2 Distribuições de Probabilidade

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1 Disribuições de Probabilidade.1 Disribuição Gaussiana Para uma caracerização complea do processo esocásico seguido por uma variável aleaória é necessário deerminar algumas de suas propriedades, como sua disribuição de freüência de ocorrência e a exisência de correlações na série emporal. É comum uilizar como primeira aproximação ou primeira enaiva de modelagem das disribuições empíricas uma disribuição Gaussiana, ou disribuição normal. Essa disribuição aparece em diversos fenômenos na naureza, e em paricular em processos relacionados à difusão normal ou Browniana. A razão da presença praicamene universal da disribuição Gaussiana se deve a ela emergir nauralmene como uma disribuição limie para processos aleaórios, como conseüência do Teorema do Limie Cenral (TLC): a soma de variáveis aleaórias independenes com segundo momeno finio é descria pela disribuição normal [14]. Esa formulação do T.L.C. pode ser esendida para variáveis fracamene dependenes e para disribuições não muio heerogêneas, iso é, onde não haja domínio da variância de uma disribuição em relação às das ouras. Sendo invariane por agregação de variáveis aleaórias, a disribuição Gaussiana é esável. O TLC explica assim porue disribuições com segundo momeno finio convergem gradualmene para a disribuição esável Gaussiana. A disribuição Gaussiana é caracerizada por dois parâmeros: média µ e o desvio-padrão σ. A noação para variável x governada por uma disribuição Gaussiana é x ~ N( µ, σ ). A função densidade de probabilidade da variável aleaória com disribuição normal é dada por:

2 Disribuições de Probabilidade x µ f ( x) = exp (.1) σ π σ Usualmene considera-se a disribuição Gaussiana padronizada, onde a variável aleaória X em média zero e desvio-padrão uniário. Teremos assim: 1 1 P( X ) exp X π =. (.) A variável X pode represenar uma variável normalizada, obida da variável original observada x a parir de: X = x µ (.3) σ Embora os valores x < σ da pare cenral da disribuição possuam maior probabilidade de ocorrência, são as caudas das disribuições ue fornecem informações relaivas aos valores exremos. Assim, em ualuer modelagem de disribuição de reorno de preços é fundamenal a análise das caudas das disribuições, pois permie esimar lucros e prejuízos relevanes para o mercado financeiro. Para verificarmos a probabilidade de ocorrência de valores exremos em um mercado regido pela disribuição Gaussiana, apresenamos a abela a seguir ue mosra a probabilidade P( X n), ue euivale, de acordo com (.3), à probabilidade de ocorrência de um valor de reorno, desconada a média, ser maior ou igual em valor absoluo a n vezes o desvio padrão hisórico da série. A parir da abela.1 podemos concluir ue a disribuição Gaussiana é inadeuada para análise do mercado financeiro. Por exemplo, a probabilidade esimada de se observar uma fluuação de preços pelo menos 5 vezes maior do ue a fluuação ípica σ é de uma vez a cada 7 milênios, o ue orna al observação praicamene impossível. No enano, valores de reornos desa ordem êm sido observados nas séries reais, conforme ilusrado pela figura 1.4.

3 Disribuições de Probabilidade 4 n P( X n) N Tempo 1 0, dias 0,045 1 mês 3 0, ,5 ano 4 6,3 x anos 5 5,7 x ,7 x milênios 6,0 x ,1 x 10 8 milhões de anos Tabela.1 A primeira coluna mosra valores de n de 1 a 6. A segunda coluna mosra a probabilidade do módulo do reorno em relação ao valor médio ser maior do ue n vezes o desvio padrão, segundo a disribuição normal. A erceira coluna apresena esa probabilidade em número euivalene N de evenos ue se deve observar para enconrar uma vez al reorno. Considerando a ocorrência de cada eveno em escala diária, a uara coluna raduz ese resulado em empo de negócio, onde 1 mês euivale à dias de pregão e 1 ano euivale à 5 dias. Em geral, a freüência de ocorrência de valores exremos nas séries financeiras apresena desvio uase universal da normalidade, sendo ordens de grandeza maior do ue a previsa pela disribuição Gaussiana. Diz-se ue as disribuições empíricas de reornos de preços possuem fa ails ou ainda heavy ails para designar disribuições com caudas mais longas do ue a disribuição normal. Vamos a seguir analisar as propriedades de algumas disribuições ue foram uilizadas na modelagem de variáveis financeiras, principalmene de reornos de preços. Elas servirão como guias comparaivos para o modelo proposo na presene disseração.. Disribuição Log-Normal Sendo a disribuição Gaussiana invariane por adição de variável aleaória, é solução esacionária da euação diferencial do ipo (1.9) onde o ruído é adiivo. Por ouro lado, a disribuição Log-normal é invariane por muliplicação de variável aleaória, sendo assim úil na análise de processos esocásicos com ruído muliplicaivo. A disribuição Log-normal surge no mercado financeiro a parir do modelo padrão para a fluuação de preços, no ual o reorno dos preços é descrio pelo

