Noções de Espectro de Freqüência

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1 MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO - Campus São José Curso de Telecomunicações Noções de Especro de Freqüência Marcos Moecke São José - SC, 6

2 SUMÁRIO 3. ESPECTROS DE FREQÜÊNCIAS 3. ANÁLISE DE SINAIS NO DOMÍNIO DA FREQÜÊNCIA 3. A 3. SINAIS PERIÓDICOS E APERIÓDICOS 3. S 3.3 TEOREMA DE FOURIER 3.3 T 3.4 R REQÜÊNCIA APERIÓDICOS OURIER REPRESENTAÇÃO DE SINAIS ATRAVÉS DO ESPECTRO DE FREQÜÊNCIAS REQÜÊNCIAS ANALISADOR DE ESPECTROS 3.5 A...8 SPECTROS ANÁLISEA DA RESPOSTA DE UM CIRCUITO À SINAIS COMPLEXOS UTILIZANDO O ESPECTRO DE AMPLITUDES E O DIAGRAMA DE BODE ODE EXERCÍCIOS

3 3. ESPECTROS DE FREQÜÊNCIAS 3. Análise de Sinais no Domínio da Freqüência A parir do esudo da resposa em frequência dos circuios, sabemos deerminar o sinal de saída para cada sinal de enrada conforme a sua frequência. Nos sisemas de elecomunicações os sinais uilizados são sinais complexos, iso é não são sinais puramene senoidais. Exemplos de sinais uilizados são: o sinal de voz (elefone, PC), o sinal de imagem (TV), o sinal de dados (MODEMs), o sinal modulado (Radio), ec. Nese capíulo esudaremos os sinais, buscando responder as seguines pergunas: Como represenar um sinal com várias frequências? Como uilizar as écnicas de circuios esudas aé aqui, quando na enrada do circuio emos um sinal diferene de uma senoide? 3. Sinais periódicos e aperiódicos Os sinais podem ser periódicos ou aperiódicos. Os sinais periódicos são aqueles que se repeem em iguais inervalos de empo, sendo que ese inervalo chamamos de período do sinal(t). Os sinais aperiódicos, por exclusão, são aqueles que não em nenhum padrão de repeição ao longo do empo. A seguir ilusraremos alguns ipos de sinais, onde buscamos observar se ele se repee ao longo do empo. V.6

4 A voz humana é um sinal aperiódico A noa de um insrumeno musical é um sinal periódico. A onda quadrada uilizada em elerônica digial para deerminar a cadencia de operação dos circuios é um sinal periódico. As sequências de e obidas nas saídas dos circuios são aperiódicas. V.6 3

5 3.3 Teorema de Fourier Qualquer sinal pode ser obido por uma soma de senoides de ampliudes e frequências disinas. Se o sinal é periódico, as senoides são odas de frequências múliplas ineiras (harmônicas) da frequência do sinal (fundamenal). Qualquer sinal (função) periódico f ( ) pode ser expresso como a soma de uma série de senos (e cossenos) com ampliudes e fases específicas, conhecidos como coeficienes da Série de Fourier. As frequências dos senos são múliplas ineiras da frequência fundamenal ( w ) do sinal, iso é w, w, 3w, 4w,... Esa descobera é normalmene aribuída ao maemáico francês Baron Jean Bapise Joseph Fourier (768-83), sendo conhecido como Teorema de Fourier. A sua expressão maemáica é dada por: f ()=a +a cos w+b senw+a cosw+b senw+a 3 cos3w+b 3 sen3w+... f ()=a o + (a n cosnw+b n sin nw) Σ símbolo de somaória. n= onde f ( ) é uma função periódica no empo, al como uma ensão v( ) ou uma correne i( ) ; a n e bn são os coeficienes com números reais; w é a frequência fundamenal em radianos; e n é a ordem das componenes harmônicas do sinal. Vejamos como se pode aplicar ese eorema para decompor a onda quadrada abaixo em componenes senoidais. V.6 4

6 Segundo o eorema de Fourier, ese sinal periódico pode ser obido pela soma de senoides. Faremos inicialmene a soma das duas senoides abaixo: v ()=4/π sen(π) [V].5 v a () = v () + v 3 () [V] - freqüência fundamenal v 3 ()=4/3π sen(6π) [V] a harmônica Essa soma de senoides corresponde a: v ( ) = a + a cosw + b sinw + a cos w + b sinw + a cos3w + b sin3w a 3 3 fazendo a n = n ; w= π T ; b = 4 π ; b = ; b 3 = 4 (3 π) Pode-se perceber que o sinal obido com a soma das senoides, já apresena alguma semelhança com a onda quadrada. Somando mais 5 componenes senoidais adequadas oberemos: V.6 5

