LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL FOLHA 2

Transcrição

1 UNIVERSIDADE DO ALGARVE ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL REGIME DIURNO/NOCTURNO - o SEMESTRE - o ANO - 009/00 DISCIPLINA DE ANÁLISE MATEMÁTICA FOLHA. Das figuras abaio esboçadas indique, justificando, quais podem representar gráficos de funções reais de variável real. A B C. Considere f) =, escreva as epressões analíticas de f +. Sendo fθ) = tg θ, verifique que fθ) = fθ) [fθ). 4. Verifique que sendo f) = ln ) então fa) + f = f + 5. Considere as funções f) = e g) =. ) e de ) a + b. + ab f). a) Indique uma epressão analítica para f g. Determine o domínio de f g)). 6. Mostre que as funções f e g são inversas uma da outra. a) f) = + e g) =. f) = 9 + e g) = 9 9. c) f) = e + e g) = ln).

2 Análise Matemática. Folha. Funções reais de variável real R 7. Suponha que f e g são funções com o mesmo domínio. Mostre que: a) se f e g são funções pares ou funções ímpares então f g é uma função par. se f e g são funções com paridades diferentes, uma par e a outra ímpar, então f g é uma função ímpar. 8. Estude a função f) = a, a R + \ {}, quanto à monotonia. 9. Calcule os seguintes ites. a) ) e) 5 f) g) sen + π ) 0 i) 0 e + + j) 0 e + + k) ln + ) d) 5 + 7) n h) π sen tg l) ln) 0. Calcule os seguintes ites. a) e) f) S : 5 i) j) + 4 ) c) d) g) h) [S : 4 k) l) + 4 ) / +

3 Análise Matemática. Folha. Funções reais de variável real R. Calcule os seguintes ites. [ a) n) n S : n [ S : S : + [ d) 4 e) S : + ) [S : 0 + g) 0 + h) i) j) k) + + [S : cos [ S : [S : 4 + [S : [S : f) + ) [ S : + l) + + [S :. Calcule a) c) d) + e e e e e) ln) + f) ln) 0 + g) + ln) h) + e i) 0 + j) 0 e k) l) ln) + e cos) e4 sen) sen. Calcule. Sugestão: Use a desigualdade sen tg Use o resultado anterior para resolver: tg sen a) ) Sabendo que + ) = e. Calcule: a) ) + ) 0 ln + )

4 Análise Matemática. Folha. Funções reais de variável real R 4 6. Identifique os pontos de continuidade e de descontinuidade das funções seguintes. Classifique os pontos de descontinuidade. a)f) = sen c)f) = f) = ) d)f) = sen e)f) = f)f) = ln + + arc tg π ) tg 4 π e + π 4 ) se < 0 se 0 < < se > 7. Seja f) = a m m + a m m a + a 0, uma função polinomial de grau ímpar, a m 0, e m ímpar. Prove que a equação f) = 0 tem pelo menos uma solução. Sugestão: Use um resultado da aula Teórica.) 8. Determine, utilizando a definição de derivada de uma função num ponto, a função derivada de : a) f) = sen g) = ln c) h) = e 9. Considere as fórmulas para as derivadas das seguintes funções elementares : cos, tg, ln e n. Determine, utilizando o teorema da função composta, uma epressão para as derivadas de : a) cosu)) tgu)) c) lnu)) d) n u)), com n N e u) função. 0. Utilizando o teorema da derivada da função inversa e os resultados da pergunta anterior, determine: a) arc sen ) arc cos ) c) arc tg ) d) arc cotg )

5 Análise Matemática. Folha. Funções reais de variável real R 5. Determine as derivadas das seguintes funções : a) ft) = t + 5) t + y = + c) y = + ) d) y = ln cos ) e) y = senln ) f)y = e sen g) y = ln h) y = e arc tg i) y = tg ) + cotg ) j) y = arc cos n n + k) y = earc tg[ln ) p + π cosπ). Calcule os seguintes ites: a) + e + ) + e ) ln[sen) 0 + ln[sen) [S : d) g) + ) + ln ln ) [S : e) ) + [S : h) ) tg [ [S : f) tg arc sen5) 0 e [S : 5 i) 0 sen) π ) tg π ) [S : e 4 S :. Determine as derivadas das funções implícitas definidas pelas condições seguintes : a) + y = 4 y = c) 4 + 9y = 6 d) y y + a = 0 e) + y = a f) + y = g) + y = h) + y = 6y i) y + + = 4 j) + y + 4y = 6 k) y + y = c l) y + y = m) y 5 + y = + ye y n) y = + o) y = cos + y) m) cosy) = n) cos y) = e o) y = cotgy)

6 Análise Matemática. Folha. Funções reais de variável real R 6 4. Determine dy de cada uma das curvas definidas por : d = a cos t = a sen t) a) y = a sen t y = a cos t) c) 5. Mostre que d dy = at + t y = at = a cos t d) y = b sen t + t = lncotg s) = tgs), quando y = tg s + cotg s 6. Determine e classifique os máimos e os mínimos locais das funções definidas por : a) y = 4 + c) y = ln y = + ) d) y = e sen 7. Determine o máimo e o mínimo de cada uma das funções, no intervalo indicado. a) y = no intervalo [, y = +, 0 4 c) y = sen), π π 8. A função y = 5 4 anula-se nas etremidades do segmento [,. Verifique que y 0,, [. Porque não se pode aplicar o teorema de Rolle? 9. Estude o comportamento e construa o gráfico das funções : a) y = y = c) y = 5 d) y = e) y = + f) y = ln g) y = ln h) y = i) y = e j) f) = ln4 ) k) f) = e + ) l) f) = + m) f) = ln + n) f) = o) f) = +

7 Análise Matemática. Folha. Funções reais de variável real R 7 p) f) = e se se < 0 q) f) = 0. Determine os acréscimos e os diferenciais das funções : 4 se < 0 ln se 0 a) y = para = e h = 0.0 y = + para = e h = 0.00 c) y = sen para = π e h = 8. Determine um valor aproimado de log 0 00., sabendo que log 0 00 =.00.. Resulta da fórmula v = 4 πr e s = 4πr para o volume e para a superfície da esfera que dv = s. Eplicar o significado geométrico deste resultado. Estabeleça um resultado dr análogo entre o perímetro e a área do círculo.