MÓDULO 37. Inequação. Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias MATEMÁTICA

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3 Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias MATEMÁTICA MÓDULO 37 Inequação. (ITA) Considere as seguintes afirmações sobre nú - meros reais positivos: I. Se x > 4 e y <, então x y >. II. Se x > 4 ou y <, então x y >. III. Se x < e y >, então x y < 0. Então, destas é (são) verdadeira(s) a) apenas I. b) apenas I e II. c) apenas II e III. d) apenas I e III. e) todas. a. x b 3. Resolver em a inequação < x, sa ben - ax b do-se que a e b são números reais de sinais con trários.. (ITA) Uma vez que, para todo x e n Œ, vale a desigualdade x n > n(x ), temos como consequência que, para 0 < x < e n Œ, tem-se: a) x n < [n( + x)] b) x n < [(n + )( + x)] c) x n < [n ( x)] d) x n < [(n + )( x)] e) x n < [n( x)]

4 4. Encontrar todos os valores reais de m, de modo que (m ). x +. (m )x + > 0, para todo x Œ. MÓDULO 38 Inequação. Para que valores de a Œ, tem-se: x + ax 3 < <, para todo x real? x x +

5 . (OBM) Os valores reais de x que satisfazem a 3. Resolver em a inequação inequação x + x x + 7 são: x x + x a) x b) x = c) x d) x e) x 3

6 MÓDULO 39 Inequação. Resolver em a inequação: x x + x + < 0 x 4x + 4 x. (ITA) Considere as funções f e g definidas por x f (x) = x, para x 0, e g (x) =, para x x + x. O conjunto de todas as soluções da ine qua ção (gof) (x) < g(x) é: a) [, + [ b) ], [ c) [, [ d) ], [ e) ], [ ], + [ 4

7 3. (ITA) Sendo I um intervalo de números reais com extremi dades em a e b, com a < b, o número real b a é chamado de comprimento de I. Considere a inequação 6x 4 5x 3 7x + 4x < 0. A soma dos comprimentos dos intervalos nos quais ela é verdadeira é igual a a) 3. b) 3. c) 7. d). e) MÓDULO 40 Inequação. Resolver a inequação x + 6x 5 > 8 x 5

8 . (OPM) Determine os valores reais de r para os quais o trinômio abaixo seja positivo para todos os valores reais de x. y = ( r )x + (r + )x + 3. (IME) a) Sejam x, y e z números reais positivos. Prove que: x + y + z 3 xyz. Em que condições a igualdade se 3 verifica? b) Considere um paralelogramo (entenda paralelepípedo reto retângulo) de lados a, b e c e área total S 0. Deter - mine o volume máximo desse paralelogramo em função de S 0. Qual a relação entre a, b e c para que esse volume seja máximo? Demonstre seu resultado. 6

9 MódulO 37. Prove que todo número de três algarismos não nulos, dividido pela soma de seus algarismos, resulta em um número menor que 00.. Os valores reais de k e p que tornam a inequação x + ( k)x + (p + 4) x 5x + (p + ) > 0 verdadeira qualquer que seja x real, são tais que k + p é igual a: a) 6 b) 8 c) 0 d) e) 4 MódulO 38 3x 7x + 8. Resolver, em, o sistema < x +. Resolver, em, a inequação x 5 x + 5 exercícios-tarefa x < x MódulO 39. Resolver, em, a inequação x + 6x + 9 x x x. A soma e o produto dos valores inteiros de x que satisfazem a inequação x 3 4x + 49x 36 0 e são menores que, são, respectivamente: a) 30 e 3070 b) 35 e 7360 c) 38 e 630 d) 40 e 3760 e) 4 e 3760 MódulO 40. Dado o conjunto A = {x Œ ; 3x + x < x }, ex - presse-o como união de intervalos da reta real.. Demonstre que para qualquer valor de n natural e maior que tem-se > n + n + n + 3 n 3. (OPM) Prove que, para quaisquer reais x e y maiores ou iguais a, x + y x + y + resolução dos exercícios-tarefa MódulO 37 ) Sejam a, b e c, distintos entre si, algarismos do número abc de três algarismos distintos. Temos: 00a = 00a 0b < 00b c < 00c fi fi 00a + 0b + c < 00a + 00b + 00a abc abc < 00. (a + b + c) < 00, pois a + b + c abc = 00a + 0b + c e a + b + c > 0 Resposta: demonstração x 5x + (p + ) 0, as funções f(x) = x + ( k) + (p + 4) e g(x) = x 5x + (p + ) deverão ter as mesmas raízes e gráficos como os expostos abaixo. desta forma, a soma das raízes de f deve ser igual a soma das raízes de g e o produto das raízes de f deve ser igual ao produto das raízes de g. x + ( k)x + (p + 4) ) Para que a inequação >0 x 5x + (p + ) seja verdadeira qualquer que seja x real, e tal que Assim, ( k) = 5 e p + 4 = p + k = 7 e p = 3 fi k + p = 0. Resposta: C 7