4 Disribuições de Probabilidade 43 movimeno Browniano Geomérico,dado por (1.11) e ue pode ser reescrio da forma: ds = µ S d + σ S dw (.4) caracerizando um processo esocásico muliplicaivo. Uilizando-se o Lema de Iô [15] para mudança de variável esocásica x = log, obém-se: S dx = µ d + σ. (.5) dw com dw ~ N(0, d) e σ µ = µ. A euação (.5) corresponde ao movimeno Browniano Ariméico, cuja solução para a disribuição de probabilidade da variável esocásica x no empo é dada pela disribuição Gaussiana de média µ e variância σ : 1 1 x µ P( x ) = exp, (.6) σ π σ onde x = x x 0. Da relação enre disribuições por mudança de variável, ~ ( P S) ds = P( x) dx (.7) obém-se: ~ 1 S P( S = log ) P. (.8) S S0 S Idenificando x log S log S 0 ou x log em (.6), obém-se a S 0 disribuição de preços na forma log-normal :

5 Disribuições de Probabilidade 44 ~ 1 1 log( S = ) / S0 µ P( S ) exp (.9) σ π S σ Muios esudos uilizam ambém a disribuição log-normal para a análise da variável financeira conhecida como volailidade [13,16]. Para alguns mercados financeiros, a disribuição de preços de fechameno 1 de ações (de empresas ou de índices de bolsas) normalizados pelo volume negociado, é muio bem descria pela disribuição log-normal [17], como mosrado na figura abaixo. Figura.1 Gráficos à esuerda (de cima para baixo): (a) série de preços de fechameno das ações da Microsof; (b) volume diário negociado; (c) série de preços de fechameno das ações normalizados pelo volume diário negociado. Gráfico à direia: disribuição de preços de fechameno diário das ações da Microsof normalizados pelo volume negociado e a disribuição log-normal aproximada [17]. Como vimos, a euação (.5) descreve as variações logarímicas dos preços na escala emporal d segundo o modelo padrão. Por ouro lado, dx euivale ao reorno logarímico Z 4 (), dado por (1.5). Assim, de (.6), o modelo padrão ambém prevê ue os reornos logarímicos de preços nas diversas escalas emporais são descrios por disribuições Gaussianas com média e dispersão proporcionais ao inervalo de empo. 1 Valor do índice de um aivo no final de um dia de pregão.

6 Disribuições de Probabilidade 45 Dados empíricos de reornos de preços, no enano, apresenam disribuições com caudas mais longas do ue a da Gaussiana, como mosrado no capíulo 1. Conseüenemene, a disribuição empírica de preços (sem normalização por volume de negociação) em geral não corresponde à disribuição log-normal, (.9) previso pelo modelo padrão. Vamos a seguir enão analisar ouras disribuições fa ailed uilizadas na modelagem de variáveis financeiras..3 Disribuição de Lévy Exisem muios processos na naureza ue são regidos por disribuições de Lévy, como o rimo cardíaco de indivíduos saudáveis ou a fooconduividade em semiconduores amorfos. Sua expressão, na forma simérica e com média zero, é dada a parir da função caracerísica [5]: 0 α ( γ ) 1 Lα ( x) = exp cos( x) d π (.10) com parâmero de Lévy α (0 < α ) e um faor de escala posiivo γ. Para α = e α = 1 emos respecivamene a disribuição Gaussiana e a Lorenziana. O comporameno assinóico da disribuição pode ser obido a parir da expansão para x >> 1 em (.10). Considerando-se γ = 1 e sendo Γ(x) a função de Euler em-se ue: L α n 1 ( 1) ( x ) = π k! k= 1 k Γ( αk + 1) kπα sen + αk 1 x + Ο ( x α ( n+ 1) 1 ) (.11) 1 L α ( x ) ~ (0 < α < ) (.1) 1+α x Assim, para grandes valores de x, a disribuição de Lévy em comporameno em lei de poência. Verificamos ambém ue o segundo momeno: < x > = ( α + 1) 1 α x L ( x) dx x x dx x dx (.13) α

