MATEMÁTICA APLICADA AO PLANEJAMENTO DA PRODUÇÃO E LOGÍSTICA. Silvio A. de Araujo Socorro Rangel

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1 MAEMÁICA APLICADA AO PLANEJAMENO DA PRODUÇÃO E LOGÍSICA Silvio A. de Araujo Socorro Rangel saraujo@ibilce.unesp.br, socorro@ibilce.unesp.br Apoio Financeiro:

2 PROGRAMA Inrodução 1. Modelagem maemáica: conceios básicos 2. Problemas clássicos de logísica 3. O problema de dimensionameno de loes 4. O problema de sequenciameno de arefas 5. O problema inegrado de dimensionameno e sequenciameno de loes 6. Ouros problemas inegrados Considerações Finais

3 PROGRAMA Inrodução 1. Modelagem maemáica: conceios básicos 2. Problemas clássicos de logísica 3. O problema de dimensionameno de loes 4. O problema de sequenciameno de arefas 5. O Problema Inegrado de dimensionameno e sequenciameno de loes 6. Ouros problemas inegrados Considerações Finais

4 PROGRAMA Inrodução 1. Modelagem maemáica: conceios básicos 2. Problemas clássicos de logísica 3. O problema de dimensionameno de loes (PDL) OO problema PDL monoeságio de sequenciameno único-iemde arefas OMéodos Problema básicos Inegrado de solução de dimensionameno e sequenciameno de loes Ouros Reformulações problemas inegrados Considerações O PDL monoeságio Finais muli-iens 3.5 O PDL mulieságio

5 3. O Problema de Dimensionameno de Loes Moivação Exisem duas maneiras de aumenar a eficiência de uma loja, empresa, ou indúsria: melhoria ecnológica, ou seja, aualização dos equipamenos, mudança ecnológica, descobera de novos ipos de maéria prima. A oura maneira, aé hoje muio menos uilizada, envolve melhorias na organização do planejameno da produção (Kanarovich (1939))

6 3. O Problema de Dimensionameno de Loes O Planejameno e Programação da Produção é responsável pela coordenação de odas as aividades do processo produivo, desde a aquisição das maérias-primas aé a enrega dos produos. O planejameno esraégico: meas globais, longo prazo (por exemplo: insalação de fábricas e compra de equipamenos). O planejameno áico: caminhos para cumprir o planejameno esraégico; decisões de médio prazo (por exemplo: plano de produção ao longo de um horizone de empo e manuenção de máquinas). O planejameno operacional: decisões do dia-a-dia; programação dealhada da produção (por exemplo: sequenciar os pedidos nos cenros de rabalho e programar a disribuição).

7 3. O Problema de Dimensionameno de Loes Definição - deerminar a quanidade de iens a ser produzida em uma ou várias máquinas, em cada período, de modo saisfazer deerminadas resrições e a aender uma cera demanda oimizando uma função objeivo (por exemplo, minimizar cusos) - Problema de planejameno da produção em nível áico

8 Elemenos Conhecidos: - Considere um horizone de planejameno de períodos. No qual se deve planejar a produção de um único iem. -Dados: 3. O Problema de Dimensionameno de Loes 3.1 O PDL monoeságio único-iem - d demanda no período - S cuso fixo para produzir no período (cuso de preparação) - c cuso uniário de produção no período - H cuso uniário de esocagem no período - Considere M um número grande Como deerminar a quanidade que deve ser produzida em cada período de forma a aender a demanda com cuso mínimo?

9 3. O Problema de Dimensionameno de Loes Elemenos Conhecidos: 3.1 O PDL monoeságio único-iem Considere o seguine exemplo: Cera indúsria de moveis, que fabrica um deerminado ipo de guarda-roupa, deseja fazer um planejameno da produção para um horizone de quaro dias (=4) - Sabe-se que a demanda para eses quaro dias será de d 1 =104, d 2 =174, d 3 =46 e d 4 =112 unidades. - Suponha que a firma faça no máximo uma preparação de máquina a cada dia e que não haja resrição de capacidade de produção. -O cuso para preparar a máquina é de S = $150,00 (=1,...,4) por preparação e cuso de esoque é H = $2,00 (=1,...,4) por unidade esocada a cada dia. Considere ainda, que o cuso uniário para produzir uma unidade é c =1 (=1,...,4). Como deerminar a quanidade que deve ser produzida em cada período de forma a aender a demanda com cuso mínimo?

