Análise Complexa e Equações Diferenciais 2 o Semestre 2013/14 Cursos: LEAN, MeMec

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1 Análise Complexa e Equações Diferenciais 2 o Semestre 2013/14 Cursos: LEAN, MeMec M Paluch Aulas de Abril de 2014

2 Exemplo de uma equação diferencial A Lei de Newton para a propagação de calor, onde a temperatura ambiente varia periódicamente com tempo. dx dt + x = 2 cos t. (1) Aqui x é a variável dependente e t é a variável dependente.

3 Solução Para resolver esta equação temos de encontrar uma função x(t) tal que Temos uma solução Pois dx dt dx dt dx dt satisfaz (1). x = x(t) = cos t + sin t. = sin t + cos t, e portanto + x = ( sin t + cos t) + (cos t + sin t) = 2 cos t

4 Solução Mas x = cos t + sin t + e t também é uma solução. De facto dx dt = sin t + cos t e t, e portanto dx dt + x = ( sin t + cos t e t ) + (cos t + sin t + e t ) = 2 cos t

5 Solução geral Vamos ver que a qualquer solução de (1) pode ser escrita na forma x = cos t + sin t + Ce t, C uma constante qualquer. Para C = 2, 0 e 2 temos x t

6 Equações diferenciais na prática Problema do Mundo Real abstair interpretar Modelo Matemático Solução Matemática resolução

7 Equações Diferenciais Ordinárias (EDO) Uma equação diferencial ordinária é uma equação que śo tem uma variável independente e só derivadas em relação a esta variável.

8 Exemplo Considere um problema em que a taxa de crescimento é proporcional à população. O modelo matemático é dx dt = cx. (2) Se a população é zero então não há crescimento. Se a população é postiva, então podemos escrever (2) na forma 1 dx x dt = c d dx log(x) = c log(x) = ct + a x = Ke ct x(0) = K população inicial.

9 Equações Separáreis Uma equação diferencial ordinária (EDO) que pode ser escrita de forma f (x) dx dt = g(t) chama-se separável, em que f e g são contínuas.

10 Equações Separáreis Vamos supor que f : ]a, b[ R g : ]α, β[ R são contínuas. Seja F (x) uma primitiva de f definida no intervalo aberto ]a, b[ e seja G uma primitiva de g definida no intervalo aberto ]α, β[.

11 Equações Separáreis Por exemplo, para a < x 0 < b e α < t 0 < β, podemos construir F (x) := G(t) := ˆ x x ˆ 0 t t 0 f (s) ds g(s) ds. Note que em cada caso s é a variável de integração, e F (x 0 ) = 0 G(t 0 ) = 0.

12 Equações Separáreis Considere o rectangulo R = {(t, x) : α < t < β e a < x < b}. Define-se Φ: R R Φ(t, x) = G(t) F (x). Seja (t 0, x 0 ) R, e considere o subconjunto N = {(t, x) R : Φ(t, x) = Φ(t 0, x 0 )}.

13 Equações Separáreis Para (t, x) N Φ(t, x) = ( Φ t ) Φ (t, x), (t, x) x = ( g(t), f (x) ) (0, 0), então N é uma curva e Φ(t, x) é ortogonal do tangente de N no ponto (t, x). Além disso, quando f (x 0 ) 0, o teorema de função implicita diz que existe δ > 0 tal que x é uma função de t para t 0 δ < t < t 0 + δ.

14 Equações Separáreis Portanto qualquer um das equações Φ(t, x) = Φ(t 0, x 0 ) G(t) F (x) = G(t 0 ) F (x 0 ) G(t) G(t 0 ) = F (x) F (x 0 ) determine uma solução implicita da equação separável f (x) dx dt = g(t).

15 Exemplo x dx x 2 1 dt = 1 t 1 Temos uma soluções dada implicitamente por 1 = x 2 + k(t 1) 2, k constante.

16 Equações Exactas Diz-se que uma equação de forma M(t, x) + N(t, x) dx dt = 0, onde M e N são funções contínua numa região Ω R 2, é exacta quando a integral da linha ˆ M(t, x) dt + N(t, x) dx depende só nos extremos de γ. γ

17 Equações Exactas Para uma equação exacta numa região Ω e um ponto (t 0, x 0 ) Ω a função ˆ M(t, x) + N(t, x) dx dt = 0 (3) γ (t,x) M(u, v) du + N(u, v) dv = 0, onde γ (t,x) é um caminho em Ω de (t 0, x 0 ) em (t, x), é uma solução implicita de (3).

18 Exemplo ˆ (x,y) (0,0) y cos(x) + 2xe y + (sen(x) + x 2 e y + 2) dy dx = 0 x (sen(x) + x 2 e y + 2) y (y cos(x) + 2xey ) = 0 (v cos(u) + 2ue v ) du + (sen(u) + u 2 e v + 2) dv = φ(x, y) x 2 + y sen(x) + x 2 (e y 1) + 2y = φ(x, y).

19 Exemplo

20 Redutível a exacta Se M(x, y) + N(x, y) dx dy = 0 não é uma equação, podemos tentar e transformá-la numa equação exacta, multiplicando-a por uma função apropriada µ(x, y).

21 Redutível a exacta e exacta se µ(x, y)m(x, y) + µ(x, y)n(x, y) dx dy = 0 ( ) µ N x y µ x N µ y M + µ ( ) µ M = 0 ) = 0 ( N x M y

22 Exemplo A equação x 2 + y 2 x y dy dx = 0 não é exacta. Mas tem um factor integrante µ(x, y) = Temos x ( ) y x 2 + y 2 y ( x 2 + y 2 ) x x 2 + y 2 Uma solução é dada implicitamente por 1 x 2 + y 2. = 2xy (x 2 + y 2 ) 2 + 2xy (x 2 + y 2 ) 2 = 0. C = x 1 2 log(x 2 + y 2 ).

23 Exemplo A solução do problema de valor inicial é x 2 + y 2 x y dy dx = 0 y 0 = y(x 0 ) 0 x log(x y 2 0 ) = x 1 2 log(x 2 + y 2 ) log(x0 2 + y0 2 ) = x 1 2 log(x 2 + y 2 ) y = y 0 (x0 2 y 0 + y 0 2)e2(x x0) x 2.

24 Fim