RESOLUÇÕES LISTA 02. b) FALSA, pois para termos a equação de uma reta em um certo ponto a função deve ser derivável naquele ponto.

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1 UNIVERSIDADE ESTADUAL VALE DO ACARAÚ CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CAMPUS DA CIDAO CURSO DE MATEMÁTICA CÁLCULO NUMÉRICO JOSÉ CLAUDIMAR DE SOUSA RESOLUÇÕES LISTA 02 QUESTÃO 1 a) Pela equação (3) podemos concluir que f(a) = b. Portanto, a equação y = f(a) + f (a)(x a) é de uma reta tangente à função f em (a,b) com coeficiente angular f (a). b), pois para termos a equação de uma reta em um certo ponto a função deve ser derivável naquele ponto. c) A citada equação (1) é de uma reta tangente ao gráfico de f e que passa por (a,b) e tem coeficiente angular f (a), havendo a necessidade de f ser derivável em x = a. d) O sistema de equações (2) diz que P(a) = f(a) P (a) = f (a) Pela equação (1) temos que f(x) = b + m(x a) Então, f(a) = b + m(a a) f(a) = b P(a) = b f (x) = m f (a) = m P (a) = m Como f(a) = P(a) e f (a) = P (a), podemos afirmar que P(x) = f(x). Portanto, pela equação (1) temos: P(x) = P(a) + P (a)(x a) que é a equação de um polinômio do 1º grau. e) O polinômio dado é do 1º grau. Por isso, sentença. f) Dado o polinômio P(x) = a 0 + a 1 (x a) e tomando o sistema de equações (2) temos: P(a) = f(a)

2 P (a) = f (a) P(a) = a 0 + a 1 (a a) P(a) = a0 P (x) = a 1 P (a) = a1 Portanto teremos P(x) = f(a) + f (a)(x a) Este polinômio é do 1º grau e é tangente ao gráfico de f no ponto (a,f(a)). QUESTÃO 2 a) Quando executamos os comandos citados nenhum gráfico é feito, como podemos observar no item seguinte. b) Pelo que podemos observar na figura abaixo, percebemos um erro no terminal do gnuplot pois a variável a não foi definida. c)

3 À medida que vamos executando a seqüência de comandos os gráficos vão aparecendo. Assim, para continuarmos a questão e digitar os demais comandos precisamos fechar os gráficos. Dessa forma, todos os gráficos são vistos, um de cada vez. d) Assim como no exemplo anterior, a cada vez que era acionado o comando plot, o gráfico era feito, um de cada vez. Porém, o programa não ficou parado esperando um enter. QUESTÃO 3 a)se P(x) = a 0 + a 1 (x a) + a 2 (x a) 2, então temos:

4 P(a) = a 0 + a 1 (a a) + a 2 (a a) 2 P(a) = a0 + a a 2.0 P(a) = a0 P (x) = a a 2 (x a) P (a) = a1 + 2.a 2 (a a) P (a) = a1 + 2.a 2.0 P (a) = a P (x) = 2.a 2 P (a) = 2.a2 1 b)pelo que foi visto anteriormente, a alternativa é. c)como P(a) = a 0 o polinômio passa por (a,a 0 ). d)sabendo que P(a) = a 0 e que P (a) = a 1, concluímos que a referida equação é do 2º grau, devido ao expoente 2, passa por (a, a 0 ) e tem coeficiente angular a 1. e) Já sabemos que a parábola passa por (a, a 0 ) e não por (a,b). f) Para que uma parábola e uma função sejam tangentes em um ponto, precisamos que aquele ponto pertença tanto à parábola quanto à função e que seus coeficientes angulares e concavidade também sejam iguais naquele ponto. Daí, se o ponto de encontro de tais gráficos for (a, f(a)), temos: P(a) = a 0 = f(a) P (a) = a 1 = f (a) P (a) = 2a 2 = f (a) g) Tendo o polinômio P(x) = a 0 + a 1 (x a) + a 2 (x a) 2 e seguindo o roteiro da questão, podemos escrever P(a) = a 0 = f(a) P (a) = a 1 = f (a) P (a) = 2.a 2 = f (a) a 2 = Daí, podemos escrever P(x) = f(a) + f (a)(x a) + (x a) 2 o que nos dá um polinômio do 2º grau, tangente ao gráfico de f em (a,f(a)) e que guarda a concavidade de f neste ponto, que é f (a). h) Seguindo o raciocínio anterior, sendo P(x) = a 0 + a 1 (x a) + a 2 (x a) 2 e P(a) = a 0 = f(a) P (a) = a 1 = f (a) P (a) = a 2 /2 = f (a) a 2 = 2 f (a) temos P(x) = f(a) + f (a)(x a) + 2 f (a)(x a) 2.Porém, isso não é verdadeiro pois o sistema (13) é falso.

