GABARITO. 1 a PROVA - DISCIPLINA MTM 5186: CÁLCULO IV Professor: Matheus C. Bortolan

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1 GABARITO 1 a PROVA - DISCIPLINA MTM 5186: CÁLCULO IV Professor: Matheus C. Bortolan (Valor 3.) Questão 1: Responda às seguintes questões, usando as equações de Cauchy-Riemann. (1.5) (a) Mostre que a função f (x + i y) = x + i x 2 +y 2 de. y x 2 +y 2 não é analítica em nenhum ponto (1.5) (b) Mostre que a função f (x + i y) = x 2 + y 2 + 2ix y é diferenciável em todos os pontos do eixo real, mas não é analítica em nenhum ponto de. (a) Claramente esta função não está definida para (x, y) = (, ). Assim, podemos supor que x 2 + y 2. Temos neste caso u(x, y) = x e v(x, y) = y. Assim, calculando x 2 +y 2 x 2 +y 2 as derivadas de u com respeito a x, y e de v com respeito a x, y, obtemos u x (x, y) = y 2 x 2 (x 2 + y 2 ) 2 e u y (x, y) = 2x y (x 2 + y 2 ) 2. e também v x (x, y) = 2x y e v (x 2 + y 2 ) 2 y (x, y) = x 2 y 2 (x 2 + y 2 ) 2 Como x 2 + y 2, para que u x = v y é necessário que y 2 x 2 = x 2 y 2, o que implica que x 2 = y 2. (1) Para que u y = v x, é necessário que 2x y = 2x y, o que implica que x y =. (2) A equação (2) mostra que devemos ter x = ou y =. Isto, juntamente com a equação (1) nos dá que x = y =. Como estamos assumindo x 2 + y 2, vemos que as equações u x = v y e u y = v x nunca são satisfeitas, e portanto u e v não satisfazem as equações de Cauchy-Riemann, o que mostra que f não é diferenciável em nenhum ponto de e portanto f não é analítica em nenhum ponto de.

2 (b) Neste caso, temos u(x, y) = x 2 + y 2 e v(x, y) = 2x y. Assim, as equações de Cauchy- Riemann para u e v são 2x = u x = v y = 2x 2 y = u y = v x = 2 y, que estão satisfeitas para qualquer x, desde que y =. Portanto, f é diferenciável somente nos pontos da forma x + i = x, ou seja, em todo o eixo real. Como a analiticidade de f em um ponto z depende da diferenciabilidade de f numa vizinhança dele, vemos que f não pode ser analítica em nenhum ponto de. (Valor 2.) Questão 2: Considere a função exponencial complexa f (z) = e z, e lembremos que para z = x + i y, ela é dada por e z = e x cos y + ie x sin y, e está definida para todo z. (1.) (a) Mostre que a função exponencial é inteira; isto é, ela é analítica em todos os pontos de. (1.) (b) Mostre que d dz ez = e z, para todo z. (a) Para a função exponencial temos u(x, y) = e x cos y e v(x, y) = e x sin y, que têm derivadas de primeira ordem contínuas. Calculando estas derivadas temos u x = e x cos y, u y = e x cos x, v x = e x sin y e v y = e x cos y, e vemos facilmente que u x = v y e u y = v x, o que mostram que as equações de Cauchy- Riemann estão satisfeitas para todos x e y, e portanto f (z) = e z é diferenciável em todo o plano complexo, e consequentemente, f é analítica em todo plano complexo. (b) Sabemos que se f = u + iv é diferenciável então e aplicando ao nosso caso, encontramos d d f dz = u x + iv x, dz ez = e x cos y + ie x sin y = e z.

