Tipos de Processos Estocásticos

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1 Mesrado em Finanças e Economia Empresarial EPGE - FGV Derivaivos Pare 7: Inrodução ao álculo Diferencial Esocásico Derivaivos - Alexandre Lowenkron Pág. 1 Tipos de Processos Esocásicos Qualquer variável cua mudança de valor ao é incera é dia uma variável aleaória. Um processo esocásico é uma sequência de variáveis aleaórias. Tempo discreo; variáveis discreas Árvores Mulinomiais Tempo discreo; variáveis conínuas VARs equações de diferença Tempo conínuo; variáveis discreas Tempo conínuo; variáveis conínuas Equações Diferenciais Esocásicas Mais realisa Podemos usar o arcabouço de cálculo que facilia a nossa vida para chegarmos em fórmulas fechadas Mas como há incereza emos que ver o que muda nas conas álculo esocásico! Derivaivos - Alexandre Lowenkron Pág. 1

2 Processos Markovianos Num processo de Markov movimenos fuuros numa variável depende apenas de onde esamos agora não de oda a hisória que nos roxe aé aqui EP 1 /P EP 1 / P P -1 P - e pensarmos em ermos de árvores um processo Markoviano esaria numa árvore recombinane. um processo não-markoviano esaria numa árvore não-recombinane. Vamos assumir que o processo esocásico do preço de uma ação é Markoviano. Em paricular vamos assumir que o processo esocásico dos reornos é um Processo de Wiener Movimeno Browniano. eus incremenos são normais não-correlacionados ompaível com a hipoese de eficiência de mercado e muio próximo das caracerísicas empíricas observadas. Derivaivos - Alexandre Lowenkron Pág. 3 Processo esocásico em empo conínuo: Exemplo Preço de uma ação hoe é $4 Variável conínua nua em empo discreo: Ao fim de um ano considera-se que ela erá disribuição de probabilidade φ41 onde φµ é a disribuição normal com média µ e desvio padrão. Perguna: Qual a disribuição de probabilidade do preço da ação ao final de anos? ½ ano? ¼ ano? ano? Tirando limie definimos uma variável conínua em empo conínuo. Derivaivos - Alexandre Lowenkron Pág. 4

3 Variâncias & Desvios Padrões Em processos de Markov mudanças em períodos sucessivos de empo são independenes Isso significa que as médias e as variâncias são adiivas. Mas desvios padrões não são adiivos: raiz quadrado da soma! Derivaivos - Alexandre Lowenkron Pág. 5 Processo de Wiener ou Brownian Moion onsideremos uma variável z cuo valor muda coninuamene A mudança num pequeno inervalo de empo é z Tal variável segue um precesso de Wiener ou Brownian Moion se: 1. z ε onde ε e' φ1. Os valores de z para quaisquer períodos disinos sem inerseção de empo são independenes Propriedades do Processo de Wiener Média de [z T z ] é Variância de [z T z ] é T Desvio Padrão de [z T z ] é T Derivaivos - Alexandre Lowenkron Pág. 6 3

4 Processo de Wiener generalizado No processo aé aqui apresenado a média da axa de drif mudança esperada por unidade de empo é zero e a variância é 1. Podemos generalizar... O processo de Wiener Generalizado em média não nula e variância diferene de 1. Derivaivos - Alexandre Lowenkron Pág. 7 Generalized Wiener Processes Variável x segue um proceso de Wiener generalizado com drif a e a axa de variância de b enão: dxa db dz Variação esperada média em x no inervalo de empo T: at Variância da variação em x no inervalo de empo T: b T Desvio padrão da variação em x no inervalo T é: b T Derivaivos - Alexandre Lowenkron Pág. 8 4

5 Processo Esocásico de Wiener Generalizado em Tempo onínuo Derivaivos - Alexandre Lowenkron Pág. 9 Processo de Iô Vamos formalizar melhor a definição: Precessos de Iô Na realidade nem o drif nem a difusão precisam ser consanes no empo. Versão discrea do processo generalizado: X k1 -X k µ k1 k k k1 k [z k1 z k ] X k1 -X k µ k1 k k k1 k z k omeçando em processo é markoviano emos: X k X k 1 µ X k 1 X z Derivaivos - Alexandre Lowenkron Pág. 1 5

6 Processo de Iô e Inegral de Iô Para chegar em empo conínuo: Tomamos o limie k A úlima expressão se orna: X X µ X ds X s Ese úlimo ermo é a inegral de Iô. Precisamos saber como manipular a a inegral de Iô para apreçar derivaivos. Usualmene a noação uilizada para descrever al processo é: s dz dx µ X d X dz s Derivaivos - Alexandre Lowenkron Pág. 11 Por que usar um processo de Iô e não um processo de Wiener para modelar a dinâmica do preço de uma ação? Impliciamene se usássemos o processo de Wiener Generalizado esaríamos forçando que a mudança no preço das ações permanecesse consane. Pelo menos a variação do preço da ação deve ser proporcional ao nível do preço daqui a um empo. Um exemplo do mais simples dos processos de Iô a serem ulizados: d µ d dz Noe que o drif não é consane: Nem a difusão: µ Derivaivos - Alexandre Lowenkron Pág. 1 6

