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Transcrição

1 / G 6 a Aula AMIV! # & ' # # # * # + 6. Equações de Cauchy Riemann em coordenadas polares. Analiicidade e derivada do logarimo Com objecivo de deduzir a analiicidade do logarimo complexo, vamos exprimir as equações de Cauchy Riemann em coordenadas polares. ada uma função complexa de variável complexa, podemos descreve-la em ermos de coordenadas polares da mesma forma que o fazemos em coordenadas caresianas: Ou seja f x + iy = u x, y + iv x, y, f e, - = U, θ + iv, θ. U, θ = u cos θ, sen θ e V, θ = v cos θ, sen θ Pela regra de derivação, da função composa emos x = x + x = y y + y v x = x + x v = y y + y. Temos ambém as seguines relações para a função mudança de coordenadas, θ. : x = cos θ x = sen θ y = sen θ y = cos θ Noe-se que esas equações são válidas apenas fora da linha de desconinuidade por exemplo > 0 e θ ] π, π[, para o ramo principal : ; 3<579 = >?:AC 0`a : ; 359 = >?: b 0FË 3 G :HI579 = >?: K 3 G 9 = >?:?L56 8 9!: K 3 dc b G 6 8 9!:HI579 = >?: E?3 b b G 9 = >?:?Le : b NM O P Q R S O TUVQIO W Q M UVO WYX O M O P Q R S O TUQIO W Q M UO WYX b O G G b 0 G dc G b b 3Z6 8 9 : 3[H]\ ^ _ 3Z9 = >?: 3`f g \ G

2 6 AULA AMIV #! & 2 As equações de Cauchy-Riemann escrevem-se enão. 2. x = v y y = v x sen θ cos θ cos θ sen θ + = = cos θ sen θ + cos θ + sen θ Muliplicando a primeira por cos θ e somando a segunda muliplicada por sen θ, i. e. cos θ + 2 sen θ, obemos usando sen' θ + cos' θ = =. a mesma forma, muliplicando a primeira por cos θ e somando a segunda muliplicada por sen θ, i. e. sen θ 2 cos θ, obemos = Facilmene verificamos que esas duas equações são equivalenes às equações de Cauchy Riemann em coordenadas caresianas fora da linha de desconinuidade. Obivemos assim as equações de Cauchy Riemann em coordenadas polares: Por ouro lado, se f z é diferenciável, emos = = f z + h f z f z = lim *+, h pelo que, fazendo o limie direccional segundo a direcção do próprio pono z i. e. se z = e, -, faz-se h = e, -, com real a ender para zero, obemos f e, - + e, - f e, - f z = f e, - = lim. *+ e, - f + e, - f e, - = lim. *+ e/, - U +, θ + iv +, θ U, θ iv, θ = e/, - lim. *+ U +, θ U, θ V +, θ iv, θ = e/, - lim. *+ + i lim. *+ = e/, - + i.

3 6 AULA AMIV #! & 3 Uilizando as equações de Cauchy Riemann obemos ainda as seguines fórmulas para a derivada: f e, - = e/, - + i, f e, - = e/, - i f e, - = e/, - i, f e, - = e/, - + i Exemplo 6. Apliquemos as equações de Cauchy Riemann em coordenadas polares à função logarimo. Temos U = log e V = θ. Enão = = = 0 = Concluímos equações de Cauchy - Riemann e coninuidade das derivadas parciais que fora da linha de desconinuidade a qualquer ramo da função logarimo é analíica por exemplo o ramo principal do logarimo é uma função analíica no domínio definido por > 0 e θ ] π, π[. A derivada pode ser obida por log z = e/, - = e/, - = = z e, - + i 6.2 Exponenciação complexa. efinição 6. ados w C e z C \ {0} define-se z = e Se inerprearmos log z como um conjuno de valores, enão ambém z de valores que diferem enre si pela muliplicação de um facor da forma será um conjuno e, com k Z.

4 `, & 6 AULA AMIV #! & 4 Exemplo 6.2 O símbolo + i, designa os valores: + i, = e, = e,, = e, e/ = e/ Facilmene se verifica que, com esa noação, z/ cos log 2 + i sen log 2 = e/ = z e z = e = z. Se inerprearmos log z como um deerminado ramo do logarimo, enão z será ambém uma função que em geral é desconínua sobre deerminada linha de desconinuidade. Noe-se, que se fixarmos o ramo do logarimo, emos z z = e e = e = z Fixando um ramo da função, podemos calcular a sua derivada fora da linha de desconinuidade: d dz z = d dz e = e = z w z = wz /. w d dz log z. 6.3 Funções rigonoméricas inversas Usando a logarimo complexo é possível esender as funções rigonoméricas inversas aos números complexos, obendo-se fórmulas surpreendenes que permiem a dedução das fórmulas de derivação conhecidas da análise real.! # & ' *,+ ' -. /0 * /0 * : 9 8<; >=? & & = # 5 A 5# 8 C A 8 ; E F 9 6 G A 5HE IE A E 6 F 5 8 6K; E 5L< 6K# 8 C A 8 6 ; 7! 9 5M:< 9! # 9 6;! N O<P= Q G # 5SR THU V W & =<XY * W + = -. /0 XY *,+ -. /0 *,& Z [ \ : & ] & ] P # 5 H# 8 C A 8 H; F 9 6 G 8 ^ 5M_ 9 F & ] & ] P` *,& ] a ] P b ;! # 4 ; : 8<; H; c<8 7 d e 6E 7 ; 8 6E:< 9 5 A F 7 : F 7 # d ^ H; # 8 C A 8 6 VE6 & *f g * g h * h G 5 6 i f j P i f j P *lk f m n m okk fem n m o *>k f n o *lk f o* i f j * i f j P a P Z

5 6 AULA AMIV #! & 5 Exemplo 6.3 Consideremos o caso arcsen z. Tomando w = arcsen z o pono de parida será sen w = z. Uilizando a definição da função de variável complexa sen w, emos onde e muliplicando por e', obemos e' e*' 2i = z. e' 2iz e ' = 0 e' + 2ize' = 0, que é uma equação do segundo grau em e'. Concluímos inerpreando. e log como um conjuno de valores ou como um ramo predeerminado desas funções e' = iz + iz+ + = iz + z+ e Porano, devemos omar iw = log iz + z+. arcsen z = i log iz + z+. Podemos ver arcsen z como um conjuno de valores ou como uma função fixando o ramo das funções. e log. Fixando um ramo da função, podemos calcular a sua derivada fora das linhas de desconinuidade: d dz arcsen z = d dz i log iz + z+ = i iz + d iz + z+ z+ dz = i iz + i + 2z z+ 2 z+ = i iz + i z+ z z+ z+ z+ + iz = iz + z+ z+ = z+

6 6 AULA AMIV #! & 6 Exemplo 6.4 Consideremos o caso arcg z. Tomando o pono de parida será w = arcg z, g w = z. Enão sen w cos w = z e uilizando a definição desas funções de variável complexa, e' e*' /2i e' + e*' /2 = z. Resolvendo em ordem a e', emos sucessivamene e' e ' = iz e' + e*', donde e' iz = + iz e*', e' + = + iz iz = + iz + + z+ i2w = log + iz iz. Porano, devemos omar arcg z = + iz log 2i iz. Podemos ver arcg z como um conjuno de valores ou como uma função fixando o ramo da função log. Fixando um ramo da função, podemos calcular a sua derivada fora das linhas de desconinuidade: d dz arcg z = d + iz log dz 2i iz = iz d + iz 2i + iz dz iz = iz i iz + i + iz 2i + iz iz+ = 2i 2i + iz iz =. + z+,!