7 Disribuições de Probabilidade 46 é divergene para processos com 0 < α <. As disribuições de Lévy são imporanes porue são ambém disribuições limies de processos envolvendo soma de variáveis i.i.d.. Segundo o T.L.C. generalizado [18], uma disribuição com segundo momeno divergene com cauda em lei de poência dada por (.1) converge para a disribuição de Lévy de mesmo parâmero α. Esas disribuições formam ambém uma classe de disribuições esáveis, sendo invarianes por agregação de variáveis aleaórias. A imporância das disribuições Gaussianas e de Lévy para o mercado financeiro deve-se à propriedade de ue ambas possuem de serem invarianes pela soma de variáveis aleaórias fracamene dependenes. Noe ue o reorno em escala emporal d euivale a uma soma de reornos sucessivos na escala d : Z d () = log S(+d) log S() = [log S(+d) log S(+d)] + [log S(+d) - log S()]] Z d () = Z d ( +d) + Z d () (.14) Assim, cada reorno de dois minuos é a soma de dois reornos sucessivos de 1 minuo, cada reorno de cinco minuos é a soma de cinco reornos sucessivos de 1 minuo, cada reorno de dois dias é a soma de dois reornos sucessivos de 1 dia, ec. Em ouras palavras, reornos em escala emporal τ= n, sendo uma escala emporal de referência, euivalem a variáveis formadas pela agregação de n variáveis aleaórias da escala emporal de referência. A análise de Mandelbro do mercado americano de algodão [4] mosrou ue a disribuição de reorno dos preços inha mesma forma funcional para diversas escalas de empo, ou seja, as disribuições possuíam propriedade de invariância por mudança de escala emporal. Além disso, esas disribuições possuíam caudas com comporameno em lei de poência, mais longas do ue as disribuições Gaussianas. Baseado nesas duas propriedades, ele sugeriu ue as disribuições empíricas fossem modeladas pelas disribuições esáveis de Lévy. Mais recenemene, conforme podemos verificar na figura.., a análise de dados do S&P 500 [6] mosrou ue as disribuições de reorno de ala freüência, uando reescalonados de forma conveniene, colapsam em uma mesma curva mesra podendo assim ser modeladas por uma disribuição de Lévy.

8 Disribuições de Probabilidade 47 Log P( Z ~ ) Z ~ Figura. Função densidade de probabilidade para reornos reescalonados de ala freüência do S&P 500 em horizones de empo = 1,3,10,3,100,316 e 1000 minuos [6]. A observação das disribuições de reorno em diversas escalas emporais τ = n., sendo uma escala emporal de referência, permie analisar a convergência das disribuições empíricas à luz do TLC generalizado para a soma de n variáveis aleaórias independenes. Porano, propriedades de invariância por mudança de escala emporal ue são observadas nas disribuições empíricas de reorno sugerem modelagem por disribuições esáveis. Espera-se assim ue para longos horizones emporais as disribuições convirjam para disribuições esáveis Gaussianas, devido ao segundo momeno finio das disribuições empíricas. Para horizones de empo curos, devido às caudas longas em lei de poência, podemos observar ambém uma invariância de curo prazo da forma funcional dos dados empíricos devido à esabilidade das disribuições de Lévy. No enano, esa esacionariedade de curo prazo é uebrada, havendo uma ransição ( crossover ) do regime de Lévy para o regime Gaussiano de longo prazo, devido à finiude dos dados reais. Por ouro lado, o TLC se baseia na hipóese de dependência fraca das variáveis aleaórias, ue no caso do mercado financeiro é violada em escalas de

9 Disribuições de Probabilidade 48 empo inradiária ulra-curas, como mosrado aravés da figura 1.8 para a correlação linear de reornos. A exisência de correlação emporal enre dados sucessivos rearda a convergência segundo o TLC, permiindo ainda a observação de novas formas de disribuições esáveis em horizone emporal inradiário. As disribuições de Tsallis, ue recenemene modelaram os dados de alíssima freüência do mercado americano, mosrado no capíulo 1, são exemplos de disribuições esáveis em uma dinâmica de preços com correlação, como será mosrado no capíulo 3. Esas disribuições erão suas propriedades básicas descrias a seguir..4 Disribuição de Tsallis Em problemas radicionais da mecânica esaísica de euilíbrio, a energia e a enropia são uanidades exensivas. Para ue eses resulados sejam válidos é necessário ue diferenes regiões do sisema sejam independenes. Exisem sisemas com ineração de longo alcance, no enano, para os uais não é possível assumir esa independência como por exemplo, esrelas ineragindo sob a influência da aração graviacional. Da mesma forma, sisemas complexos cujo esado fundamenal é alamene degenerado ou ue possuem memória microscópica de longo alcance apresenam empo de relaxação ao euilíbrio muio longo e não podem ser na práica descrios pela mecânica esaísica exensiva de Bolzmann-Gibbs (BG). Recenemene, foi proposo [19] um formalismo para a análise desses sisemas baseado em uma mecânica esaísica não-exensiva. Dese formalismo, emerge a disribuição de probabilidades dada pela euação (.15) abaixo, 1 1 p ( x) = ( Z )[1 β (1 ) x ] (.15) 1 + na ual o índice é um parâmero real ue caraceriza a esaísica não-exensiva do sisema, β é um parâmero de escala e Z é a consane de normalização. O índice + em (.5) indica ue p (x) = 0 se a expressão enre colchees é não-posiiva, o ue só ocorre se < 1. Nese caso, em-se uma disribuição com 1 cauda nula a parir do valor x = [ (1 )] MAX β. Para a descrição das

