MAT 1351 : Cálculo para Funções de Uma Variável Real I. Sylvain Bonnot (IME-USP)

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1 MAT 1351 : Cálculo para Funções de Uma Variável Real I Sylvain Bonnot (IME-USP)

2 Aplicação das derivadas: Equações diferenciais Teorema As soluções da equação y = 0 num intervalo (a, b) são exatamente as funções constantes. Teorema As soluções da equação y = k.y num intervalo (a, b) são exatamente as funções y(t) = C.e kt, onde C é uma constante. Aplicação: decaimento radioativo: dn(t) dt = λ.n(t) = N(t) = N(0).e λt Meia-vida: tempo τ tal que N(τ) = N 0 2 é tal que τ = ln 2 λ. 2

3 Aplicação: Lei de resfriamento de Newton Lei de Newton do resfriamento: dt dt = k(t T s), onde k > 0, e T s é a temperatura da sala. No CSI Las Vegas, a temperatura do corpo depois de um assassinato era 32,5 graus C às 13h30 e 30,3 C uma hora depois. A temperatura nor- mal do corpo é 37,0 C, e a temperatura do ambiente era 20 C. Quando o assassinato aconteceu? Resposta: 3

4 Derivação implicita Ideia: seja uma curva escrita de maneira implicita (i.e da forma f (x, y) = 0 e não da forma y = g(x)). Se localmente podemos escrever a curva como um gráfico y = g(x), queremos calcular a derivada dy dx sem achar a expressão de g(x). Seja a curva x 2 + y 2 = 25 mostre que dy dx = x y. 1. Derivadas de ambos lados: 2. Se y(x) = 0: temos 2x + 2y(x).y (x) = 0 dy dx = x y. Aplicação: determine a equação da reta tangente em qualquer ponto deste círculo. 4

5 Derivadas implicitas Encontre dy/dx por derivação implicita. 5

6 Derivadas implicitas Mostre fazendo a derivação implicita que a tangente à elipse x 2 a 2 + y2 b 2 = 1 no ponto (x 0, y 0 ) é x 0 x a 2 + y 0y b 2 = 1 Mostre que qualquer reta tangente em um ponto P a um círculo com centro OP é perpendicular ao raio OP. Encontre todos os pontos sobre a curva x 2 y 2 + xy = 2 onde a inclinação da reta tangente é 1. 6

7 Trajetórias ortogonais Definição Duas curvas são ortogonais se suas retas tangentes forem perpendiculares em cada ponto de intersecção. Mostre que as famílias da- das de curvas são trajetórias ortogonais uma em relação a outra, ou seja, toda curva de uma família é ortogonal a toda curva da outra família. Esboce ambas as famílias de curvas no mesmo sistema de coordenadas. y = ax 3 e x 2 + 3y 2 = b. 7

8 Um pouco de termodinâmica A equação de van der Walls para n mols de um gás: ( ) P + n2 a V 2 (V nb) = nrt Se R, T, a, b são constantes, calcule dv/dp. Lembra: O mol é a quantidade de matéria de um sistema que contém tantas entidades elementares quanto são os átomos contidos em 0,012 Kg de carbono 12. 8

9 Derivadas implicitas superiores Encontre y por derivação implícita. 1. x + y = x 4 + y 4 = a 4 Se xy + e y = e encontre o valor de y no ponto onde x = 0. 9

10 Propriedades das funções: Máximo, mínimo local Definição 1. Uma função f tem um máximo local em c se f (c) f (x) para todo x em algum intervalo aberto contendo c. 2. Uma função f tem um mínimo local em c se f (c) f (x) para todo x em algum intervalo aberto contendo c. Como reconhecer um máximo ou mínimo local para f derivavel: Teorema Se f tiver um máximo ou mínimo local em c e f (c) existir, então f (c) = 0. Demonstração: Definição Um número crítico de uma função f é um número c no domínio de f tal que f (c) = 0 ou f (c) não existe. 10

11 11 Existência do min e max para f contínua em [a, b] Teorema do valor extremo: Teorema Se f for contínua em um intervalo fechado [a, b], então f assume um valor máximo absoluto f (c) e um valor mínimo absoluto f (d) em certos números c e d em [a, b].

12 12 Teorema de Rolle Teorema Seja f uma função que satisfaça as seguintes hipóteses: 1. f é contínua no intervalo fechado [a, b] 2. f é derivável no intervalo aberto (a, b) 3. f (a) = f (b) Então existe um número c em (a, b) tal que f (c) = 0.

13 13 Estudo da variação das funções Objetivo: dada f : R R, queremos cortar R em intervalos (a, b) onde f é crescente ou decrescente. Teorema (Teorema do valor médio) Se f for contínua em [a, b] e derivável em (a, b), então existirá pelo menos um c (a, b) tal que f (b) f (a) b a = f (c), ou f (b) f (a) = f (c).(b a)

14 Intervalos de crescimento e de decrescimento Teorema Seja f contínua no intervalo I 1. Se f (x) > 0 para todo x interior a I, então f será estritamente crescente em I, 2. Se f (x) < 0 para todo x interior a I, então f será estritamente decrescente em I. Demonstração: Vamos mostrar o primeiro caso: sejam s < t. Então existe c (s, t) tal que f (t) f (s) = f (c).(t s) > 0. Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento e esboce o gráfico: 1. f (x) = x 3 3x f (x) = x + 1 x 3. x = t 1+t 2 4. f (x) = (ln x)/x 14