5 i) Pelo que vimos em g) temos P(x) = f(a) + f (a)(x a) + (x a) 2. Portanto, a sentença é j) A opção anterior nos mostra que P(x) = f(a) + f (a)(x a) + (x a) 2 e isto só é possível para a função que é duas vezes continuamente diferenciável. QUESTÃO 4 a) Quando a seqüência de comandos indicada é realizada, nenhum gráfico é feito, conforme figura abaixo. b) A figura abaixo nos mostra que há um erro no terminal do gnuplot porque a não foi definido.

6 c) Quando acionamos o comando plot, o gráfico logo é feito. Para continuarmos fazendo os demais gráficos, devemos fechar os anteriores. Portanto, todos os gráficos são vistos, apenas não simultaneamente. d) Fazendo esta seqüência no gnuplot, ocorre o mesmo que no exemplo anterior: todos os gráficos são vistos, não há pausas e cada gráfico é visto um de cada vez.

7 e). Através do que foi desenvolvido na questão, a parábola seria a trajetória do foguete que leva o módulo e retorna à Terra. Essa parábola, ao tangenciar o plano da órbita da estação espacial simultaneamente a esta, deixa ali o módulo em orbita com a referida estação espacial. QUESTÃO 5 Laboratório. Não seria corrigida. Eu não consegui fazer o video pedido no gnuplot pois não sei que comandos usar. QUESTÃO 6 a) Dado o polinômio P(x) = A + B(x a) + C(x a) 2 + D(x a) 3, pelo que vimos em exemplos anteriores, se P(a) = f(a); P (a) = f (a); P (a) = f (a); P (a) = f (a), então temos que P(x) e f(x) são tangentes em um ponto, possuem coeficientes angulares iguais nesse ponto e mesma concavidade, além de terceira derivada igual. Assim o gráfico de P(x) é o melhor gráfico que se ajusta ao gráfico de f até a terceira dimensão. b) Se P(x) = A + B(x a) + C(x a) 2 + D(x a) 3 então: P(a) = A + B(a a) + C(a a) 2 + D(a a) 3 P(a) = A P (x) = B + 2C(x a) + 3D(x a) 2 P (a) = B + 2C(a a) + 3D(a a) 2 P (a) = B P (a) = 2C + 6D(x a) P (a) = 2C + 6D(a a) P (a) = 2C P (x) = 6D P (a) = 6D Daí, pela questão sabemos que: P(a) = f(a) = A P (a) = f (a) = B P (a) = f (a) = 2C P (a) = f (a) = 6C Isso é errado, pois como já mostramos, P (a) = 6D. c) Pelo que vamos provar no próximo exemplo, esta afirmação é. d) Já vimos que P(a) = f(a) = A P (a) = f (a) = B P (a) = f (a) = 2C P (a) = f (a) = 6D

