; a = 5 (d) f (x) = 2x 4 x 3 + 2x 2 ; a = 2 x ; a = 1 (f) f (x) = 3 x. 9 x ; a = 9. x 2 x 2 ; a = 2

Transcrição

1 2. Em cada caso abaio calcule o ite de f ), quando a. a) f ) = 2 + 5; a = 7 b) f ) = c) f ) = e) f ) = ; a = 0 ; a = 5 d) f ) = ; a = ; a = + 3 h) f ) = 9 ; a = ; a = f) f ) = g) f ) = 4 3 ; a = i) f ) = 2 + ; a = 0 j) f ) = ; a = 2 k) f ) = + ; a = 3 l) f ) = ; a = ) 4 6 m) f ) = ; a = 2 n) f ) = 2 3 ; a = faça u = 3 3 ) o) f ) = ; a = p) f ) = ; a = faça u = 3 + 2) + f ) 2.2 Se f é uma função definida em R e 0 f 3) f 2 ) a) = 3 b) = f ) f ) 2.3 Se 2 2 =, calcule f ) e 2 2. f ) Sabendo-se que = 3, calcule f ) =, mostre que: 2.5 Se ϕ é uma função tal que ϕ ) +, 0, calcule 2 ϕ ) Sejam f e g funções definidas em D, tais que a f ) = 0 e g ) M, D, sendo M

2 uma constante positiva. Use o Teorema do Sanduíche e mostre que [f ) g )] = 0. a, se Considere a função g definida por g ) =. Investigue a eistência dos ites:, se > 0 g ) e g ). 2.8 Em cada caso abaio, calcule os ites laterais de f no ponto a. a) f ) = , a = 2 b) f ) = 2) 2, a = 2 c) f ) = 2 ) 3, a = d) f ) = 2 4 2, a = 2 e) f ) = ) + 2, a = 0 f) f ) =, a = ) g) f ) =, a = h) f ) = , a = 3 i) f ) = 2 + 2, a = j) f ) = 2 4, a = Calcule e verifique se eiste o ite Calcule os ites laterais indicados. a) e) i) m) b) 0 5 f) 3 3 j) n) c) g) k) o) Calclule os seguintes ites no infinito. a) d) g) j) m) d) 0 2 h) l) + p) ) b) ) c) ) ) ) e) ) f) ) ) h) k) n) ) i) l) 2.2 Calcule f ), onde a função f : R R é definida por f ) = ) ) 2, se 3, se =. 2

3 Esta função é contínua em =? 2.3 Seja f uma função real contínua, definida em torno do ponto a =, tal que f ) = , para. Quanto vale f )? Por quê? 2.4 Determine o valor de k, de modo que cada uma das funções dadas abaio seja contínua no ponto a indicado. 3 8 a) a = 2; f ) = 2, se 2 k, se = 2 3 b) a = 3; f ) = 3, se > 0 e 3 k, se = Seja f a função definida por: f ) = 2 e f ) = 2 +, para. A função f é + contínua no ponto =? Por quê? E no ponto = 0? 2.6 Dê eemplo de uma função f, definida em R, descontínua no ponto = 2, mas que satisfaça f ) = f ) Qual das afirmações abaio é verdadeira? a) f ) = f ) = f é contínua em = a; a + a b) Se a f ) eiste, então a f ) também eiste; c) Se a f ) = 0, então a f ) = Seja f uma função tal que f ) 2, R. Mostre que f é continua em = Esboce o gráfico e encontre os pontos de descontinuidade da função f, definida por: , se 5 f ) = 6 5, se < < 3. 3, se Em cada caso, esboce o gráfico da função e diga se ela é contínua no ponto a indicado. 2 2, se > a) a = 0; f ) = b) a = 0; f ) = 2, se 2 2, se, se = 2 c) a = ; f ) = , se < 0 d) a = ; f ) =. + [], se 0 Nota: No Eercício 2.20d), [] representa o maior inteiro menor ou igual a e a função correspondente [] é denominada função escada. 3

