A entropia de uma tabela de vida em previdência social *

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1 A enropia de uma abela de vida em previdência social Renao Marins Assunção Leícia Gonijo Diniz Vicorino Palavras-chave: Enropia; Curva de sobrevivência; Anuidades; Previdência Resumo A enropia de uma abela de vida foi inroduzida por Keyfiz e corresponde à elasicidade da epecaiva de vida com respeio a uma mudança uniforme das aas de moralidade específicas por idade. Nós esendemos ese conceio de enropia para os valores presenes auariais de anuidades e seguros de vida ineira. Eses valores são funções derivadas da abela de vida e que são de relevância para a Previdência Social.. A enropia auarial é uma medida resumo do impaco que mudanças na esruura de moralidade causam nos valores auariais relevanes para a previdência social. Apresenamos as propriedades maemáicas da enropia auarial e mosramos como elas podem ser usadas para esudar o impaco do envelhecimeno populacional nas reservas auariais. É possível mosrar que, se comparados com os impacos já ocorridos, o impaco marginal fuuro de reduções adicionais na moralidade será pequeno. Desa forma, o risco adicional de chegarmos a uma crise no mercado previdenciário devido ao incremeno da sobrevivência não deve ser considerado muio grande. Qualquer análise deve focar mais sobre os impacos decorrenes das mudanças ocorridas nas úlimas décadas do que sobre os impacos de mudanças ainda por ocorrer. Trabalho apresenado no XVI Enconro Nacional de Esudos Populacionais, ABEP, realizado em Caambú- MG Brasil, de 29 de seembro a 3 de ouubro de 28. Deparameno de Esaísica Universidade Federal de Minas Gerais Deparameno de Esaísica Universidade Federal de Minas Gerais 1

2 A enropia de uma abela de vida em previdência social Renao Marins Assunção Leícia Gonijo Diniz Vicorino Inrodução Keyfiz (1977) inroduziu a medida de enropia de uma disribuição de sobrevivência. Ela equivale à elasicidade da epecaiva de vida com respeio a uma mudança uniforme das aas de moralidade específicas por idade. A imporância dessa mensuração se deve à possibilidade do esudo da conveidade e dispersão da curva de sobrevivência ao longo de vários períodos com base em um único parâmero para represenar esses aspecos da moralidade. Nossa proposa é esender o conceio de enropia para valores derivados da abela de vida e que sejam de relevância para a previdência social. Eses valores são os resulados de cálculos da enropia apresenada por Keyfiz relacionando-a com cálculos de valores presenes auariais de anuidades e seguros de vida ineira. Para ano, apresenamos as propriedades maemáicas dessas medidas-resumo verificando como elas podem ser usadas para esudar o impaco do envelhecimeno populacional no cálculo auarial. 1. Enropia de Keyfiz Considere a força de moralidade á idade como μ( ) e seja l a função sobrevivência correspondene. Suponha uma variação ξ nesa moralidade, afeando uniformemene odas as idades. Enão eremos uma nova força de moralidade μ ( ) dada por μ ( ) = μ( )(1 + ξ ). Essa mudança implica em uma nova função de sobrevivência l dada por ( a)(1 ) da 1 l e l e a nova epecaiva de vida ao nascer é igual a μ ξ ξ = =, 1+ ξ e = l d. O impaco de um pequeno incremeno ξ na epecaiva de vida, pode ser resumido pela derivada da epecaiva de vida e em relação à variaçãoξ avaliada no pondo ξ =. A enropia, denoada por H, é definida como: Trabalho apresenado no XVI Enconro Nacional de Esudos Populacionais, ABEP, realizado em Caambú- MG Brasil, de 29 de seembro a 3 de ouubro de 28. Deparameno de Esaísica Universidade Federal de Minas Gerais Deparameno de Esaísica Universidade Federal de Minas Gerais 2

3 [ln l ] ld de H = =. d ld ξ ξ = Goldman (1986), forneceu uma inerpreação dessa medida que auilia no seu uso e no esudo comparaivo de vários regimes de moralidade. Mais especificamene, pode-se mosrar que H ded ded e ld = =. H é uma média ponderada do empo de vida resane e à idade. Se o empo médio de vida fuuro levado em consideração for superior à epecaiva de vida ao nascer, seria possível ober um valor para a enropia superior à unidade e é esse um dos desaques que Goldman fornece ao seu esudo. 2. Medida de enropia de anuidades Hacker (1987) chamou a aenção para a possibilidade de definir medidas de enropia diferenes de H. Nese rabalho, ineressa-nos definir uma medida similar à da enropia para o impaco de uma mudança infiniesimal na esruura de moralidade. Enreano, ao invés de medir o impaco dessa mudança na epecaiva de vida, vamos considerar qual é o impaco no valor presene auarial de uma anuidade vialícia. Como as anuidades são as epressões maemáicas das pensões e aposenadorias, esa nova medida será de ineresse para auários e demógrafos. Seja δ a aa de juros insanânea anual, v= e o faor de descono anual e seja T() o empo aleaório de sobrevida de um individuo que hoje em idade. Considere uma anuidade que paga à aa de 1 u.m. por ano coninuamene aé o falecimeno desse indivíduo. O valor aleaório do fluo de pagamenos é dado por T ( ) vd (2.1) O chamado Valor Presene Auarial (VPA) da anuidade é o valor esperado do fluo aleaório de pagamenos em (2.1) e é dado por 3

