O Modelo de Black & Scholes

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1 O Moelo e Blak & holes

2 Premissas Básias O preço a ação segue um movimeno browniano geomério. Venas a esobero são permiias. Não há usos e ransações ou axas. Não há pagamenos e ivienos urane a exisênia o erivaivo. ransações poem ser realizaas oninuamene. A axa e juros básia é onsane e a mesma para oos os prazos e mauração. Assumino-se ausênia e arbiragens obemos o preço juso os erivaivos.

3 Iéia para obenção a fórmula e apreçameno O movimeno geomério browniano é represenao pela seguine Equação Diferenial Esoásia: r W Esa inia omo o preço a ação evolui ao longo o empo: Ele epene e uma omponene eerminísia que gera um renimeno onínuo à axa livre e riso r, e mais um ermo esoásio que epene o movimeno browniano, e evio à volailiae onsane, apresena isribuição normal. A parir ese pono, uo o que preisamos é ober omo os preços os erivaivos variam ao longo o empo, usano uma equação semelhane à anerior.

4 O Lema e Io Esa ferramena é úil para nos informar quano varia uma função e uma variável aleaória X, quano esa variável aleaória sofre uma pequena variação em seu valor. Qual a imporânia iso no onexo e apreçameno e erivaivos? Aravés ese lema somos apazes e ienifiar qual a sensibiliae o preço e um erivaivo om relação ao seu aivo subjaene. Iso irá nos ajuar ireamene a monar areiras que repliam o aivo livre e riso, e que porano evem rener à axa livre e riso r.

5 Moivano o Lema e Io f Consiere a função. Quano varia aproximaamene f quano sofre uma pequena variação e uniaes e empo? f A resposa é aa por: Quano e 0. obemos f (.) 4. 4, o que implia em uma variação e 0.4. Já oma nossa fórmula aproximaa obemos uma variação e **0.0.4, bem próxima o valor real. Enão noamos que aproximações para variações nos valores e uma função nos ajuam a maner-nos informaos sobre os valores a função ao longo o empo. O lema e Io nos á esas variações quano as variáveis são esoásias, iso é, não eerminísias.

6 Apresenação o Lema e Io eja X um proesso esoásio esrio pela seguine equação inâmia: X µ (, X ) (, X ) W f : R eja uma função onínua e ifereniável. Enão vale que: f (, X R f f f ) (, X ) X X X Noe que o fao e X ser esoásio e em pariular epenene e um movimeno browniano nos á um ermo exra no que seria a fórmula e aylor usual para aproximação a variação e uma função.

7 Obeno-se uma areira insananeamene livre e riso Volano ao MGB: omene assumimos que o preço e uma opção, em um ao insane e empo, será uma função o preço a ação (nese insane) e o próprio insane e empo : Enão, apliano-se o lema e Io obemos: W µ ), ( W W µ µ

8 A Careira e Hege Enão, observano que oa a inereza no preço a opção e no preço a ação esá represenaa pelo ermo que oném o movimeno browniano, poemos monar uma areira que anule al efeio, por exemplo, omprano-se uniaes a ação e veneno-se uma uniae a opção. Como esa areira não apresena inereza, ela eve rener o mesmo que um aivo livre e riso. Mas ao mesmo empo a variação a areira é aa por: ubsiuino: Π r Π Π Π W W µ µ Π

9 A Fórmula e Blak & holes Combinano-se as equações aneriores obemos a seguine equação iferenial parial: Para uma opção e ompra que paga a solução é aa por: r r max( K,0) C r K N Ke N r ) ( ln ) ( ) (

10 O orriso a Volailiae A parir a fórmula e B&, e e aos observaos em merao para axa e juros, preço aual a ação, e preços para opções, é possível se inverer a fórmula obeno-se o que é hamao e volailiae implíia. O gráfio que relaiona, volailiae implíia (eixo y) om preços e exeríio e opções e ompra (eixo x), fixaos prazo e venimeno e aivo subjaene, é enominao sorriso a volailiae.

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