7 v b ()=v a ()+b 5 sen5w+b 7 sen7w+b 9 sen 9w+b senw+b 3 sen3w v b ()= b n sennw para n impar (n =, 3, 5, 7, 9 e ) n= v b ()=a + (a cosnw+b n sennw) com a n = n; b n= 4 para nimpar (nπ) n= b n = paran par ; V.6 6

8 v () + v 3 () [V] v 3 ()=4/3π sen(6π) [V] a harmônica v 5 ()=4/5π sen(π) [V] v () + v 3 () + v 5 () + v 7 () + v 9 () + v () + v 3 () [V] - 5 a harmônica v 7 ()=4/7π sen(4π) [V] a harmônica v 9 ()=4/9π sen(8π) [V] v ()=4/π sem(π) [V] - 9 a harmônica - a harmônica Agora a forma de onda do sinal esa muio mais próxima de uma onda quadrada. Quano mais aumenarmos o número de senoides mais a composição se aproxima do sinal quadrado. Somando-se infinias componenes senoidais oberemos um sinal quadrado. V.6 7

9 4 v quadrada ()=A ( sennw), onde A é ampliude do sinal quadrado. (n π) n= O eorema de Fourier exemplificado para o caso do sinal quadrado é valido para odos os ipos de sinais periódicos, variando-se a composição dos coeficienes a n e b n. O coeficiene a represena a componene conínua do sinal (valor médio). Como exemplo mosramos a seguir os sinais que devem ser somados para gerar uma dene de serra. - - V ()= sen() [V] V ()= sen()/ [V] V 3 ()= sen(3)/3 [V] V 4 ()= sen(4)/4 [V] V 5 ()= sen(5)/5 [V] V 6 ()= sen(6)/6 [V] V 7 ()= sen(7)/7 [V] V T ()= V () + V () + V 3 () + V 4 () + V 5 () + V 6 () + V 7 () [V] V CC = [V] V T () = V T () + [V] Nos exemplos da onda quadrada e da dene de serra, podemos observar que as frequências das senoides que compõem os sinais são odas múliplas da menor frequência uilizada. Iso é, dividindo as frequências das senoides pela frequência mais baixa resula um número ineiro. Toda vez em que ese fao ocorrer o sinal obido será periódico. Nas séries de Fourier (somas de senoides) de sinais periódicos, chamamos a frequência mais baixa de fundamenal (w). A frequência dessa senoide ambém será a frequência da onda obida com a soma com as ouras senoides. As demais frequências são as harmônicas de segunda ordem ( a harmônica), erceira (3 a harmônica),..., enésima ordem (n ésima harmônica), ordem da harmônica é definida pelo valor resulane da divisão da harmônica pela fundamenal. V.6 8

10 freqüência fundamenal 4 a Harmônica (4/) = 4 v T ()= sen() +sen()/ + sen(3)/3 + sen(4)/4+ sen(5)/5 + sen(6)/6 + sen(7)/7 a Harmônica (/) = 5 a Harmônica (5/) = 5 Alguns sinais periódicos apresenam ambém uma componene conínua. Um exemplo muio comum é uma onda quadrada com valor médio diferene de zero. Neses casos a série de Fourier apresenará um harmônico de ordem zero (frequência igual a zero). v() [V] V Q () = + 4/π[sen() + sen(3)/3 + sen(5)/5 + sen(7)/7 + sen(9)/9 +...] Ouro dado imporane nas séries de Fourier é o comporameno dos valores de pico dos diversos harmônicos, observe que geralmene a ampliude da senoide diminui com o aumeno da ordem da harmônica. OBS: Quando o sinal é aperiódico, a sua obenção somene é possível com a soma de infinias componenes senoidais, que são compleamene independenes enre si, ou seja não há frequência fundamenal nem harmônicas do sinal. 3.4 Represenação de Sinais aravés do Especro de Frequências Exisem duas formas gerais de represenar um mesmo sinal, no Domínio do Tempo e no Domínio da Frequência. O Osciloscópio é um equipameno que mosra o sinal no domínio do empo, fornecendo um gráfico da ensão (ou correne) com relação ao empo. O conhecimeno da variação da ampliude com o empo de um sinal elérico o caraceriza de forma complea. A esa represenação do sinal chamamos de represenação no Domínio do Tempo (DT), pois conhecemos o valor do sinal em cada insane de empo. V.6 9