4 _ a = e p d onde p = l l +. Vamos considerar dois cenários para uma mudança na moralidade. Um deles vai supor uma mudança relaiva consane. O ouro vai supor uma mudança que implica num deslocameno horizonal da curva μ ( ). 2.1 Mudança relaiva consane Suponha que a moralidade sofra uma aleração passando de μ ( ) para μ( ) ξ. Enão o novo VPA será igual à, δ 1+ ξ a = e p d. Para deerminar o efeio dessa mudança da moralidade no valor do VPA emos: e porano a mudança relaiva em a é dada por da δ 1+ ξ = e ln( p) p d dξ, e ln( p) pd Δa a e pd ξ = H ξ, a e ln( p) pd onde H a = e pd Observe que, assim como Goldman em seu esudo sobre enropia, podemos definir a enropia de anuidades como uma média ponderada dos logarimos naurais das probabilidades de sobrevivência uilizadas com peso equivalene à e p. Ou seja, a enropia de anuidades leva em consideração o faor de descono auarial no empo. Uma inerpreação mais eórica pode ser visa á parir das derivações da fórmula de H a e de H de Keyfiz. Considere T = min{ T( ), Y}, onde Y é uma variável aleaória com disribuição eponencial com parâmenro δ e independene de T( ). Enão a sobrevivência S () de T será 4

5 igual a S () e para maior que zero. Se aplicássemos os cálculos de Keyfiz para essa sobrevivência S () oberíamos H Keyfiz T = log( e p ) e p d e p d H Keyfiz T δ e e pd p d = + Ha Como 2 ( ) 2 ( ) EX = S d se PX> ( ) = 1, enão H 2 Keyfiz et ( ) T = + Ha. 2( et ) H a de uma anuidade vialícia é o mesmo que a enropia de Keyfiz para Dessa forma, a enropia T adicionada de uma medida de variabilidade relaiva de 2.2 Mudança por defasagem na idade Oura possibilidade é supor que a moralidade varia de μ ( ) para μ ( ) = μ( ξ). Nese caso a mudança pode ser inerpreada da seguine forma: a moralidade hoje para um indivíduo com idade deve ser considerada como a moralidade de onem para um indivíduo com idade -ξ, inferior à (caso ξ ). Em geral, nese ipo de variação, a moralidade decresce com o empo e por iso omamos ξ posiivo. Os cálculos se diferenciam dos aneriores. Observe que se T. μ ( ) = μ ( ξ ) com ξ ; e a = e p d com p = e μ ( + ydy ) μ ( + y) dy μ( ε+ y) dy p e e p,enão = = =. ξ O novo valor do VPA da anuidade vialícia para () é igual a: 5

6 = = ξ = ξ. a e p d e p d a Mais uma vez queremos observar o efeio da variação ξ no valor do VPA, Porano, emos que: ( ) = e d dξ dξ = dξ da da ξ d p ξ δ a A μ( ) a δξ =. 3. Cálculo de enropia em alguns casos Os dados demográficos da Suécia são de muio boa qualidade e esa população sofreu uma grande variação na sua epecaiva de vida ao longo do século XX. Nós vamos usá-la para ilusrar nossos méodos.os dados foram obidos no Human Moraliy Daabase (hp:// Considerando as definições de enropia apresenadas, podemos fazer um breve esudo do comporameno da curva de sobrevivência. Tomemos como base os anos de 193, 1953, 1998 e 26. População feminina da Suécia. Relação idade e sobrevivência l/ Idades Noa-se uma clara ransformação, principalmene quano a reangularização da curva de sobrevivência ao longo dos anos. Como mensuração dessas variações, emos os valores de enropia que foram calculados de acordo com a fórmula fornecida por Goldman, que raa a enropia como uma média ponderada de ln l a. 6