3 (Valor 2.) Questão 3: Sejam r o eixo imaginário e C o círculo z = 1. (1.) (a) Defina z 1 = i, z 2 =, z 3 = i, w 1 = i, w 2 = 1 e w 3 = i. Construa uma transformação de Möbius T que leva r em C, e tal que T(z i ) = w i, para i = 1, 2, 3. (1.) (b) Qual é a imagem do semiplano Re(z) < pela transformação T? Justifique. (a) Vamos construir as razões cruzadas (z, z 1, z 2, z 3 ) e (w, w 1, w 2, w 3 ). Temos e também (z, z 1, z 2, z 3 ) = z + i z i i = z + i i z i, (w, w 1, w 2, w 3 ) = w + i w i 1 i 1 + i = w + i w i i Assim, fazendo (z, z 1, z 2, z 3 ) = (w, w 1, w 2, w 3 ), obtemos ou equivalentemente z + i z i = i w + i w i, (z + i)(w i) = (iz + 1)(w + i), isto é, w(z + i) iz + 1 = w(iz + 1) z + i, e logo w(z iz + i 1) = z + iz + i 1 Simplificando esta expressão e isolando w, obtemos w = z(i 1) + i 1 z(1 i) + i 1, e portanto a transformação de Möbius que buscamos é T(z) = z(i 1) + i 1 z(1 i) + i 1. Facilmente verificamos que T( i) = i, T() = 1 e T(i) = i. (b) Método 1: A orientação escolhida para o eixo imaginário faz com que o semiplano Re(z) < seja o lado esquerdo de r. Como a orientação dada por T no círculo faz com que o lado de dentro seja o lado esquerdo de C, sabemos do Princípio da Orientação que

4 4 T leva Re(z) < na parte de dentro do círculo C. Método 2: Escolhemos o ponto de teste z = 1. Como T( 1) =, que está dentro do círculo C, sabemos que o semiplano Re(z) < é levado no interior de C. (Valor 1.) Questão 4: Calcule z z 2 dz, onde é o círculo z 2 = 2, orientado positivamente. A função f (z) = z não é analítica, e portanto não podemos utilizar a Fórmula Integral de Cauchy. Desta maneira, devemos parametrizar a curva. Uma parametrização possível de é dada por (t) = 2 + 2e it, para t [, 2π]. Assim, para g(z) = z, sabemos que z 2 2π 2π 2 + 2e it g(z)dz = g((t)) (t)d t = 2ie it d t = i 2π = 4πi. 2e it (2 + 2e it )d t = 4πi + 2 e it 2π (Valor 2.) Questão 5: Calcule onde e 2iz z z4 dz, 4 (z i) 3 (1.) (a) é o círculo z = 6, orientado positivamente. (1.) (b) é o círculo z 3 = 1, orientado negativamente.

5 (a) Defina a função f (z) = e2iz z4, que está bem definida e á analítica em todo o z (z i) 3 plano complexo, exceto nos pontos z = e z 1 = i. Segue do Princípio da Deformação de Curvas que f (z)dz = 1 f (z)dz + 2 f (z)dz, onde 1 é o círculo z = 1 e 2 2 é o círculo z i = 1, ambos orientados positivamente. 2 Analisemos cada uma das integrais separadamente. Temos Como a função z 4 (z i) 3 1 f (z)dz = 1 e2iz z 4 dz 1 z4 (z i) 3 dz. é analítica sobre a curva 1 e em seu interior, o Teorema de Cauchy-Goursat nos garante que z 4 dz =. Para o restante desta integral, definindo 1 (z i) 3 g(z) = e 2iz, temos que g é analítica sobre 1 e em seu interior, assim a Fórmula Integral de Cauchy nos dá que Logo 1 e 2iz z 4 dz = 1 g(z) 2πi dz = z 4 3! g(3) () = πi 3 ( 8ig(z)) = 8π z= 3. 1 f (z)dz = 8π 3. Para a integral sobre 2 prosseguimos da mesma maneira. Temos f (z)dz = e2iz z dz z4 4 (z i) dz, e, neste caso, como a função e2iz é analítica sobre z 4 2 e em seu interior, o Teorema de Cauchy-Goursat nos dá e 2iz dz =. Agora, definindo h(z) = z4, a Fórmula Integral de 2 2 z Cauchy para derivadas nos dá z4 2πi dz = 3 (z i) 2! h (i) = πi 12i 2 = 12πi, e portanto 2 2 f (z)dz = 12πi. Desta maneira, somando as duas integrais, obtemos f (z)dz = 8π πi. 5

6 6 (b) Como f é analítica em e em seu interior, segue diretamente do Teorema de Cauchy- Goursat que f (z)dz =.