MÓDULO 33. Funções I. Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias MATEMÁTICA

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3 Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias MATEMÁTICA MÓDULO 33 Funções I. (OPM Seja f uma função dada por: f( = 7 e n f(n =, para n natural, maior que. Cal - f(n cule o produto f(. f(. f(3.. f(8. Fazendo P(n = f(. f(. f(3.. f(n, para todo n, tem-se: n P(n = P(n. f(n = P(n. f(n. = f(n = P(n. n P(n = P(n. n P(8 = P(6. 8 P(6 = P(. 6 P( = P(. P(8 = P( =. (OBM Seja f( = 3 +. Quantas soluções têm a equação f(f(f( f( =, na qual f é aplicada 00 vezes? a 0 b c d 00 e 00 Considerando a função f( = 3 +, observemos que: não eiste a, tal que f(a =, pois f(a = a 3a + = a 3a + 3 = 0 a. se b, tal que f(b =, então b = ou b =, pois b 3b + = b 3b + = 0 b = ou b =. Assim sendo, f(f(f( f( =, na qual f é aplicada 00 vezes f(f( f( = ou f(f( f( =, na qual f é aplicada 000 vezes, porém, pelo eposto no item, f(f( f( = não serve. f(f( f( =, na qual f é aplicada 000 vezes f( f( = ou f( f( =, na qual f é aplicada 999 vezes, porém, pelo eposto no item, f( f( = não serve. Repetindo esse processo sucessivamente, obtém-se f( = 3 + = 3 + = 0 = ou =. Portanto, a equação tem duas soluções. Resposta: C = f(. f( = f( = 38 f( Outra resolução: f(. f(. f(3.. f(8 = 6 = f(.. f(3.. f(5.. f( f(3 f(5 8. f(7. = = 38 f(7

4 3. Considere a função assim definida: * f: * * f(n = 0, se o algarismo das unidades de n for 3 * f(0 = 0 * f(n. m = f(n + f(m a Calcular f(. b Calcular f(99 e f(008 c Calcular f(n a f(0 = f(. 5 = f( + f(5 = 0 f( = f(5 = 0, pois f( e f(5 são naturais. b f(3 = 0, conforme definição da função. Da mesma forma f(5973 = 0 f(5973 = f(99 3 = f(99 + f(3 = f(99 = 0 f(8 = f( + f( + f( = 0 f(008 = f(5. 8 = f(5 + f(8 = f(5 (I mas f(753 = 0 f(5. 3 = 0 f(5 + f(3 = 0 f(5 = 0 De (I e (II tem-se f(008 = 0 (II. (FUVEST-006 Uma função f satisfaz a iden tida de f(a = af( para to dos os números reais a e. Além disso, sabe-se que f( =. Considere ainda a função g( = f( + pa ra todo o número real. a Calcule g(3. b Determine f(, para todo real. c Resolva a equação g( = 8. (I f(a = a f(, a, (II f( = (III g( = f( +, a De (I e (II, temos a = e = f(. =. f( f( = f( = f( = Em (III, = 3 g(3 = f( + g(3 = b Em (I, se = f(. a = a. f( f(a = a Então: f( = c Em (III, g( = + = 8 = 5 Respostas: a g(3 = b f( = c = 5 c Seja p um número primo. Se p = ou p = 5, então f(p = 0, conforme item a. Se p e p 5, então o algarismo das unidades de p é, 3, 7 ou 9. Se o algarismo das unidades de p for, de 3p será 3 e f(3p = 0 f(3 + f(p = 0 f(p = 0 Se o algarismo das unidades de p for 3, pela definição de f, f(p = 0 3 Se o algarismo das unidades de p for 7, de 9p será 3 e f(9p = 0 f(9 + f(p = 0 f(3 + f(3 + f(p = 0 f(p = 0 Se o algarismo das unidades de p for 9, de 7 p será 3 e f(7p = 0. Como f(63 = 0 f(7. 9 = 0 f(7 + f(3 + f(3 = 0 f(7 = 0, e f(7p = 0 temos f(7 + f(p = 0 f(p = 0 Assim, f(p = 0 para todo p primo. Se n é um número natural, maior que um, pode ser decom posto em fatores primos. Portanto f(n = 0. Além disso f( = 0, pois f(3 = f(3. = f(3 + f( f( = 0 Logo f(n = 0, n *

