x x 2 lim g ( x ) M, x D, onde M é um número real positivo.

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1 UFPB CCEN DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA CÁLCULO DIFERENCIAL a LISTA DE EXERCÍCIOS PERÍODO 0.. Nos eercícios a) p), calcule o ite de f ( ), quando a. f b) f ( ) =, a = 0 a) ( ) =, a = 7 0 f d) f ( ) =, a = c) ( ) =, a = 8 f f) f ( ) =, a = e) ( ) =, a = f ( h) f ( ) =, a = 9 9 g) ) =, a = 8 0 f j) f ( ) =, a = i) ( ) =, a = 0 f ( ) = a = k), m) ( ) =, a = l) f ) =, a = ( ( ) 6 f n) f ( ) =, a = f ( p) f ( ) =, a = o) ) =, a = f ( ). Se f é uma função definida em R e = a 0 f ( ) a) = a 0 f ( ). Se =, calcule f ( ) a a f ( ) e a, mostre que f ( ).. Sabendo-se que =, determine f ( ). a a. Se ϕ é uma função tal que b) f ( ) = 0 a 0 ϕ( ), 0, calcule ϕ( ). a 0 6. Sejam f e g funções com mesmo domínio D, satisfazendo f ( ) = 0 g ( ) M, D, onde M é um número real positivo. Use o Teorema do Sanduíche para mostrar que f ( ) g ( ) = 0. a a a a e

2 7. Se g é a função definida por E g ( ) eiste? a 0, para 0 g ( ) =, eiste g ( ), para > 0 a 0 8. Nos eercícios 8a) 8j), calcule o ite de ( ) a. 8a) ( ) =, a = f quando a e quando f 8b) ( ), = f = ( ) a f 8d) f ( ) =, a = ( ) 8c) ( ) =, a = f 8f) f ( ) = ( ), a = 8e) ( ) =, a = 0 ( ) f 8h) f ( ) =, a = 9 8g) ( ) =, a = 8i) f ( ) =, a = 8j) f ( ) =, a =? 9. Calcule. Eiste? a a 0. Nos eercícios 0a) 0z), calcule os ites indicados. 0a) 0e) 0i) a 0 a a 0 0m) a 0 0b) 0f) 0j) 0p) ( ) a a 0 a a 0 0s) ( ) a 0v) a 6 6 0n) 0c) 0g) 0k) a a 0 a 0 6 a 0q) ( ) a 0t) ( ) 0) a a 9 0d) 0h) 0l) a 0 a 0 a 0o) ( ) a 0r) ( ) a 0u) a 6 0z) a 6

3 . Nos eercícios a) d), calcule o ite de f ( ), quando. a) ( ) = f b) f ( ) = c) ( ) = f d) f ( ) =. Considere f a função definida por Calcule f ( ) a, para f ( ) =., para = e decida se f é contínua em a =.. Seja f uma função real contínua, definida em torno do ponto a =, tal que f ( ) =, para todo. Quanto vale f ()? Por quê?. Determine o valor de k, de modo que cada uma das funções dadas abaio seja contínua no ponto indicado. a) b) 8, para f ( ) =, no ponto = k, para = a ;, para > 0 e f ( ) =, no ponto = k, para =. Seja f a função dada por a. f ( ) =, se, com ( ) = f é contínua no ponto? E no ponto 0? Por quê? f. 6. Dê eemplo de uma função f, definida em R, que não seja contínua no ponto, mas que satisfaça f ( ) = f ( ). a a 7. A afirmação f ( ) = f ( ) f é contínua em a é verdadeira? a a a a 8. Seja f uma função satisfazendo contínua no ponto 0. f ( ), para todo em R. Mostre que f é 9. Encontre os pontos de descontinuidade da função f, definida por, para ( ) = 6, para < <, para f.

4 0. Nos eercícios 0a) 0d), esboce o gráfico da função dada e diga se ela é contínua no ponto indicado. 0a), para > f ( ) =, a = 0; 0b) ( ) =, a =, para f ; 0c), para f ( ) =, = 0, para = a ; 0, para < 0 0d) f ( ) =, a =, onde [[ ]] representa o maior inteiro [[ ]], para 0 que não supera, ou, equivalentemente, o maior inteiro menor ou igual a.. Se f é a função cujo gráfico encontra-se esboçado abaio, determine: a) f ( ) a 0 b) f ( ) a c) f ( ). ; ; f é contínua no ponto 0? E no ponto?. Eiste um número α capaz de fazer com que α a α eista?. Uma companhia ferroviária cobra R$0,00 por km, para transportar um vagão até uma distância de 00km, cobrando ainda R$8,00 por cada km que eceda a 00. Além disso, essa mesma companhia cobra uma taa de serviço de R$.000,00 por vagão, independentemente da distância a percorrer. Determine a função que representa o custo para transportar um vagão a uma distância de km e esboce seu gráfico. Essa função é contínua para = 00?. Uma fábrica é capaz de produzir.000 unidades de um certo produto, em um turno de 8 horas de trabalho. Para cada turno de trabalho, sabe-se que eiste um custo

5 fio de R$.000,00, relativo ao consumo de energia elétrica. Supondo-se que, por unidade produzida, o custo variável, dado o gasto com matéria prima e salários, é de R$,00, determine a função que representa o custo total para a fabricação de unidades e esboce seu gráfico. A função encontrada é contínua para ?. Um estacionamento cobra R$,00 pela primeira hora, ou parte dela, e R$,00 por hora sucessiva, ou parte, até o máimo de R$0,00. Esboce o gráfico do custo do estacionamento como uma função do tempo decorrido e analise as descontinuidades dessa função. 6. Prove que a equação = 0 tem pelo menos uma raiz no intervalo [, 0 ]. 7. Prove que a equação = 0 admite três raízes reais distintas. 8. Se, para < 0 f ( ) =, eiste α [, ] tal que ( α ) = 0, para 0 f? Este fato contradiz o Corolário do Teorema do Valor Intermediário?