11 Ampliude empo No caso paricular de um sinal senoidal, a sua represenação no domínio do empo é dada por: Ampliude em V - v() = sin () empo Sinais ambém podem ser represenados no Domínio da Frequência (DF), onde a ampliude ou a poência de cada componene senoidal do sinal é mosrada em um gráfico com a frequência no eixo da ordenadas. Quando represenamos a ampliude como função da frequência, denominamos a represenação de especro de ampliudes do sinal, e quando é represenado o quadrado da ampliude (ou poência) denominamos de especro de poências. A análise de Fourier ou análise especral é fornecida pelo equipameno denominado de Analisador de Especro. No caso de uma senoide pura o conhecimeno da ampliude da senoide (Vp), e da frequência (ω ou f) do sinal são suficienes para caraceriza-lo. Porano o especro de ampliudes da senoide anerior é dado por: Ampliude em V w (rd/s) Se ivermos um sinal v() = sen() + 4/3π sen(3) que é a soma de duas senoides com ampliudes e frequências diferenes, podemos represena-lo ambém no DT e DF. V.6

12 V () + V 3 () [V] [s] Represenação do sinal no Domínio do Tempo - V () + V 3 () [V] 3 ω [rd/s] Represenação do sinal no Domínio da Frequência - Apesar de normalmene ser represenada apenas a ampliude, a represenação gráfica complea de um sinal no DF necessia de dois gráficos, o especro de ampliudes e o especro de fases. O segundo gráfico represena a fase correspondene a essas mesmas frequências. No exemplo da onda quadrada a fase de odas as componenes é nula, e por isso o especro de fases não precisa ser represenado. Vejamos a seguir um exemplo onde as fases não são nulas. v() (ms) - - Ampliude em V Sinal no domínio do empo fase em ( o ) w (rad/s) 3 5 w (rad/s) Sinal no domínio da frequência. V.6

13 No caso de sinais aperiódicos, eles ambém podem ser represenados por especros de frequência, os quais por serem formados por um conjuno conínuo infinio de frequências, apresenam um especro de ampliudes conínuo, o qual é represenado da seguine forma: ampliude (V) f (Hz) 3.5 Analisador de Especros Um analisador de especros é um equipameno usado para examinar a composição especral de sinais eléricos, acúsicos ou ópicos. Geralmene ele mede o especro de poência. Os analisadores podem ser do ipo analógico ou digial. Um analisador de especros analógico usa um filro passa-banda variável, cuja frequência cenral é auomaicamene sinonizada (feia uma varredura) por oda a faixa de frequências na qual o especro é medido. Também pode ser uilizado um recepor super-heeródino no qual o oscilador local em sua frequência variada em oda a faixa de frequências. Nos analisadores de especro digiais é uilizada uma ransformada rápida de Fourier (FFT), que consise em um processo maemáico que ransforma a forma de onda de um sinal nas suas componenes de frequência. 3.6 Análise da resposa de um circuio à sinais complexos uilizando o especro de ampliudes e o diagrama de Bode. Uma vez sabendo que os sinais complexos são na realidade uma composição de senoides, podemos enender melhor o funcionameno dos filros. V.6

14 Na ilusração a seguir é mosrada a composição de um sinal a parir de rês fones senoidais em série que esão ligadas a enrada de um circuio FILTRO. A forma de onda do sinal na enrada (Ve) do circuio FILTRO é resulane da soma pono a pono dos sinais das rês fones e o especro de ampliudes do sinal resulane é composo pelas frequências das rês fones. V ()= sen() [V] Ve() - - V ()= ½ sen() [V] Sinal no Dominio do Tempo + Ve() Ve(ω ) FILTRO Vs() Vs(ω ) - V 3 ()= ¼ sen(3) [V] Ve(ω ).5 3 ω - Sinal no Dominio da Freqüência De acordo com o ipo de filro que for uilizado eremos diferenes sinais de saída (Vs), pois sabemos que algumas das componenes do sinal serão aenuadas pelo filro. A seguir ilusraremos aravés de 4 ipos de filros ideais como seria o sinal de saída em cada caso. V.6 3

15 a) Filro passa baixa com ωc= 5 rd/s Ve() [V] Vs() [V] - ω c = 5 rd/s - Ve(ω ) [rd/s] Vs(ω ) [rd/s].5 3 ω.5 3 ω b) Filro passa ala com ωc = 5 rd/s Ve() [V] Vs() [V] - ω c = 5 rd/s - Ve(ω ) [rd/s] Vs(ω ) [rd/s].5 3 ω.5 3 ω V.6 4