5 MÓDULO 3 Funções I. (OBM Seja f: * + * +, uma função tal que y f(f(y f(y = +, quaisquer que sejam os y reais não nulos e y. a Calcule f( b Encontre uma fórmula para f( RESOLUCÃO: y a f(. f(y f(. y = + y f(. f( f(. = + (f( f( = 0 f( = ou f( = * + Assim, f( = y b f(. f(y f(. y = + y f(. f( f(. = + f(. f( = + f( = +. (ITA Sejam três funções f, u, v: tais que: f + = f( + f( para todo não nulo e (u( + (v( = para todo real. Sabendo-se que 0 é um número real tal que u( 0. v( 0 0 e u( f. =, o valor de f 0 é: u( 0 v( 0 v( 0 a b c d e I (u( 0 + (v( 0 =, pois (u( + (v( =, II Como f( + = f ( + para todo f( u( não nulo, tem-se f 0 + = v( 0 u( 0 u( 0 = f u( v( + = f = v( 0 u( 0 v( 0 u( 0 v( 0 (u( = f 0 + (v( 0 = f = u( 0. v( 0 u( 0.v( 0 u( 0 III Fazendo f = y, tem-se y + = v( y 0 y = e f u( 0 v( 0 = Resposta: B f v( 0 3

6 3. (IME-007 Seja f: uma função tal que n (n + f(k = 008, onde e são, respecti - k = 0 (n + vamente, o conjunto dos números naturais e o dos núme - ros reais. Determine o valor numérico de. f( (006 + f(k = 008 = 007 (006 + k = k = 0 (005 + f(k = 008 = ( f(006 = f(k f(k = 007 = 007 k = 0 k = (007 = = = =. Portanto, = f(006 Resposta: MÓDULO 35 Funções I. (ITA O conjunto de todos os valores de m para os quais a função f( = está definida e é não negativa para todo real é: a [ 7, b [ ], [ c ] 7 0, [ d ], e ] ] 7, [ f( = + (m (m (m + + (m + + (m (m (m + + (m + negativa para todo real se, e somente se: + (m (m + 3 0, + (m + + (m + > 0, 3 está definida e é não (m (m (m +.. (m + < 0 m m 7 < 0 3 m 7 m < m Resposta: D

7 . (OBM Para todo n natural, definimos a função f por: n f(n = se n é par, f(n = 3n + se n é ímpar. O número de soluções da equação f(f(f(n = 6 é: a b 3 c d 5 e 6 Observe que f(n é sempre inteira, seja n par ou ímpar. n = 6 n = 8 f(n = 3 f(n = 6 ou f(f(n 3n + = 6 n = = 6 f(f(n = 3 ou 3 3f(n + = 3 f(n = (impossível 3 f(f(f(n = 6 ou 3f(f(n + = 6 f(f(n = 5 n = 0 n = 0 f(n = 5 f(n = 0 ou 3n + = 0 n = 3 ou 3f(n + = 5 f(n = (impossível 3 Resposta: C 5

8 3. Seja f: {0; } a função definida por f( =. Definindo f ( = f( e f n ( = f(f(...f(..., em que f comparece n vezes (n >, obtenha f (. f (. f 3 (...f 30 ( f ( = f( = f ( = f[f(] = f = = = MÓDULO 36 Funções I. A função f associa a cada real o menor elemento do conjunto { + ; ;. O valor má i mo de } 3 f( é: 5 6 a b 3 c d 3 e 5 f 3 ( = f[f[f(]] = f = = f ( = f[f 3 (] = f( = Assim, f (. f (. f 3 ( =.. = de modo análogo, tem-se f (. f 5 (. f 6 ( = = = f 8 (. f 9 (. f 30 ( = e f (. f (. f 3 (.. f 30 ( = ( 0 = Como f associa a cada real o menor elemento do conjunto ; ;, o gráfico de f é constituído pelos 3 trechos das três retas que, dentro de cada intervalo, se encontram mais abaio. Assim, o valor máimo de f ocorre no ponto P (5; 5 e é igual a 5. Resposta: E Resposta: 6

9 . Sejam f, g : funções tais que g( = e f( = f( = ( 3, para todo e. Então f[g(] é igual a a ( 3 b ( 3 c 3 d e Se f( + f( = ( 3 para todo e, então: f( + f( ( = [( ] 3 f( + f( + = 3 (I e f( + + f( ( + = [( + ] 3 f( + + f( = 3 (II De (I e (II tem-se f( = 3 f(g( = 3 3. Considere duas funções f e g, de em, tais que.f( = 3 g( e.g( = + 6.f(, para todo. O ponto P de intersecção dos gráficos de f e g: a pertence ao semieio positivo das abscissas. b pertence ao semieio positivo das ordenadas. c pertence a bissetriz do primeiro quadrante. d pertence a bissetriz do segundo quadrante. e pertence a bissetriz do terceiro quadrante. f( = 3 g( g( = + 6 f( f( + g( = 3 g( = + 6 f( + g( = 3 g( + f( = + 6 f( = 5. 3 g( = + 6 No ponto de intersecção dos gráficos, temos f( = g(. Assim, f( = g( 5. 3 = = 9 = e f( = 5. 3 = O ponto de intersecção é P(,, que pertence à bissetriz do primeiro quadrante. Resposta: C 7