4 3 2 + α + α Eiste um número real α capaz de fazer com que eista? 2.22 Uma companhia ferroviária cobra R$0,00 por km, para transportar um vagão até uma distância de 200km, cobrando ainda R$8,00 por cada km que eceda a 200. Além disso, essa mesma companhia cobra uma taa de serviço de R$.000,00 por vagão, independentemente da distância a percorrer. Determine a função que representa o custo para transportar um vagão a uma distância de km e esboce seu gráfico. Essa fun ção é contínua em = 200? 2.23 Uma fábrica é capaz de produzir unidades de um certo produto, em um turno de 8 horas de trabalho. Para cada turno de trabalho, sabe-se que eiste um custo fio de R$2.000,00, relativo ao consumo de energia elétrica. Supondo-se que, por unidade produzida, o custo variável, dado o gasto com matéria prima e salários, é de R$2,00, determine a função que representa o custo total para a fabricação de unidades e esboce seu gráfico. A funçã o encontrada é contínua para ? 2.24 Um estacionamento cobra R$3,00 pela primeira hora, ou parte dela, e R$2,00 por hora sucessiva, ou parte dela, até o máimo de R$0,00. Esboce o gráfico do custo do estacionamento como uma função do tempo decorrido e analise as descontinuidades dessa função Prove que a equação = 0 tem pelo menos uma raiz no intervalo [, 0] Prove que a equação = 0 admite três raízes reais e distintas , se Considere a função f definida por: f ) =. Mostre que não eiste 2 2, se 0 2 um número α no intervalo [ 2, 2] tal que f α) = 0. Isto contradiz o corolário do Teorema do valor Intermediário? 2.28 Eplique por que os ites abaio não eistem. a) 0 b) + 3 c) 2 ) + 2) d) 4

5 Respostas 2. a) 9 c) 7 e) 4 g) 4/3 i) k) /3 2) m) /3 3 4 n) 32 o) /2 f 3) 2.2 a) Faça u = 3 e note que 0 f 2) uf u) = ± 0 u 0 u f u) = 3 u 0 u. Em b), fazendo u = 2, encontramos e Temos: 0 f ) g ) M f ) 2.7 A função g ) não tem ite em = 0 e 0 [ 2 g ) ] = a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) f ) /5 2 /6 2 /4 a f ) /5 2 /6 2 /4 a Quando 2 + o ite eiste e vale 0. Quando 2 o ite não eiste. 2.0 a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) m) n) o) p) 2. a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) m) n) o) 5/6 5/6 0 0 /2 2.2 f ) = 2 e f ) = 3. Logo, f é descontínua em a =. 2.3 Como f é contínua em a =, devemos ter f ) =. 2.4 a) k = 2 b) k = 3/6 2.5 f é contínua em e descontínua em Considere, por eemplo, a função f definida assim: f ) =, para 2 e f 2) = a) falsa. b) falsa c) verdadeira. 2.8 Use o Teorema do Sanduíche. 5

6 2.9 = 3 é a única descontinuidade de f a) sim b)sim c) não d) não. 2.2 Se α = 5, o ite será Se 200, o custo C ) é determinado em reais por C ) = O custo para uma distância de 200 km é, portanto, C 200) = R$3.000, 00. Se a distância ecede 200 km, isto é, se > 200, então o custo total será dado por C ) = ). Resumindo, temos: , se 0 < 200 C ) = , se > 200 e essa função é contínua em = Se , um único turno de trabalho será suficente e, assim, C ) = Se 5000 < 45000, então a fábrica deverá operar em 3 turnos e, nesse caso, C ) = A função custo é descontínua no intervalo considerado As descontinuidades ocorrem nos pontos t =, t = 2, t = 3 e t = Não. Como a função não é contínua em [ 2, 2], o fato não contradiz o resultado citado Em cada caso note que os ites laterais, quando eistem, são diferentes. 6