1 Faça um esboço do gráfico de suas respectivas funções e ache o limite indicado, se existir; caso não exista, justifique o porquê.

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1 Ministério da Educação Universidade Tecnológica Federal do Paraná Campus Campo Mourão Wellington José Corrêa ā Lista de Cálculo Diferencial e Integral I Curso: Licenciatura em Química DAMAT, 5 Nome: Faça um esboço do gráfico de suas respectivas funções e ache o ite indicado, se eistir; caso não eista, justifique o porquê. f() = 3 ; < 3 ; ; f() = 8 ; > f() (ii) f() + t 5 f(t) = t + 5 ; t 5 5 t ; t > 5 (iii) f(). f(t) (ii) f(t) (iii) f(t). + t 5 t 5 f() (ii) f() + 4 ; < f() = 4 ; = 4 ; > f() (ii) f() + (iii) f(). (iii) f(). Determine o ite abaio, caso eista (e) (g) (h) (j) h (3 + h) 3 h (k) 3 ( + 3 ) 3 Calcule, em cada situação, o seguinte ite: ( ) (e)

2 4 Ache as assíntotas verticais e horizontais do gráfico das funções abaio e faça seu esboço em cada caso. f() = + 3 g() = + h() = k() = 4 5 Encontre, em cada peculiaridade, o seguinte ite: (3 + ) (e) ( ) + 5 (g) ( + ) + 6 Encontre os ites. + e/ e/ e + + e (e) e + e + e e ln( ) ln(tg ) π/ (g) (h) ln( ) + ln(3 ) + ln( ) ln( ) 7 Dar em cada situação, os pontos onde as seguintes funções são descontínuas. f() = f() = f() = + + se f() = se < se < 8 Determine os valores de, nos quais a função dada é contínua. 3 se > 3 se h() = f() = 4 se f() = se < 9 Calcule os seguintes ites, quando eles eistirem. sen 4 sen 3 cos cos + sen sen (e) π π π + sen π. (g) sen(sen ) (h) + 3 sen tg

3 Mediante o Teorema do Sanduíche, encontre os seguintes ites: cos. 3 g(), se g() + 4 < (3 ) 4, para todo. Ache os valores das constantes a e b que tornam contínua a função f em (, + ) e faça o esboço do gráfico de f. + ; 3 a + b ; 3 < < 5 + ; 5 A porcentagem p de poluição particulada que pode ser removida das chaminés de uma planta industrial gastando C dólares é dada por p = C. Encontre a porcentagem de poluição que 73 + C poderia ser removida se o gasto C pudesse crescer iitadamente. É possível remover % da poluição? Eplique. 3 A arrecadação mundial total pela eibição de um filme de grande sucesso de bilheteria é aproimada pela função T () = onde T () é medido em bilhões de dólares e é o número de meses do filme em cartaz. arrecadação do filme a longo prazo? Qual a 4 Algumas proteínas, conhecidas como enzimas, servem de catalisadores para reações químicas em seres vivos. Em 93, Leonor Michaelis e L. M. Menten descobriram a seguinte fórmula, fornecendo a velocidade inicial V (em mols por litro por segundo) na qual a reação se inicia, como função de quantidade de substrato (a substância sendo transformada, medida em mols por litro) presente. Tal fórmula é V = a + b onde a e b são constantes positivas. Calcule e interprete o resultado. + a + b 5 ( A quantidade de oigênio em um lago t dias após despejarem detritos orgânicos é de f(t) = t ) + t + t por cento do seu nível original. + t + Mostre que f() = e f() = 75. Use o teorema do valor intermediário para concluir que houve um instante em que a quantidade de oigênio no lago foi de 8%. Em quais instantes a quantidade de oigênio foi de 8%. 3

4 6 Um monge tibetano deia o monastério às 7: horas da manhã e segue sua caminhada usual para o topo da montanha chegando lá às 7: horas da noite. Ele medita no topo da montanha durante a noite. Na manhã seguinte, ele parte do topo da montanha às 7: horas da manhã, pega o mesmo caminho de volta e chega ao monastério às 7: horas da noite. Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que eiste um ponto no caminho que o monge vai cruzar eatamente na mesma hora do dia em ambas as caminhadas. 7 Use o teorema do valor intermediário para mostrar que eiste uma raiz da equação cos = 3. 8 Faça o que se pede: O que há de errado com a equação + 6 = + 3? + 6 Em vista de, eplique por que a equação = ( + 3). 9 Analise com deleite os gráficos a seguir, para determinar f() nos valores c f(), c +f(), c de c indicados, se tais valores eistem. E ainda, diga para quais valores de c a função é contínua. = f() = f() 5 c= c = 5 ; ; ;. = f() 3 = f() c= ; c = ; ; 3; 4

5 Respostas ; (ii) 4; (iii) 4. 3; (ii) 3; (iii). 4 5 ; (ii) ; (iii). -5 ; (ii) ; (iii) 4 3 (h) (j) 9 (e) (g) (k) (e) 5

6 4 Assíntota horizontal = ; assíntota vertical: = 3. = 3 Assíntota horizontal: = ; assíntotas verticais: =, = 6. = 6 = = f() = = h() 3 6 Assíntota horizontal: = ; assíntota vertical: = Assíntota horizontal: = ; assíntotas horizontais: = ±. = g() = k() = = = 5 3 (e) (g) 6 + (e) + (g) (h) + 7 = = 8 R \ } R \ } = ± = R \ 5 } 6

7 9 4 (e) (g) (h) 3 4 a =, b = 3 %. Não, para p se aproimar % (como um ite) seriam necessários aumentos iitados de gastos, o que é impossível. 3 5 bilhões de dólares. 4 O ite solicitado é a. À medida que a quantidade de substrato torna-se muito grande, a velocidade inicial aproima-se da constante a mole por litro por segundo. 5 3,8 dias. 6 Considere u(t) a distância do monge ao monastério como uma função do tempo no primeiro dia e d(t) a distância do monge ao monastério como uma função do tempo no segundo dia. Ainda denote D como sendo a distância do monastério ao topo da montanha. Por fim, considere a função (u d)(t) definida no intervalo [, ] a valores na sua imagem, a saber [, D]. Disto, é só aplicar o teorema do valor intermediário. 7 Sugestão: Defina f() = cos 3. 8 A equação só é válida se. Neste caso, note que, logo, sendo admissível a referida simplificação. 9 c = : +,, não eiste; não é contínua. c = :,, ; contínua; c = :,, não eiste; não é contínua. c = 5 :,, ; contínua; c = :,, não eiste; não é contínua. c = :,, ; contínua; c = :,, não eiste; não é contínua. c = :,, ; contínua; c = :,, ; não é contínua; contínua. c = 3 :, +, não eiste; não é Sucesso!!! 7