CÁLCULO II Prof. Jerônimo Monteiro

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Rosa Álvares
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1 CÁLCULO II Pro. Jerônimo Monteiro Gabarito - Lista Semanal 08 Questão 1. Calcule 2 para (x, y, onde x = r cos θ e y = r sen θ. 2 Solução: Primeiro, calculamos pela regra da cadeia, como segue: = + = ( r sen θ + r cos θ r sen θ Com isso, para encontrar 2, derivamos novamente em relação a θ utilizando a regra da cadeia, 2 da seguinte orma: 2 = ( r sen θ 2 [ 2 r cos θ ( [ + r sen θ ( 2 r 2 r ( cos θ ( cos θ [ 2 ( 2 r cos θ ( [ ( [ ( ( + + [ 2 ( r sen θ + 2 [ ( r sen θ r cos θ [ ( ( r cos θ 2 ( 2 r cos θ + r 2 sen 2 θ 2 2 r2 sen θ cos θ 2 r 2 sen θ cos θ 2 + r2 cos 2 θ 2 2 1

2 Questão 2. Sejam (x, y, z e g(x, y, z unções dierenciáveis com derivadas contínuas e que (4, 1, 2 = 1, (4, 1, 2 = 0, (4, 1, 2 = g(4, 1, 2 = 0 (4, 1, 2 1, (4, 1, 2 = 4 (4, 1, 2 = 1, (4, 1, 2 1 (a Mostre que existe um intervalo U de R contendo 4 e unções h 1 (x, h 2 (x, com h 1 (4 1, h 2 (4 = 2 e com (x, h 1 (x, h 2 (x = 0 para todo x U. (b Calcule h 1 (4 e h 2 (4. Solução: (a Sejam h 1 (x e h 2 (x unções tais que: { (x, h1 (x, h 2 (x = 0 g(x, h 1 (x, h 2 (x = 0 Com isso, a partir da regra da cadeia, podemos derivar cada igualdade acima em relação a x, obtendo o seguinte: { x x + y h 1 (x + z h 2 (x = 0 g x x + g y h 1 (x + g z h 2 (x = 0 Organizando as equações acima, obtém-se o seguinte sistema: { y h 1 (x + z h 2 (x x g y h 1 (x + g z h 2 (x g x Para resolvê-lo, podemos utilizar a regra de Cramer, por exemplo, como segue: x z h g x g z 1(x = = g x z x g z y z y g z z g y g y g z y x h g y g x 2(x = y z g y g z = xg y g x y y g z z g y Com essas expressões em mente, podemos aplicar o valor de x = 4, obtendo (x, h 1 (x, h 2 (x = (4, 1, 2 e g(x, h 1 (x, h 2 (x = g(4, 1, 2. Em tal ponto, podemos determinar os valores das derivadas parciais, uma vez que eles oram dados na questão. Sendo assim, analisando o denominador das derivadas h 1 (x e h 2 (x, temos o seguinte, ao aplicar os valores: y (4, 1, 2g z (4, 1, 2 z (4, 1, 2g y (4, 1, 2 = ( 1 ( = 0 Ou seja, pelo Teorema da Função Implícita, como y (4, 1, 2g z (4, 1, 2 z (4, 1, 2g y (4, 1, 2 0, (4, 1, 2 = g(4, 1, 2 = 0 e e g são unções de classe C 1, podemos concluir que, em uma vizinhança de 4, existem as unções h 1 (x e h 2 (x, com h 1 (4 1 e h 2 (4 = 2 e, também, (x, h 1 (x, h 2 (x = g(x, h 1 (x, h 2 (x = 0 para todo x U. (b A partir da resolução do item (a, aplicando o valor de x = 4, temos: h 1(4 = g x(4, 1, 2 z (4, 1, 2 x (4, 1, 2g z (4, 1, 2 y (4, 1, 2g z (4, 1, 2 z (4, 1, 2g y (4, 1, 2 Pro. Jerônimo Monteiro 2

