Quinta aula. Ifusp, agosto de Equação de Langevin Movimento browniano
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- Cacilda Affonso Cortês
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1 Dinâmica Esocásica Quina aula Ifusp, agoso de 16 Equação de Langevin Movimeno browniano Bibliografia: Dinâmica esocásica e irreversibilidade, T. Tomé e M. J. de Oliveira, Edusp, 14 Capíulo 3 Tânia Tomé - Din Esoc
2 Moivação: Movimeno Browniano Einsein (195), Smoluchowsky (196), Langevin (198), Perrin (198). Movimeno de uma parícula imersa em um fluido O movimeno é manido por fluuações nas colisões da parícula com as moléculas do fluido na vizinhança. The modern heory of he Brownian moion of a free paricle... generally sars wih Langevin s equaion, S. Chandrasekhar, in N. Wax (Ed), Seleced Papers on Noise and Sochasic Processes, p. (1954). Algumas referências sobre a hisória do desenvolvimeno do esudo do movimeno browniano Paul Langevin, Compes Rendues, Acad. Sci. (Paris), 146, 53 (198) A. Pais, Suil é o Senhor, Tânia Tomé - Din Esoc - 16
3 m dv d v F( Equação de Langevin (1) Equação de movimeno da parícula (movimeno em uma dimensão) m massa da parícula v velocidade da parícula cons. v força viscosa (força de ario) proporcional à velocidade da parícula F( força aleaória ou fluuane caracerísica do movimeno browniano Tânia Tomé - Din Esoc
4 C. R. Acad. Sci. (Paris), 146, (198). Tânia Tomé - Din Esoc
5 Paul Langevin, C. R. Acad. Sci. (Paris,), 146, (198). Tânia Tomé - Din Esoc
6 Tânia Tomé - Din Esoc
7 Tânia Tomé - Din Esoc
8 dv d 1 v F(, m m () F( (3a) B F( F( ( m (*) (3b) (*) Suposição: a força aleaória varia muio rapidamene comparada às variações na velocidade: em insanes de empo diferenes esaisicamene independenes. F( e F( não esão correlacionadas e são Tânia Tomé - Din Esoc
9 dv d v ( (4) m ( F( m ( = variável aleaória que depende do empo uma variável esocásica (4a) (4b) (5) ( ( ( (6) B m (6a) ( e ( são variáveis esocásicas independenes Tânia Tomé - Din Esoc
10 Análises As análises que se seguem são para a equação de Langevin dada em (4) e complemenada pelas condições (5) e (6), iso é, dv d v ( (4) ( (5) ( ( ( (6) Tânia Tomé - Din Esoc
11 Análises As seguines esudos dos ópicos abaixo enumerados são para a equação de Langevin dada em (4) e complemenada pelas condições (5) e (6): 1) Velocidade v(, valor médio de v( e variância de v( ) Posição x(, valor médio e deslocameno quadráico médio Tânia Tomé - Din Esoc
12 1) VELOCIDADE v( Vamos propor a seguine expressão para a velocidade: v( A( exp( (7) em que A( = função de a ser deerminada por meio da equação de Langevin (4) e suas propriedades (5) e (6). E ambém pelas condições iniciais a serem adoadas. Tânia Tomé - Din Esoc
13 Velocidade v( v( A( exp( (7) Enão: dv d v A( exp( (8) v( dada na Eq. (7) deve obedecer à equação de Langevin (4), iso é, dv d v ( (4) Porano, a parir das equações (4) e (8) emos: A' ( exp( ( A' ( ( exp( (9) Tânia Tomé - Din Esoc
14 A' ( ( exp( Equação de Langevin Velocidade v( (9) Porano: A( A() ( exp( d (1) Tânia Tomé - Din Esoc
15 Velocidade v( v( A( exp( (7) A A( ) ( exp( d (1) Condições iniciais: v( ) v A( ) v ) A( v ( exp( d (11) Tânia Tomé - Din Esoc