10 Disribuições de Probabilidade 49 disribuições de preço porano, só consideraremos casos onde 1. Para 1 < < 3, Z em (.15) é dado por: 1 Z 1 ( β 1) = π 1 Γ ( 1) (3 ) Γ ( 1) (1 < < 3) (.16) Esas disribuições são conhecidas como disribuições de Tsallis ou ainda como -Gaussianas. A obenção desas disribuições a parir do formalismo nãoexensivo será jusificada no capíulo 3, mas aui apresenaremos algumas de suas propriedades. Ao modificar o parâmero, manendo-se o parâmero de escala β fixo, verificamos (ver figura.3) ue ese conrola a forma da disribuição, ornando-a mais plana uano maior seu valor. No limie superior do parâmero, =3 em-se uma disribuição oalmene plana. Assim, para valores do parâmero 3, a condição de normalização não é saisfeia. Figura.3 Disribuição de probabilidade p (x) para vários valores de 1<<3 (β=1): =1,1 (azul), =1,5 (rosa), =1,7 (verde), =,0 (marrom) e =,5 (vermelho). O caso paricular = represena a disribuição Lorenziana. Podemos ambém facilmene verificar aravés das eapas seguines ue a disribuição de Tsallis possui como limie do parâmero 1 a disribuição Gaussiana. De (.15),

11 Disribuições de Probabilidade 50 p [ 1 (1 ) ] (1 ) (1 ) ( x) = Z x β (.17a) 1 [ (1 ) ] ( 1 )ln p ( x) = (1 )ln Z + ln 1 β x (.17b) ln p ( x) ln Z 1 β x ( 1) (.17c) p ( x) = Z 1 exp( β x ). ( 1) (.17d) Analogamene, no limie de x <<1, as disribuições de Tsallis (.15) se comporam como uma Gaussiana : ( β ) p ( x) = Z 1 exp x (.18) O ouro parâmero da disribuição, β, conrola a largura, e conseuenemene, pelo vínculo de normalização, a alura da disribuição. A influência dese parâmero é ilusrada aravés da figura.4: dado um fixo, uano maior o valor de β, mais ala e esreia fica a disribuição. Figura.4 Ilusração do comporameno da -Gaussiana ( = 1,5) de acordo com o parâmero β: β=1,0 (azul), β =3,0 (rosa), β =5,0 (verde), β =10,0 (marrom) e β =30,0 (laranja).

12 Disribuições de Probabilidade 51 A relação enre o parâmero β e largura da disribuição pode ser obida aravés da variância das -Gaussianas dadas por: x x = x p ( x) dx σ (.19) Subsiuindo-se a euação (.15) em (.19) obêm-se ue: σ 1 = β (5 3) ( < σ ( 5 ) (.0a) 3 5 ) (.0b) 3 Logo, de (.0), enconra-se ue o parâmero β caraceriza-se por um parâmero de escala, sendo inversamene proporcional à variância da disribuição, no caso de ela ser finia. Assinoicamene a disribuição de Tsallis com > 1 em comporameno em lei de poência. De (.15), com x >>1: ( 1) p ( x) x δ x (.1) Comparando-se (.1) com o comporameno assinóico em lei de poência da disribuição de Lévy (.1), chegamos à relação enre os parâmeros de Tsallis e α de Lévy para ue as duas disribuições enham decaimeno com mesma lei de poência: ou 3 + α = 1 + α (.a) 3 α = 1 (.b) Para parâmero α correspondene ao regime de Lévy (0<α<), obém-se parâmero de Tsallis 5/3 < < 3, consisene com o resulado de variância divergene obida em (.0b).