8 Então temos, dado o polinômio do 3º grau P(x) = A + B(x a) + C(x a) 2 + D(x a) 3 que: A = f(a) B = f (a) 2C = f (a) C = 6D = f (a) D = Então temos a seguinte equação: P(x) = f(a) + f (a)(x a) + (x a) 2 + (x a) 3 que podemos escrever P(x) = f(a) + f (a)(x a) + f (a)(x a) 2 + f (a)(x a) 3 Portanto, a sentença é. QUESTÃO 7 a) Pelo que já estudamos, podemos provar que, para um polinômio de grau 7 temos: f(x) = f(a) + f (a)(x a) + f (a)(x a) 2 + f (a)(x a) 3 + f IV (a)(x a) f V (A)(x a) 5 + f VI (a)(x a) 6 + f VII (a)(x a) 7 Para facilitar, vamos calcular cada uma das derivadas separadamente, lembrando que estamos tomando a função sen(x) para x = 0. f(x) = sen(x) f(a) = f(0) = sen(0) = 0 f (x) = cos (x) f (a) = f (0) = cos (0) = 1 f (x) = sen (x) f (a) = f (0) = sen (0) = 0 f (x) = cos (x) f (a) = f (0) = cos (0) = 1 f IV (x) = sen (x) f IV (a) = f IV (0) = sen (0) = 0 f V (x) = cos (x) f V (a) = f V (0) =cos (0) = 1 f VI (x) = sen(x) f VI (a) = f VI (0) = sen(0) = 0 f VII (x) = cos(x) f VII (a) = f VII (0) = cos (0) = 1 Portanto, para esse caso temos: f(x) = 0 + 1(x 0) + 0(x 0) 2 + ( 1)(x 0) 3 + 0(x 0) 4 + 1(x 0) (x 0) 6 + ( 1)(x 0) 7

9 f(x) = x x 3 + x 5 x 7 Logo, a sentença é. b) Pelo que foi desenvolvido em a), prova se que esta afirmação é. c) Façamos o mesmo para g(x) = cos (x) em x = 0. g(x) = cos (x) g(a) = g(0) = cos (0) = 1 g (x) = sen (x) g (a) = g (0) = sen(0) = 0 g (x) = cos(x) g (a) = g (0) = cos(0) = 1 g (x) = sen(x) g (a) = g (0) = sen(0) = 0 g IV (x) = cos(x) g IV (a) = g IV (0) = cos (0) = 1 g V (x) = sen(x) g V (a) = g V (0) = sen(0) = 0 g VI (x) = cos(x) g VI (a) = g VI (0) = cos (0) = 1 g VII (x) = sen (x) g VII (a) = g VII (0) = sen (0) = 0 g VIII (x) = cos(x) g VIII (a) = g VIII (0) = cos (0) = 1 O polinômio de Taylor para o oitavo grau é: g(x) = f(a) + f (a)(x a) + f (a)(x a) 2 + f (a)(x a) 3 + f IV (a)(x a) f V (a)(x a) 5 + f VI (a)(x a) 6 + f VII (a)(x a) 7 + f VIII (a)(x a) 8 Com os valores já calculados temos: g(x) = 1 + 0(x 0) + ( 1)(x 0) 2 + 0(x 0) 3 + 1(x 0) 4 + 0(x 0) ( 1)(x 0) 6 + 0(x 0) 7 + 1(x 0) 8 g(x) = 1 x 2 + x 4 x 6 + x 8 Como podemos perceber, o resultado que encontramos é o mesmo proposto pelo problema. Assim, sentença. Como a derivada de ordem ímpar de um cosseno é um seno, e este é nulo para x = 0, os coeficientes de ordem ímpar foram zerados. Já no caso da derivada do seno são as