10 MódulO 38 3x 7x + 8 x 7x x 7x + 8 ) < x + x + x + 3x 7x + 8 > 0 x + x 7x (I), pois x + > 0, x Œ x 7x + 7 > 0 (II) de (I) tem-se x 6 e de (II) tem-se x Œ. de (I) e (II) tem-se x 6. Resposta: V = {x Œ x 6} x 7x + 7 > 0 x + x 5 ) Fazendo = y 0, temos: x + 5 x 5 x + 5 x < y + < 6y 3y + 6 < 0 x 5 6 y 6 3 x x 5 9 < y < 3 < < 9 < < 3 x + 5 x x 5 x 5 4 0x 65 x 3 < > 0 > 0 > 0 9 x + 5 x (x + 5) x + 5 x 5 x x 5 9 0x 65 x + 3 < < 0 < 0 > 0 4 x (x + 5) x + 5 fi fi (x 3)(x + 5) > 0 x < ou x > 3 (x + 3)(x + 5) > 0 x < ou x > 3 x < ou x > 3 3 Resposta: V = x Œ x < ou x > MódulO 39 x + 6x + 9 ) x x + x = y temos: x Fazendo x y 7y x x + 5 4x + 8 y ou y 5 fi ou 5 0 ou 0 (x < ou x 5) ou < x x x x x Resposta: V = {x Œ x < ou < x ou x 5} x x 8

11 ) Observemos que é raiz da função f(x) = x 3 4x + 49x 36, pois f() = = 0. Fatorando a função temos: f(x) = x 3 4x + 49x 36 = x 3 x 3x + 3x x 36 = x. (x ) 3x.(x ) (x ) = = (x ). (x 36) = (x )(x 4)(x 9) Assim, as raízes da função são, 4 e 9 e o gráfico da função é do tipo do gráfico se conclui x 3 4x + 49x 36 0 x 4 ou x 9. Neste intervalo são inteiros e menores que os números,, 3, 4, 9, 0 e. A soma e o produto desses números são, respectiva - mente, 40 e Resposta: d MódulO 40 ) I) 3x + x 0 x ou x 0 3 II) 3x + x < x fi 3x + x < x 4 fi fi x 4 3x x > 0 fi x (x 3 3x ) > 0 fi fi x (x 3 x x ) > 0 fi fi x [x (x + ) (x ) (x + )] fi fi x (x + ) (x x ) > 0 fi fi x (x + ) (x +) (x ) > 0 fi fi x (x + ) (x ) > 0 fi x (x ) > 0 fi fi (x < 0 ou x > ) e x 3 de I e II, concluímos que x e x ou x > Resposta: A = ] ; [ ; 3 ] ; + [ ) Sendo cada um dos número consecutivos (n + ), (n + ), (n + 3),..., (n ) sempre menores que n, temos > n + n > n + n > n + 3 n > n n = n n >n. = n + n + n + 3 n n Resposta: demonstração 3) Sendo x e y maiores ou iguais a, temos x y x. y. = 4 4xy x y x + x y + y x + + y (x + x) x + y +, pois os números envolvidos são todos positivos. desta forma, x + y x + y + Resposta: demonstração 9

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