16 c) Filro passa faixa com ωc= 5 rd/s, ωc = 5 rd/s Ve() [V] Vs() [V] - Ve(ω ) [rd/s] ω c = 5 rd/s ω c = 5 rd/s - Vs(ω ) [rd/s].5 3 ω.5 3 ω d) Filro rejeia faixa com ωc= 5 rd/s, ωc = 5 rd/s Ve() [V] Vs() [V] - Ve(ω ) [rd/s] ω c = 5 rd/s ω c = 5 rd/s - Vs(ω ) [rd/s].5 3 ω.5 3 ω Agora vejamos como podemos ober o sinal de resposa (Vs) do circuio para um sinal de enrada (Ve), conhecendo-se o especro de frequência do sinal de enrada e o diagrama de ganho do circuio. V.6 5

17 Uilizaremos como exemplo o circuio abaixo, onde esão ilusrados os sinais de enrada e saída no domínio do empo. Caso - O diagrama de ganho não esa em db Para deerminar o sinal de resposa, precisamos muliplicar a ampliude de cada uma das componenes do sinal de enrada pelos valores de ganho em cada frequência, conforme é dado no diagrama de ganho. Porano eremos: f = Hz emos Vs = Ve *.8 Vs =.5 *.8 =.7 [V] f = 3 Hz emos Vs = Ve * Vs =.7 * =.7 [V] f = Hz emos Vs = Ve *.7 Vs =.7 *.7 =. [V] Ve(f) [V] f [Hz] Gv [V/V] f [Hz] Vs(f) [V].7.7. f [Hz] V.6 6

18 Caso - O diagrama de ganho esá em db Para deerminar o sinal de resposa, precisamos primeiro converer o valor da ensão de cada uma das componenes do sinal de enrada para dbv. Uilizaremos para iso uma unidade que é o dbv (Ve[dBV]= log (Ve / V), ou seja, a ensão do sinal relaivo a V). Uma vez obido o sinal de enrada em uma unidade logarímica, somamos a ese os ganhos em db nas frequências correspondenes e obemos assim o sinal de saída. Porano eremos: f = Hz emos Ve [dbv]]= log (.5 /) = 3.5 Vs = Ve Vs = = -.3 [dbv].7 [V] f = 3 Hz emos Ve [dbv]]= log (.7 /) = -3. Vs = Ve - 3. Vs = = -3.9 [dbv]. 7 [V] f = Hz emos Ve [dbv]]= log (.7 /) = -3. Vs = Ve - 3. Vs = = -8.3 [dbv] =. [V] Ve(f) [dbv] 3.5 f [Hz] Gv [db] ω [rd/s] Vs (f) [dbv] f [Hz] V.6 7

19 3.7 Exercícios. Para cada um dos sinais abaixo análise as seguines afirmações, dizendo se a afirmação é verdadeira ou falsa, e jusificando a sua resposa. a) O sinal possui um componene conínua. b) O sinal pode possuir na sua composição uma senoide de 5 Hz. c) O sinal pode possuir na sua composição uma senoide de 5 Hz. d) O sinal pode possuir na sua composição uma senoide de 5 Hz. e) O sinal pode possuir na sua composição uma senoide de Hz. f) O sinal pode possuir na sua composição uma senoide de 7 Hz.. Em relação a cada um dos sinais da quesão, responda as seguines pergunas: a) Calcule as frequências harmônicas de a e a ordem do sinal. b) Classifique os sinais em periódicos ou aperiódicos. V.6 8

20 3. Para cada par (sinal de enrada - sisema) abaixo, deermine aproximadamene o sinal de saída. Ve() = sen() + sen () +.5sen () +. sen () Gv [db] ω[rd/s] Vs() = Sinal de Enrada Sisema A Sinal de Saída Ve(f) [V].8 Gv [V/V] Vs(f) [V] f [Hz]. f [Hz] f [Hz] Sinal de Enrada Sisema B Sinal de Saída Ve(f) [V] Gv [db] Vs(f) [V] f [Hz] f [Hz] f [Hz] Sinal de Enrada Sisema C Sinal de Saída 4. Uilizando o Simulador Elecronic WorkBench (ou similar), faça a simulação de alguns sinais periódicos aravés da sua composição a parir das senoides. Observe o que aconece a medida que você vai incluindo mais harmônicas. V.6 9

21 5. Uilizando o Simulador Mulisim, faça a simulação de um filro passa faixa para a frequência de 9kHz, com largura de banda de 6kHz. Analise os sinais de enrada e saída no domínio do empo e no domínio da frequência. Use como sinal de enrada uma onda quadrada de 9kHz com Vpp. Sinal de Enrada Filro Passa Faixa (Resposa em Frequência) Sinal de Saída V.6

22 Simulação do circuio no MULTISIM XSA XSC XSA XSC G G IN T A B T IN T A B T C 3pF L uh XFG R 39ohm XBP in ou V.6