10 derivadas de ordem par que serão senos e serão zeradas, inclusive a função f(a). Daí serem os coeficientes de ordem par nulos na função f(x) = sen(x). d) Pelo que foi desenvolvido no item anterior, concluímos que esta afirmação é. QUESTÃO 8 a)sabemos que, para f(x) = sen(x), temos: f(x) = x x 3 + x 5 x 7 f(0.1) = f(0.1) = Isso com 15 casas decimais. Já fazendo em uma calculadora, f(0.1) = sen (0.1) = = Portanto, a diferença só surge na 15ª casa decimal e o erro seria de b) Para o caso do cosseno temos que g(x) = 1 x 2 + x 4 x 6 + x 8 g(0.1) = g(0.1) = 1, Já fazendo na calculadora, temos g(0.1) = cos (0.1) = 0, O que nos mostra uma diferença já a partir da 3ª casa decimal de aproximadamente QUESTÃO 9 a) Como f(x) = x x 3 + x 5 x 7 f (x) = 1 3 x x 4 7 x 6 f (x) = 1 x 2 + x 4 x 6 g(x) = 1 x 2 + x 4 x 6 + x 8 Como podemos perceber f não é igual a g.

11 b) Observando a resposta da questão anterior, podemos perceber que f (x) só não é completamente igual a g(x) porque está faltando o termo de grau 8. Porém, se tomarmos f(x) com grau 9 teremos f (x) com grau 8 idêntico a g(x), e isso podemos fazer pois a cada vez que derivamos algum termo de f(x) há uma redução no grau de f. c) Se temos g(x) = 1 x 2 + x 4 x 6 + x 8 então vem que g (x) = 2 x + 4 x 3 6 x x 7 g (x) = x + x 3 x 5 + x 7 g (x) = (x x 3 + x 5 x 7 ) g (x) = f(x) d) Sabemos da definição que F(x) = g(x) + i f(x). Então temos aplicando a regra da derivação da soma de funções temos: F (x) = g (x) + i f (x) e) Do que mostramos anteriormente e das respostas dos itens b) e c), podemos escrever F (x) = g (x) + i f (x) F (x) = ( 1) g (x) + i f (x) F (x) = i 2 g (x) + i f (x) F (x) = i ( i g (x) + f (x)) F (x) = i (i f(x) +...) Não podemos afirmar que f (x) = g(x) de acordo com o que provamos em b). f) Colocando a restrição de que usamos f até o grau 9 podemos desenvolver o raciocínio do exemplo anterior F (x) = i ( i g (x) + f (x)) F (x) = i (i f(x) + g(x)) F (x) = i( g(x) + i f(x)) F (x) = i F(x) g) Se F(x) = e ix = cos (x) + i sen (x) então F (x) = i e ix = sen(x) + i cos (x)

12 F (x) = i e ix = ( 1)sen (x) + i cos (x) F (x) = i e ix = i 2 sen (x) + i cos (x) F (x) = i e ix = i(i sen(x) + cos (x)) F (x) = i e ix = i(cos (x) + i sen (x)) F (x) = i F(x) = i F(x) Porém, pelo que vimos na opção f), isso nem sempre é verdadeiro, precisa que uma condição seja satisfeita. h) A condição relatada anteriormente é que o grau dos polinômios envolvidos deve estar de acordo com o que queremos desenvolver. No item f), mostramos que naquela situação deveríamos ter um polinômio de grau 9. Assim, a igualdade desenvolvida anteriormente F (x) = i F(x) é verdadeira quando temos polinômios de grau variável, e isto constitui a fórmula de Euler. QUESTÃO 10 a) Dado um plano que passa por (a,b,c), podemos comparar com a equação da reta e concluir que z c = A(x a) + B(y b) z = c + A(x a) + B(y b) (17) conforme nos sugere a equação (7). Daí, teremos a equação do plano que passa por (a, b, c) com coeficientes angulares parciais A e B. b) Pela equação (17) anterior sabemos que A e B são coeficientes angulares parciais, então = A, já que é o termo que multiplica o diferencial x a = dx, conforme equações (9) e (10). c) Pelo mesmo raciocínio anterior temos que = B, sabendo que y b = dy, pelas equações (9) e (10). d) Pela equação (8) temos que z f(a,b) = (x a) + (y b) Sabendo que = A, = B e c = f(a,b), temos: z c = A(x a) + B(y b)