16 Velocidade v( v( A( exp( ) A( v ( exp( d (7) (11) Porano: v( exp( v d ( )exp( ) Ou ) v( v exp( exp( ( exp( d (1) Tânia Tomé - Din Esoc
17 Velocidade v( ) v( v exp( exp( ( exp( d (1) Valor médio da velocidade da parícula v( v( v exp( exp( ( exp( d ) v( v exp( exp( ( exp( d ) ) v( v exp( exp( ( exp( d Tânia Tomé - Din Esoc
18 Valor médio da velocidade da parícula v( ) v( v exp( exp( ( exp( d Da condição (5) emos: ( (5) Porano: v( v exp( (13) Valor médio da velocidade Tânia Tomé - Din Esoc
19 Variância associada à velocidade Definição: ( v v ) v v (14) e ) v( v exp( exp( ( exp( v( v exp( d (1) (13) v( v exp( ( exp( d Tânia Tomé - Din Esoc
20 Variância associada à velocidade ( v v ) v v v( v exp( ( exp( d Porano: ( v( v ) exp( ( exp( d ( '')exp( '') d'' (15) Tânia Tomé - Din Esoc - 16
21 Variância associada à velocidade ( v( v ) exp( ( exp( d ( '')exp( '') d'' (15) ( v v ) exp( ( exp( d ( exp( d ( v( v ) exp( ( ( '') exp( '')exp( dd'' (16) Tânia Tomé - Din Esoc
22 Equação çde Langevin Variância associada à velocidade ( v( v ) exp( ( ( '') exp( '')exp( dd'' (16) Mas, ( ( ( (6) ( v( v ) exp( ( ' '')exp( ')exp( '') d' d'' (17) ( v( v ) exp( exp( ')exp( ') d' (18) Tânia Tomé - Din Esoc - 16
23 Variância associada à velocidade (18) ( v( v ( v( v ) ) ' ''' d' d''' exp( exp( ')exp( ') d' exp( exp(') d' exp(') d' exp( ''') d''' exp( ( v( v ) exp( (exp( 1) (19) Tânia Tomé - DinEsoc
24 Equação çde Langevin Variância associada à velocidade ( v( v ) exp( (exp( 1) (19) ( v( v ) v (1 exp( ) Variância da velocidade () Mas, já mosramos em aula anerior que: ( v( v ) v ( v( Ou seja, v ( v( v (1 exp( ) Variância da velocidade (1) Tânia Tomé - Din Esoc
25 valor médio da velocidade Equação de Langevin Limie de empos longos 1 v( v exp( (13) 1 exp( v( () variância da velocidade v ( v( (1 exp( ) (1) 1 exp( v ( v( (3) Tânia Tomé - Din Esoc
26 Limie de empos longos 1 Velocidade quadráica média no limie de empos longos Porano, a parir das equações () e (3) emos: 1 v ( (4) Tânia Tomé - Din Esoc
27 v / Equação de Langevin Limie de empos longos 1 (4) A parir do eorema da equiparição de energia emos: mv / k B T / (5) kb consane de Bolzmann T emperaura absolua Porano: 1 m( / ) 1 k B T E, k B T m (6) Tânia Tomé - Din Esoc
28 ) Posição x( Tânia Tomé - Din Esoc
29 Posição x( v dx d x x v ( ) d (7) Já obivemos que: v( exp( v d ( )exp( ) (1) Vamos assumir as condições iniciais: x e v (8) Tânia Tomé - Din Esoc
30 Posição x( x e v (8) Uilizando as condições (8) obemos a parir das Eqs. (7) e (1): x v( d ' v( ') exp( ') ( '')exp( '') d' ' (9) (3) x exp( ' ( '')exp( '') d'' d (31) Tânia Tomé - Din Esoc
31 Valor médio <x(> x exp( ' ( '')exp( '') d'' d (31) x exp( ' ( '') exp( '') d'' d (3) Mas, ( ') (5) x Valor médio de x( é nulo. (33) Tânia Tomé - Din Esoc
32 Posição x( x( exp( d ' ( '')exp( '') d'' (31) Essa equação pode ser reduzida à seguine expressão (DEDUZIR) x( 1 ( 1 exp( ( '' ) d' ' (3) Tânia Tomé - Din Esoc
33 Deslocameno quadráico médio Obenção de: x ( Tânia Tomé - Din Esoc
34 Posição x( x( 1 ( 1 exp( ( '' ) d' ' (33) Obenção de: x ( x ( 1 ( 1 exp( ( '' ) d'' ( ') 1 exp( ( ' ) d' x ( 1 ( ') ( 1 exp( ( ' ) 1 exp( ( '' ) d' d' ' (34) Tânia Tomé - Din Esoc
35 Coninuação na próxima aula
36 FIM
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