Análise Complexa e Equações Diferenciais

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Maria do Carmo Rocha
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1 Análise Complexa e Equações Diferenciais Exame - 9 de Janeiro de 8 MEC Resolução. A imagem da região { z C : Rz < e 3 8 < Iz < 8} por z e z é { z C : < z < e 3 } 4 < argz <. 4. A função é descontínua no eixo real negativo. As derivadas parciais de f são r = 3 r /3 e iθ, θ = iθ iθ 3 re. Como estas funções são contínuas em S := C\{z C : Iz = e Rz }, f é R-diferenciável em S. A equação de Cauchy-Riemann é satisfeita se r = i r θ 3 r /3 e iθ θ = r /3 e iθ θ = 3. f é diferenciável em { z C\{} : argz = 3}. A derivada de f é 3. i f ( ) re i 3 = e i 3 r ( i) re 3 = e i 3 zcoszdz = zsinz i i = e e + e +e = ( sinh()+cosh ). 3 r /3 e i 8 = 3 r /3 e 5i 8. sinzdz = isin(i)+ cosz i z (z + ) = 4. Seja f : C \ { i,i} C, definida por f(z) = Tem-se, f(z) = g(z) (z i), com g(z) = z (z +i). z (z+i) (z i).

2 Resolução do exame de ACED A função g é holomorfa em C \ { i}. Seja R > e γ = {z C : Iz = z R} {z C : Iz > z = R}. Pela Fórmula Integral de Cauchy, [ ] g(z) 4iz(z +i) f(z)dz = (z i) dz = ig (i) = i (z +i) 4 γ γ = i 5 i 3 8 = 4. R 4 = f(x)dx+ f(z)dz. ( ) R z =R Iz> O cálculo seguinte mostra que o integral ao longo da semi-circunferência tende para zero quando R + : f(z)dz R (R ) dz z =R Iz> = z =R Iz> R 3 quando R +. (R ) Tomando o limite em ambos os membros de ( ) quando R +, conclui-se que + x dx =. (x + ) 4 5. Usando a fórmula integral de Cauchy para f n (), f n () = n! f(z) dz. i zn+ Daqui tira-se que f n () n! z =R z =R z n! dz = dz = n! z n+ R n z =R R n. Se n, o majorante de f n () tende para zero quando n. f n () = para n. Usando a fórmula de Taylor para f em torno de, que neste caso é válida em C porque f é inteira, f(z) = f()+f ()z. Como f() =, f(z) = cz para algum c com módulo não superior a. 6. a) Sobre as rectas de declive m que passam na origem, y = mx, os gráficos das soluções têm declive y = m. Assim, (m = y = ), (m = y = ), (m = y = ), (m = 3 y = ), (m = y = 3), por exemplo. O campo de direcções e os gráficos das soluções estão esboçados nas figuras seguintes. z=i

3 Resolução do exame de ACED b) A equação é linear, com forma canónica y + y x =. O factor integrante é x. Multiplicando ambos os membros da equação diferencial pelo factor integrante, obtém-se xy +y = x. O primeiro membro é a derivada do produto do factor integrante por y, (xy) = x. Integrando ambos os membros de a x e usando a condição inicial, obtém-se y = x x. 7. Multiplicando ambos os membros da equação diferencial por µ(x), vem µ(x)(e 6y +e 6y )+µ(x)( e 6y +e 6y )y =. Para que esta equação seja exacta, deve ter-se µ(x)( 6e 6y +6e 6y ) = µ (x)( e 6y +e 6y ) ou, equivalentemente, µ (x) = 3µ(x). Daqui deduz-se que o factor integrante é µ(x) = e 3x. a equação dada é equivalente à seguinte equação exacta: (e 3x 6y +e 3x+6y )+( e 3x 6y +e 3x+6y )y =. Esta equação tem como solução geral e 3x 6y +e 3x+6y = c.

4 Resolução do exame de ACED A solução que satisfaz y() = corresponde a c = e 6 +e Considere-se o prolongamento par de f ao intervalo [,] e periódico, de período. Os coeficientes de Fourier de f são, para n >, Por outro lado, a n = = f(x)cos(nx)dx = n xsin(nx) + n cos(nx) { 4 se n é ímpar, = n se n é par. Portanto, para x [,], 9. a = f(x) = x = 4 xdx =. xcos(nx)dx = n [( )n ] ( cos(x)+ cos(3x) ) a) Prolongamos a função u a [,] [, [ como função ímpar de x porque as condições fronteira são de Dirichlet homogéneas. Para cada t fixo, a função u pode ser desenvolvida em série de Fourier. Os coeficientes dependerão de t. Como a função é ímpar de x, b n (t)sin(nx). n= As condições fronteira estão formalmente satisfeitas. Substituindo na equação diferencial u t = +t u xx b n(t)sin(nx) = +t b n(t)n sin(nx). n= n= Por unicidade dos coeficientes de Fourier, para todo o n, b n n (t) = +t b n(t). b n (t) = e n +t dt = (+t) n

5 Resolução do exame de ACED e n= Falta garantir a condição inicial u(x,) = (+t) n sin(nx). sin(nx) = sin(x)+5sin(3x). n= Conclui-se que c =, c 3 = 5 e os restantes s são nulos. A solução é b) Neste caso a solução é solução é sin(x) +t + 5sin(3x) (+t) 9. n= (+t) n sin(nx). [ u (x,t)dx = (+t) n n= = (+t) n n= c (+t) n = n= (+t) α. ] sin (nx)dx

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