Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias MATEMÁTICA RESOLUÇÃO: f(x) = f(x) = x f(x) = x ) a 2. 2) a função g: * 1.

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3 Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias MATEMÁTICA MÓDULO 4 Funções II. (OPM) Seja f uma função de domínio dada por + f() =. Determine o conjunto-imagem + + da função. O conjunto-imagem da função f é tal que se y Im(f), então eiste tal que f() = y. + Assim sendo, f() = y f() = = y = y + y + y (y ) + (y + ) + (y ) = 0 Essa equação só admite valor de real se = (y + ) 4. (y ). (y ) 0 3y + 0y 3 0 y 3. Portanto, Im(f) = ; f() = f() = f() = Fazendo + = a, tem-se, para > 0, que: ) a ) a função g: * + [; + [ definida por g() = + é sobrejetora, pois se a [; + [, eiste * + tal que + = a 3) Se + = a, então + = a e f() = a 5a Assim sendo, o gráfico da função f, em função de a, é o 5 mostrado abaio e o conjunto-imagem de f é ;+ 4 Resposta: C. Considere a função f: * + definida por f() =. O conjunto-imagem de f é: a) [ 3; + [ b) [ 6; + [ 5 c) ; + 4 d) ] ; 6] 5 e) ; 4

4 MÓDULO Funções II +. (ITA) Considere os conjuntos S = {0,,4,6}, T = {,3,5} e U = {0,} e as afirmações: I. {0} S e S U Ø. II. {} S\U e S T U = {0, }. III. Eiste uma função f: S T injetiva. IV. Nenhuma função g: T S é sobrejetiva. Então, é(são) verdadeira(s) a) apenas I. b) apenas IV. c) apenas I e IV. d) apenas II e III. e) apenas III e IV. Se S = {0; ; 4; 6}, T = {; 3; 5} e U = {0; }, então I) é falsa, pois 0 S, mas {0} S e S U = {0} Ø II) é falsa, pois S \ U = S U = {; 4; 6} e {} S\U, mas S T U = Ø III) é falsa, pois para f: S T ser injetiva, deveríamos ter f(0) f() f(4), f(0) f(4) f(6) e f(0) f(6) f() e, para isto, é necessário que n(t) 4 IV) é verdadeira, pois para g:t S ser sobrejetiva, deveríamos ter Im(g) = CD(g) = S, o que é impossível posto que n[im(g)] 3 e n(s) = 4 Resposta: B. (ITA) Seja f: \{ l} definida por f() =. a) Mostre que f é injetora. b) Determine D = {f(); \ { } } e f : D \{ }. Sendo: f: \ { } definida por + 3 f() = = conclui-se: a), \ { }, temos: f( ) f( ) e, portanto, f é injetora. b) Sendo f a função inversa de f, temos: f(f ()) = + = = f () + f () + f () + = f () = 3 O conjunto D = {f(); \ { }} e f : D \ { } é o conjunto-domínio da função f e, portanto, D = \ {}. Respostas: a) demonstração b) D = \ {}

5 MÓDULO 43 Funções II. (ITA) Sejam f, g: duas funções tais que: a) gof: g: é injetora. Verifique se f é injetora e jus - tifique sua resposta. b) gof: g: é sobrejetora. Verifique se g é sobre - jetora e justifique sua resposta.. (ITA) Seja f : bijetora e ímpar. Mostre que a função inversa f : também é ímpar. RESOLUÇÃO Sendo f: bijetora e ímpar, para todo a, temos: f(a) = b f (b) = a e f( a) = b De f( a) = b, temos f ( b) = a Assim: f ( b) = a = f (b) e, portanto, f é ímpar. Sejam f e g funções de em. a) Se f não é injetora então eistem, tais que: f( ) = f( ) gof( ) = gof( ). O que contraria a hipótese de que gof é injetora. Logo, f é injetora. b) Se gof: é sobrejetora então o conjunto imagem de gof é Im(gof) = e Im(gof) Im(g). Assim, Im(g) Im(g) =. Logo, g é sobrejetora. 3

6 MÓDULO 44 Funções II. (ITA) Mostre que toda função f : \ {0}, satisfazendo f (y) = f () + f (y) em todo seu domínio, é par. z \ {0}: ) = z e y = z f(z ) = f(z) + f(z) f(z ) = f(z) ) = z e y = z f(z ) = f( z) + f( z) f(z ) = f( z) Logo, f(z ) = f(z) = f( z), z \ {0} f( z) = f(z), z \ {0} f é par, z \ {0} Resposta: Demonstração. (ITA) Sejam a, b, c reais não nulos e distintos, c > 0. Sendo par a função dada por a + b f() = + c, c < < c, então f(), para c < < c, é constante e igual a: a) a + b b) a + c c) c d) b e) a A função f: ] c; c[, com c > 0, definida por a + b f() =, é par. + c Logo: f( ) = f(), ] c; c[ a + b a + b =, ] c; c[ + c + c a + b ac + bc = a b + ac + bc, ] c; c[ (b ac) = 0, ] c; c[ b ac = 0 b = ac Assim sendo: a + b f() = + c b = ac Resposta: E f() = a + ac + c f() = a 4