13 Dessa forma, se z = g(x,y) e = A e = B, temos: z c = (x a) + (y b) z = c + (x a) + (y b) Daí, obtemos um plano tangente ao gráfico de g a partir de um plano tangente ao gráfico de f, o que mostra que eles são equivalentes. Assim, o plano de equação f(x,y) = c + A(x a) + B(y b) é tangente ao gráfico de g no ponto (a, b, c). e) Se sabemos que da equação (17) que z = f(x,y) e agora temos que z = g(x,y), então f(a, b) = g(a, b) para qualquer a e b.pela equação (8) sabemos que f(a,b) = c, donde concluímos que g(a,b) = c.daí, podemos reescrever (17) como f(x,y) = g(a,b) + A(x a) + B(y b) que será tangente ao gráfico de g em (a,b,g(a,b)). f) Se as derivadas parciais de f e g são iguais, isto nos garante que os coeficientes angulares do plano tangente a f são iguais aos coeficientes angulares do plano tangente a g. Com isso, já que z = f(x,y) = g(x,y), então c pertence aos dois planos. Logo, (a,b,c) pertence aos dois planos que, tendo coeficientes angulares iguais, são paralelos. g) Se z = g(x,y), então g(x,y) z = 0. Daí temos como derivadas parciais, e. Pelo enunciado da questão sabemos que = A e que = B, e podemos calcular que = 1, chegando ao vetor (A,B, 1). No entanto, sabemos do Cálculo que o vetor formado por (,, ) é o vetor gradiente (grad g(x)), o qual é perpendicular à superfície de g no ponto dado. Assim sendo, o vetor (A,B, 1) é o gradiente de g no ponto (a, b, g(a, b)), sendo perpendicular à superfície de g no referido ponto. h) Como vimos nas questões anteriores, o que provamos para a equação da reta tangente ao gráfico de uma função pôde ser estendido para a equação de um plano tangente.

14 Desta forma, sabendo que se uma função é derivável em um ponto x = a significa que existe uma reta tangente ao gráfico de f nas vizinhanças de (a, f(a)), podemos imaginar a generalização do caso para uma função multivariada. Assim, se uma função multivariada H for derivável em um ponto (a,b), ela terá nas vizinhanças de (a,b,h(a,b)) um plano tangente ao gráfico. QUESTÃO 11 a) Pelo que abordamos na questão anterior, a equação de um plano tangente a uma função z = F(x,y) é dada por z F(a,b) = (x a) + (y b) Sabendo que (a,b) = (1,2), F(a,b) = F(1,2) = 5, = 2 e = 3, podemos reescrever a equação do plano como z ( 5) = 2(x a) + 3(y b) z + 5 = 2(x 1) + 3(y 2) Dessa forma, comparando com a equação dada na questão, a alternativa é. b) Todo o raciocínio usado no item anterior nos leva a concluir que a sentença é. Para isto, basta olhar a equação anteriormente obtida z + 5 = 2(x 1) + 3(y 2) c) Com a equação do plano tangente podemos escrever z = G(x,y). Assim, para o ponto (1,2,F(1,2)), aproveitando a resolução feita em a), temos: z + 5 = 2(x 1) + 3(y 2) z = G(x,y) = 5 + 2(x 1) + 3(y 2) d) Como G é a equação do plano tangente à função no ponto (1, 2, F(1, 2)), a função será diferenciável nas vizinhanças do referido ponto. Dessa forma, G(1.1,2.1) nos dará um plano tangente nas vizinhanças de (1,2,F(1,2)) e, por isso, também vizinho de (1.1,2.1). Assim sendo, G(1.1,2.1) será um valor aproximado de F(1.1,2.1).

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