13 Disribuições de Probabilidade 5 Apesar de mesmo comporameno assinóico em lei de poência, as disribuições de Tsallis e de Lévy possuem formas diferenes. A comparação enre esas disribuições com parâmeros e α dados por (.) é mosrada na figura a seguir, em gráfico linear, ilusrando a diferença significaiva de comporameno das duas disribuições. Figura.5 Disribuições de Tsallis com 5/3 < < 3 (linha ponilhada) e de Lévy com 0 < α < (linha cheia) [0]. Parâmeros (,α) relacionados por (.) de forma ue as duas disribuições possuam decaimeno em lei de poência com mesmo expoene. As disribuições coincidem para = (Lorenziana). Assim, na região de parâmeros 5/3 < < 3, as -Gaussianas êm segundo momeno divergene e convergem por convolução, de acordo com o TLC generalizado, para a disribuição de Lévy com parâmero α saisfazendo à (.b). Por ouro lado, de (.1), -Gaussianas com parâmero < 5/3 em decaimeno em lei de poência mais fore (δ > 3), possuem segundo momeno finio (.0a) e conseuenemene, êm como disribuição limie, por convolução, a disribuição Gaussiana (α=).

14 Disribuições de Probabilidade 53 Para < 1, lembramos ue a expressão (.15) é nula a parir de um pono de core. Porano, nesa região de parâmero não-exensivo, as -Gaussianas ambém evoluem para a disribuição Gaussiana. Desa forma, as -Gaussianas permiem unificar os regimes Gaussiano e de Lévy em um único formalismo, sendo C = 5/3 o limie enre os dois regimes, como represenado no diagrama a seguir: 1 5/3 3 Variância Finia Variância Divergene Regime Gaussiano Regime de Lévy Cauda em Lei de Poência Fore Cauda em Lei de Poência Suave (Cauda Nula) (Cauda Cura) (Cauda Longa) 3 1 δ Figura.6 - Diagrama do comporameno das -Gaussianas de acordo com o parâmero de Tsallis. O parâmero δ descreve o decaimeno assinóico em lei de poência (.1).5 Disribuições Truncadas Algumas disribuições apresenadas possuem desvio padrão divergene, mas os sisemas físicos reais possuem desvio padrão finio. Ao modelarmos um sisema com essas disribuições, devemos realizar um runcameno após um deerminado valor da variável aleaória, para ornar o desvio padrão finio. O runcameno pode ser abrupo ou gradual, e é realizado conforme (.3), sendo C um faor de normalização, P(x) a disribuição original e f(x) a função de runcameno. ( x) f ( ) P T ( x) = CP x (.3)

15 Disribuições de Probabilidade 54 O runcameno mais simples é o runcameno abrupo com função de runcameno dado por (.4), onde x C é o pono limie a parir do ual efeiva-se o runcameno. 1 x xc f (x) = (.4) 0 x > xc As disribuições empíricas ambém podem ser modeladas aravés de um runcameno gradual, uilizando por exemplo função de runcameno exponencial da seguine forma: 1 x xc f (x) = (.5a) x x C exp x > xc ξ B com B, ξ e x C parâmeros a serem deerminados. Quano menor o valor de ξ, ou maior o valor de B, mais fore o runcameno. O runcameno gradual pode ambém ser feio aravés de uma função de runcameno em lei de poência da forma: 1 x xc f (x) = (.5b) η ( xc ) x x > xc com x C e η > 3 parâmeros a serem deerminados. Quano maior o valor de η, mais fore o runcameno. Ambos os ipos de runcameno (.4) e (.5), por gerarem disribuições com variância finia, irão convergir para uma disribuição Gaussiana em escala de empo longa. O reorno diário de preços do IBOVESPA enre foi modelado [1] uilizando a disribuição de Lévy com runcameno exponencial nas caudas (ver figura.7) ou seja, runcameno dado por (.5) com B=1. Obeve-se ainda convergência para o regime Gaussiano em aproximadamene 0 dias (ver figura.8).

16 Disribuições de Probabilidade 55 1/ξ=1.7 Figura.7 Gráfico semi-logarímico da disribuição acumulada de reornos diários normalizados do IBOVESPA enre Obém-se cauda exponencial com parâmero 1/ξ=1.7 [1] Figura.8 Comparação da disribuição de freüência de reorno normalizado diário do IBOVESPA com a disribuição Gaussiana de desvio padrão uniário para janela emporal maior do ue 0 dias. [1] Um dos objeivos desa disseração é similar: modelar a disribuição de reorno de preços do IBOVESPA, assim como a evolução emporal das disribuições, porém, na escala inradiária.

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