7 3. (ITA) Denotemos por R o conjunto dos números reais. Seja g:, uma função não nula que satisfaz, para todo e y reais, a relação g( + y) = g() + g(y) g() Se f: for definida por: f() = sen, a 0 a então podemos garantir que: a) f é periódica com período π a: b) Para a = n (n natural), temos: f(n) = sen [g()] c) Se g() 0 então g() = f(0). d) Se g(t) = π a então T é período de f. e) Se g(t) = π então T é período de f. ) g( + y) = g() + g(y),, y g( + T) = g() + g(t),, T g() ) f() = sen, a 0 e a f( + T) = sen g( + T) a 3) De () e () tem-se: g() g(t) f( + T) = sen a + a 4) Se T * e g(t) = π a então em (3) tem-se: g() π a f( + T) = sen + g() = sen = a a a + π g() = sen = f(), a 5) Se T * e f( + T) = f(), então f é periódica e T é UM período de f. 5

8 eercícios-tarefa MÓDULO 4. O conjunto-imagem da função f definida em * tal + que f() = é 3 a) {0; } b) {a < a } 3 c) a a ou a 3 3 d) ], ] [, + [ e). Seja f uma função de domínio R / { } dada por + f() =. Determine o conjunto-imagem da + + função f. MÓDULO 4. (ITA) Se Q e I representam, respectivamente, o conjunto dos números racionais e o conjunto dos números irracionais, considere as funções f, g: definidas por f() = 0, se Q g() =, se Q, se Ι 0, se Ι Seja J a imagem da função composta fog:. Po - demos afirmar que: a) J = R b) J = Q c) J = {0} d) J = {} e) J = {0,}. (ITA) Sejam A e B subconjuntos de, não vazios, possuindo B mais de um elemento. Dada uma função f: A B, definimos L : A A B por L(a) = (a, f(a)), para todo a A. Podemos afirmar que: a) A função L sempre será injetora. b) A função L sempre será sobrejetora. c) Se f for sobrejetora, então L também o será. d) Se f for injetora, então L também não o será. e) Se f for bijetora, então L será sobrejetora. MÓDULO 43. (ITA) Seja a função f: {} {3} definida 3 por f() = +. Sobre a sua inversa podemos garantir que: a) não está definida pois f é injetora. b) não está definida pois f não é sobrejetora. c) está definida por f y (y) =, y 3. y 3 d) está definida por f y + 5 (y) =, y 3. y 3 e) está definida por f y 5 (y) =, y 3. y 3. (IME) Seja uma função f: {0}, onde representa o conjunto dos números reais, tal que f(a / b) = f(a) f(b) para a e b pertencentes ao domínio de f. Demonstre que f é uma função par. MÓDULO 44. (ITA) Sejam f, g: tais que f é par e g é ímpar. Das seguintes afirmações: I. f. g é ímpar, II. f o g é par, III. g o f é ímpar, é (são) verdadeira(s) a) apenas I. b) apenas II. c) apenas III. d) apenas I e II. e) todas.. (ITA) Seja f: a função definida por f() = sen cos. Então: a) f é ímpar e periódica de período π. b) f é par e periódica de período π/. c) f não é par nem ímpar e é periódica de período π. d) f não é par e é periódica de período π/4. e) f não é ímpar e não é periódica. 6

9 MÓDULO 4 ) Como Im(f) = {a * e f() = a}, tem-se f() = + 3 = a 3a + = 0 Para eistir *, deve-se ter = ( 3a) e, portanto, 9a 4 0 a Resposta: C resolução dos eercícios-tarefa 3 ou a b) y = (y 3) = y 5 = Portanto: Resposta: E ) a) f = f() f() = 0 f y 5 (y) = ; y 3 y 3 y 5 y 3 b) f( ) = f = f() f( ) = 0 f( ) ) Fazendo f() = y temos f() = + = y = y + y + y (y ) + (y + ) + (y ) = 0 Para que esta equação admita { } devemos ter = (y + ) 4. (y ). (y ) = 6y 0 y 0 Assim, Im(f) = + Resposta: + MÓDULO 4 ) (fog)() = f [g()] De acordo com o enunciado g() = 0 ou g() =, então g(). Assim (fog)() = f[g()] = 0, para todo. A imagem J é: {0}. Resposta: C ) Se f é uma função de A em B então f(a) é único para todo a A e {a, f(a)) será único para todo a A. Pode-se afirmar que L: A A B é sempre injetora pois: L(a ) = L(a ) (a, f(a )) = (a, f(a )) a = a, a, a A Resposta: A MÓDULO 43 ) a) 3 f() = + f() = 3 5. f( ) = 0 f( ) = 0 c) f( ) = f = f() f( ) = f() 0 = f(), para todo D(f). Portanto f é Par Resposta: Demonstração. MÓDULO 44 ) f( ) = f() e g( ) = g(), pois f e g são respectiva mente funções par e ímpar. I. Verdadeira. f( ). g( ) = f(). ( g ()) = f(). g() f. g é ímpar. II. Verdadeira. (fog) ( ) = f[g( )] = f[ g()] = f[g()] = (fog)() fog é par. III. Falsa. (gof) ( ) = g[f( )] = g[f()] = (gof)() gof é par. Resposta: D ) I) f() = sen cos = = 5 sen cos 5 5 Eiste α 0; π independente de tal que cos α = e sen α =. Assim, 5 5 7

10 f() = 5 (cos α. sen sen α. cos ) f() = 5. sen ( α) II) f não é par nem ímpar, pois eiste tal que f( ) = 5. sen[( ) α] = 5. sen ( + α) e, portanto, f( ) f() e f( ) f() III) f é periódica de período π = π e o gráfico de f é Resposta: C 8

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