3 h 2(4 = x(4, 1, 2g y (4, 1, 2 g x (4, 1, 2 y (4, 1, 2 y (4, 1, 2g z (4, 1, 2 z (4, 1, 2g y (4, 1, 2 Substituindo os valores das derivadas dados na questão e lembrando que o valor do denominador já oi calculado anteriormente no item (a, temos o seguinte: h 1(4 = ( 1 h 2(4 = ( Questão 3. Nos itens a seguir, aça o que se pede: (a Mostre que, próximo do ponto (2, 1, 1, o conjunto S = {(x, y, z : x 3 y 3 + y 3 z 3 + z 3 x 3 1} é o gráico de uma unção : R 2 R com z = (x, y. (b Determine (2, 1 e (2, 1. Solução: (a Seja F (x, y, z = x 3 y 3 +y 3 z 3 +z 3 x 3 +1, deine-se o conjunto S dado como F (x, y, z = 0. A partir disso, devemos testar as hipóteses do Teorema da Função Implícita no ponto (2, 1, 1 dado para veriicar o que se pede no item (a. Sendo assim, temos o seguinte: F é de classe C 1 no conjunto aberto R 3, uma vez que é polinomial. F (2, 1, 1 = 2 3 ( ( = 0 (x, y, z = 3y3 z 2 + 3x 3 z 2 (2, 1, 1 = 3 ( = 21 0 Com isso, podemos concluir, pelo Teorema da Função Implícita, que, na vizinhança do ponto (2, 1, 1, a equação F (x, y, z = 0, isto é, o conjunto S proposto na questão, é o gráico de uma unção dierenciável : R 2 R, sendo, então, verdade que z = (x, y, dada implicitamente. (b A partir do resultado do item (a e utilizando o Toerema da Função Implícita, podemos calcular as derivadas parciais da seguinte maneira: (2, 1, 1 (2, 1 (2, 1, 1 (2, 1, 1 (2, 1 (2, 1, 1 Portanto, devemos, antes, determinar as derivadas parciais da unção F, da seguinte orma: (x, y, z = 3x2 y 3 + 3z 3 x 2 (2, 1, 1 = 3 22 ( = 0 (x, y, z = 3x3 y 2 + 3y 2 z 3 (2, 1, 1 = 3 23 ( ( = 27 Pro. Jerônimo Monteiro 3

4 Com isso, é possível calcular o que se pede, uma vez que (2, 1, 1 oi determinada no item (a. (2, 1, 1 (2, 1 0 (2, 1, 1 21 = 0 (2, 1, 1 27 (2, 1 (2, 1, Questão 4. Seja : R 3 R com (x, y, z = x 3 y + y 3 z + z 3 x 2xyz: (a Calcule (2, 1, 1. (b Encontre o plano tangente no ponto P (2, 1, 1 da superície de nível Solução: (a Temos que: (2, 1, 1 = {(x, y, z R 3 : (x, y, z = } ( (2, 1, 1, (2, 1, 1, (2, 1, 1 Sendo assim, precisamos dos valores das derivadas parciais em tais pontos, os quais são obtidos da seguinte maneira: (x, y, z = 3x2 y + z 3 2yz (2, 1, 1 = 3 22 ( ( (x, y, z = x3 + 3y 2 z 2xz (2, 1, 1 = ( = 7 (x, y, z = y3 + 3z 2 x 2xy (2, 1, 1 = ( ( 1 = 9 (2, 1, 1 = ( 9, 7, 9 (b A partir do resultado obtido no item (a e da interpretação do vetor gradiente, temos que (2, 1, 1 é um vetor normal à superície de nível de (x, y, z. Além disso, podemos perceber que o ponto P (2, 1, 1 pertence à superície (x, y, z =, uma vez que (2, 1, 1 =. Portanto, para escrever a equação do plano tangente no ponto P, basta utilizar o vetor normal obtido e esse ponto, da seguinte orma: (x 0, y 0, z 0 (x x 0, y y 0, z z 0 = 0 ( 9, 7, 9 (x 2, y + 1, z 1 = 0 9x y z 9 = 0 9x 7y 9z = 16 Questão 5. Seja S = {(x, y, z : x 3 y + y 2 z 3 + zx 2 = 3}: (a Mostre que S é o gráico de uma unção z = (x, y em uma vizinhança de P (1, 2, 1. (b Calcule (1, 2 e (1, 2. Pro. Jerônimo Monteiro 4

5 Solução: (a De maneira análoga à resolução da questão 3, podemos utilizar o Teorema da Função Implícita. Deinindo F (x, y, z = x 3 y + y 2 z 3 + zx 2 3, nota-se que a equação que rege S satisaz F (x, y, z = 0. Sendo assim, temos, para o ponto (1, 2, 1, o seguinte: F é de classe C 1 no aberto R 3, uma vez que é polinomial. F (1, 2, 1 = 1 3 ( 2 + ( = 0 (x, y, z = 3y2 z 2 + x 2 (1, 2, 1 = 3 ( = 13 0 Com isso, podemos concluir, pelo Teorema da Função Implícita, que, na vizinhança do ponto (1, 2, 1, a equação F (x, y, z = 0, isto é, o conjunto S proposto na questão, é o gráico de uma unção z = (x, y, dada implicitamente. (b A partir do resultado do item (a e utilizando o Toerema da Função Implícita, podemos calcular as derivadas parciais da seguinte maneira: (1, 2, 1 (1, 2 (1, 2, 1 (1, 2, 1 (1, 2 (1, 2, 1 Portanto, devemos, antes, determinar as derivadas parciais da unção F, da seguinte orma: (x, y, z = 3x2 y + 2zx (1, 2, 1 = 3 12 ( (x, y, z = x3 + 2yz 3 (1, 2, 1 = ( = Com isso, é possível calcular o que se pede, uma vez que (1, 2, 1 oi determinada no item (a. (1, 2, 1 (1, 2 (1, 2, 1 (1, 2, 1 (1, 2 (1, 2, = = 3 13 Pro. Jerônimo Monteiro 5

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