7 Obervação: imulação de Mone arlo de um processo de Iô Podemos discreizar o processo para enender o que ele significa. µ ε ea T 1 ano e vamos dividir o ano em 1 inervalos. uponha µ.14.. om os 1 inervalos:.1 Podemos ober N raeórias para os processos soreando valores ε normais 1 e usar em 34 imulação de Mone arlo 4 imulações.14. ε Tendência Traeória 1 Traeória Traeória 3 Traeória Derivaivos - Alexandre Lowenkron Pág álculo Diferencial Esocásico e o Lemma de Iô OK enão agora emos um modelo para o processo de uma ação ou qualquer aivo em empo conínuo. Bom por duas razões: Hipóese razoável para o processo de do preço da ações choques que aleram o preço como noícias sobre a firma e sobre a economia são conínuos e imprevisíveis. Respeira a hipóese dos mercados eficienes. Nos permie uilizar o insrumenal de álculo Diferencial Mas as ferramenas de álculo em que ser adapadas para raar a pare esocásica da equação.. Em paricular sabendo a lei de movimeno de como podemos achar a lei de movimeno de um derivaivo que dependa do aivo? Usando os resulados do Lema de Iô. Derivaivos - Alexandre Lowenkron Pág. 14 7

8 Expansão de Taylor Podemos usar a expansão de Taylor e para chegar a lei de movimeno de ½ ½ Em cálculo usual para pequenas variações odos os ermos de ordem superior d d dd d 3 d 3 ec.. poderiam ser ignorados. No enano agora em d há ermos esocásicos dw que não podem ser desconsiderados Derivaivos - Alexandre Lowenkron Pág. 15 Isomeria de Iô Em cálculo diferencial esocásico não podemos ignorar os ermos aleaórios de ordem. Inuição: d em mordem de grandeza d dw em ordem de grandeza dw dw em ordem de grandeza da variância de dw! Ou sea em ordem de grandeza d. Porano a regra que vamos usar será: d d. dw dw. d dw d Derivaivos - Alexandre Lowenkron Pág. 16 8

9 9 Derivaivos - Alexandre Lowenkron Pág. 17 Lema de Iô Usando o fao que só podemos ignorar ermos cruzados e de ordem superior a a expansão de Taylor fica: ubsiuindo para a expressão de como um processo de Iô. ubsiuindo na fórmula anerior ½ d d d d dz d d µ d dw d dw d d dw d d Io de isomeria pela mas ½ µ µ µ Derivaivos - Alexandre Lowenkron Pág. 18 Lema de Iô hegamos assim na formula final do Lema de Iô: Em paricular para o movimeno geomérico Browniano. o Lema de Iô fica: dz d d µ dw d d ½ µ dw d d µ ½

10 Lema de Iô mulidimensional e ivermos um processo que dependa de mais de um faor esocásico dz1 dz ec. e supusermos ainda que a correlação enre dzi e dz é ρi a isomeria de Iô será ausada para d d. dw i dw i. d i dw i d dw i dw ρ d i i i E enão usamos esa regra na expansão de Taylor mulivariada: d d d1 d... 1 ½ d1 ½ d... 1 d1 d... 1 Derivaivos - Alexandre Lowenkron Pág. 19 Exemplos Primeiro vamos resolver para o preço do aivo supondo a formulação geomérica para a dinâmica do aivo mas supondo que não há o ermo esocásico: d µd ou sea T s A forma geral da solução de um processo geomérico será exponencial como esa. Agora vamos usar os resulados do lema de Iô para provar o conrário. Que se o preço de um aivo segue uma disribuição log-normal al que e αtwt onde WT é normal T T d s µ s ds s e µ T Derivaivos - Alexandre Lowenkron Pág. 1

11 Vamos definir X αtwt e sabemos : mas e Exemplos Ou sea se emos d µd dw o resulado será: T e XT X dx αd dw f f d d dx X X d e X αd dw 1 d α d dw Onde XT é normal N[ µ-1/ T T ] Dizemos que T é lognormal. Queremos saber d fx.lema de Iô!! f 1/ dx X 1/ e X d Derivaivos - Alexandre Lowenkron Pág. 1 Exemplos 1. O preço de um fuuro de ação vence ndo em T G e r T dg µ r G d G dz. G ln dg µ d dz Derivaivos - Alexandre Lowenkron Pág. 11