10 MÓDULO 33. (ITA Seja a função f : definida por f( = eercícios-tarefa π π a ( + se < π a π sen se é o conjunto a D = { e : 0 < < 3π/} b D = { e : < /π ou > π} c D = { e : 0 < /π ou π} d D = { e : > 0} e D = { e : 0 < < /π ou π < < 3π/} onde a > 0 é uma constante. Considere k = {y R; f(y = 0}. π Qual o valor de a, sabendo-se que f(f( k? a π/ b π/ c π d π / e π π. (ITA Os valores de α, 0 < α < π e α, para os quais a função f : dada por: f( = tg α assume seu valor mínimo igual a, são: π 3π π π π π a e b 5 e 5 c 3 e 3 π π π 3π d e 7 e 5 e 5 7 MÓDULO 3 (56. (IME Dada a função f( = + 56, demonstre que: f( + y + f( y = f( f(y. (IME Seja f:, onde é o conjunto dos números reais, tal que f( = 5. O valor de f( é: f( + = f(. f( a b c 5 d 5 e 5 5 MÓDULO 35. (ITA O domínio D da função π f( = n ( + π + π + 3π 8. (IME Considere os conjuntos A = {(,, (, 3, (, 3} e B = {,, 3,, 5}, e seja a função f : A B tal que: f(, y = + y É possível afirmar que f é uma função: a injetora b sobrejetora c bijetora d par e ímpar MÓDULO 36. (ITA Seja f : definida por: f( = e, se 0, se 0 < < n, se Se D é um subconjunto não vazio de, tal que f: D é injetora, então: a D = e f(d = [, + [ b D = ], ] ] e, + [ e f(d = ], + [ c D = [0, + [e f(d = ], + [ d D = [0,e] e f(d = [, ] e n. d. a. Notação: f(d = {y, : y = f(, D} e n denota o logaritmo neperiano de. Observação: Esta questão pode ser resolvida graficamente.. (ITA Considere a função y = f(, definida por f( = 3 +5, para cada real. Sobre esta função, qual das afirmações abaio é verdadeira? a y = f( é uma função par. b y = f( é uma função ímpar. c f( 0 para todo real. d f( 0 para todo real. e f( tem o mesmo sinal de, para todo real 0.

11 resolução dos eercícios-tarefa MÓDULO 33 π π a π π π π a π a f =. sen f = π π a π π b f = <, pois a > 0 =. f(. f(y Se a igualdade é válida para qualquer valor real de a, com 0 < a, é válida também para a = 56, demonstrando a igualdade proposta. Resposta: Demonstração. π π π < e a > 0, temos: c Como f k, f a. + = 0 a. π = 0 a = Resposta: D π a π a π π π f( + = f(. f( f(0 + = f(0 f( 5 = f(0. 5 f(0 = f( + = f(. f( f(0 = =f(. f( = f(. 5 f( = Resposta: D 5 O minimante de f é = =. Se o valor mínimo de f é então: f =.. tg α = tg α = 3 tg α = ± 3 π π Se 0 < α < π então α = ou α = 3 3 Resposta: C MÓDULO 35 π f( ( + π + π > 0 + 3π π ( + π + π > 0 ( < /π ou > π e e + 3π > 0 0 < < 3π/ 0 < < /π ou π < < 3π/ MÓDULO 3 a Considerando uma função f do tipo f( = + a, como 0 < a. a f( + y + f( y = +y + a (+y a + y + a ( y = a =. a y + a. a y + a. a y + a. a y = a =. (a y + a y + a. (a y + a y = (a = y + a y. (a. + a (a =.. + a. (a y + a y = Resposta: E f(, = + = 3 f(, 3 = + 3 = f(, 3 = + 3 = 5 Pelo diagrama de flechas ao lado, temse que a função e injetora, mas não é sobrejetora. Resposta: A 9

12 MÓDULO 36 O gráfico de função f: definida por e, se 0 f( =, se 0 < < n, se > é: Considerando que: f( = = ( > 0,, conclui-se que f( tem o mesmo sinal de, para todo real 0. Resposta: E Nos intervalos, [0, + [ e [0, e] a função f não é injetora, pois f(0 = f(e =. Observemos, pelo gráfico, que y ], + [, eiste um único ], ] ] e, + [ tal que f( = y. Assim, f é injetora no intervalo D = ], ] ] e, + [ e f(d = ], + [ Resposta: B 0