa R$,00/dm ; 1 litro = 1 dm. 5) Um clube campestre será construído, tendo uma área de m. A prefeitura eige que eista um pedaço livre, com 5m na frente, 0m nos fundos e 1m em cada lado do terreno. Encontre as dimensões do lote [retangular] que tenha área mínima na qual possa ser construído esse clube. 6) [GUESSER / Adaptada] Uma caia de massa m está sobre uma mesa horizontal. A caia é puada por uma força F, no ângulo, conforme a figura abaio. O coeficiente de atrito estático e é 0,80. O valor mínimo da força necessária para deslocar a caia depende do ângulo. Assim: a) Escreva a epressão da força mínima F em função de, necessária para deslocar a caia com peso P 00 N. b) Determine o ângulo que dá a melhor eficiência [menor força] para deslocar a caia. Lembrete: f at N sendo N a Reação Normal de Apoio RESPOSTAS RESPOSTAS RESPOSTAS RESPOSTAS RESPOSTAS RESPOSTAS RESPOSTAS 01) 5/ cm 1) Largura = altura = m 0) 5 m por 5 m e m 15),5 cm por 6 cm 0) cm por cm 16a) r = 10 m e h = 0 m 16b) R$ 9.00,00 0) 50 m por 500 m 1) Base de 18 cm por 18 cm e altura de 18 cm 05) 500 m por 50 m 18) unidades e R$ ,00 06) = 56,6 m e t = 6,9 min 19) unidades 0) Base de 15 cm por 15 cm e altura de 10 cm 0) unidades 08) h = r = 10,8 cm 1) t = 0 N bactérias 09) r = 6 m e h = m ) Após 5 anos 10) 1,09 m por 1,8 m ) 15,98 m e 9,9 m 11) 66,6 dias ) r = 0,95 dm e h =,185 dm 1) r = cm e h = 10/ cm 5) 10, m por 195,6 m 1) = 0 / m e = 10 m 6a) 0 F ( ) 6b) 8,66º cos 0,8sen Página 1 de 1