7 Tabela 1 Enropia na Suécia Ano Enropia (H) É níida a convergência monoônica da enropia para um valor próimo de zero. Ou seja, à medida que os anos passam a melhoria na sobrevivência coninua aparecendo, porém de forma cada vez menos acenuada. Ou seja, o efeio anual da mudança da moralidade na epecaiva de vida foi senido mais no passado que nos dias auais. 4. Avaliações das hipóeses do modelo Para que calcular as enropias de anuidades é necessário avaliar as suposições feias a respeio das variações de moralidade ao longo do empo. A primeira delas diz que se μ ( ) é a força de moralidade, enão uma mudança decorrene de deerminada variação ξ seria dada por uma nova força de moralidade dada por μ( )(1 + ξ ). A avaliação foi feia aravés do uso de ábuas de moralidade de períodos diferenes. A primeira delas AT 83 com base no ano de 1983 e a segunda referene a um período mais recene, AT 2, calculada com base no ano de 2. Se a hipóese fosse considerada verdadeira deveríamos enconrar uma relação linear enre as aas de ambas as ábuas com inclinação próima de 1+ ξ. Ploando os valores, nos gráficos abaio, e aplicando um modelo de regressão linear simples verificamos que esa hipóese pode ser considerada como uma aproimação razoável para o caso feminino e uma aproimação grosseira para o caso masculino. 7

8 Relação enre as Moralidades Femininas das Tábuas AT83 e a AT2 Moralidade AT Moralidade AT 83 Relação enre as Moralidades Masculinas das Tábuas AT83 e a AT2 Moralidade AT Moralidade AT 83 Esendendo a avaliação para o caso da Suécia esudando os anos de 1998 e 26, enconramos o resulado abaio, que se assemelha com os aneriores, ou seja, a hipóese ambém pode ser considerada verdadeira nese caso. 8

9 Relação enre as Moralidades femininas da Suécia nos anos de 1998 e 26 Moralidade 26 q() Moralidade 1998 q() A segunda hipóese a ser esada diz que M() = M(+ξ ). A avaliação da hipóese foi feia para o caso feminino com as abelas AT 83 e AT 2, para os dados da Suécia e valores de ξ iguais à um e dois. Pelos gráficos abaio foi possível noar que para ξ =1 a hipóese parece ser razoável para a mudança da moralidade feminina das ábuas AT83 e AT2, mas não nos ouros casos e porano pode ser uilizada ano quano a hipóese anerior. Relação enre as Moralidades femininas das Tábuas AT83 e AT2 Moralidade AT Moralidade AT83 q(-1) 9

10 Relação enre as Moralidades femininas das Tábuas AT83 e AT2 Moralidade AT Moralidade AT83 q(-2) Relação enre as moralidades femininas da Suécia nos anos de 1998 e 26 Moralidade 26 q() Moralidade 1998 q(-1) 1

11 Relação enre as moralidades femininas da Suécia nos anos de 1998 e 26 Moralidade 26 q() Moralidade 1998 q(-2) 5.Cálculo de enropia de anuidades em alguns casos Viso que as suposições de moralidade aneriormene analisadas podem ser adoadas em alguns caso,, vejamos o resulado da enropia de anuidades para a Suécia nos anos já referidos. Suponha uma aa de juros (δ ) em orno de 5% e a população feminina da Suécia, emos: Ha para 193 Ha para 1953 h h idade idade Ha para 1998 Ha para 26 h h idade idade 11

12 Observe que a o valor da enropia vai diminuindo ao longo do empo, convergindo para zero, na maior pare das idades. A enropia, nese caso, represena a gradaiva melhora na curva de sobrevivência dada a diminuição na moralidade. Porém, é possível mosrar novamene que, se comparados com os impacos já ocorridos, os impacos mais recenes de reduções na moralidade são menores. 6. Conclusões Finais Nesse arigo, esendemos o conceio de enropia de Keyfiz para anuidades (aposenadorias e pensões vialícias). Esa medida mosra que se comparados com os impacos já ocorridos, o impaco marginal fuuro de reduções adicionais na moralidade serão menores nesses valores auariais. É possível que o risco adicional de chegarmos a uma crise no mercado previdenciário devido ao incremeno da sobrevivência não seja muio grande.nesse caso, qualquer análise deve focar sobre os impacos decorrenes das mudanças ocorridas nas úlimas décadas e não sobre os impacos de mudanças fuuras. Esamos no momeno invesigando essas possíveis conseqüências de nossa proposa. 12

13 Referências GOLDMAN, N., and J. W. Lord A new look a enropy and life able. Demography 23: ; HAKKERT, R Life Table ransformaions and inequaliy measures: some noeworhy formal relaionships. Demography 24: KEYFITZ, N. Applied Mahemaical Demography. 2ª edição. Springer Science + Business Media, Inc, 25. Human Moraliy Daabase Disponível em < hp:// > Acessado em 7 abril