10 3. O Problema de Dimensionameno de Loes 3.1 O PDL monoeságio único-iem Elemenos Desconhecidos: -Como deerminar a quanidade que deve ser produzida em cada período de forma a aender a demanda com cuso mínimo? - Quano produzir a cada dia? - Quano esocar a cada dia? - Em quais dias as máquinas serão preparadas? Função objeivo: Minimização dos cusos de produção esoque e preparação das máquinas. Resrições: - Aendimeno a demanda; - As máquinas devem ser preparadas sempre que há produção

11 Elemenos desconhecidos: Variáveis (para =1,..., ) - X = quanidade produzida no período - I = quanidade esocada no período - 3. O Problema de Dimensionameno de Loes 3.1 O PDL monoeságio único-iem Y 1, se houver produção no período = 0, caso conrário

12 3. O Problema de Dimensionameno de Loes 3.1 O PDL monoeságio único-iem Elemenos desconhecidos: Variáveis (para =1,..., ) - X = quanidade produzida no período - I = quanidade esocada no período 1, se houver produção no período - Y = 0, caso conrário - Formulação (Função Objeivo e Resrições): min = 1 H I = 1 c X Sujeio a : I 1 X I = d = 1,..., X MY 0 = 1,..., Y { 0,1} = 1,..., X e I 0 = 1,..., = 1 S Y

13 Função Objeivo min = 1 Índices: H = 1 =1,..., períodos I c X = 1 S Y Dados: S cuso de preparação H cuso uniário de esocagem c cuso uniário de produção Variáveis: I esoque no final do período X produção do período Y indica se é cobrado cuso de preparação no período

14 Função Objeivo (Exemplo) min = 1 H I = 1 c X = 1 S Y Elemenos Conhecidos H =1 =2 =3 = c =1 =2 =3 = Elemenos Desconhecidos S =1 =2 =3 = I =1 =2 =3 =4???? X =1 =2 =3 =4???? Y =1 =2 =3 =4???? min=2i 1 2I 2 2I 3 2I 4 1X 1 1X 2 1X 3 1X 4 150Y 1 150Y 2 150Y 3 150Y 4

15 3. O Problema de Dimensionameno de Loes 3.1 O PDL monoeságio único-iem Elemenos desconhecidos: Variáveis (para =1,..., ) - X = quanidade produzida no período - I = quanidade esocada no período 1, se houver produção no período - Y = 0, caso conrário - Formulação (Função Objeivo e Resrições): min = 1 H I = 1 c X Sujeio a : I 1 X I = d = 1,..., X MY 0 = 1,..., Y { 0,1} = 1,..., X e I 0 = 1,..., = 1 S Y

16 Balanceameno de Esoques I 1 X I = d =1,..., Índices: =1,..., períodos Dados: d demanda no período Variáveis: I esoque no final do período X produção do período

17 Balanceameno de Esoques (Exemplo) I 1 X I = d =1,..., Elemenos Conhecidos (I 0 =0) d =1 =2 =3 = Elemenos Desconhecidos =1 0 X 1 I 1 = 104 =2 I 1 X 2 I 2 = 174 =3 I 2 X 3 I 3 = 46 =4 I 3 X 4 I 4 = 112 X =1 =2 =3 =4 X 1 X 2 X 3 X 4???? I I 0 =0 =1 1 I =2 2 I 3 =3 =4 I 4 I =1 =2 =3 =4 d 1 =104 d 2 =174 d 3 =46 d 3 =112????

18 3. O Problema de Dimensionameno de Loes 3.1 O PDL monoeságio único-iem Elemenos desconhecidos: Variáveis (para =1,..., ) - X = quanidade produzida no período - I = quanidade esocada no período 1, se houver produção no período - Y = 0, caso conrário - Formulação (Função Objeivo e Resrições): min = 1 H I = 1 c X Sujeio a : I 1 X I = d = 1,..., X MY 0 = 1,..., Y { 0,1} = 1,..., X e I 0 = 1,..., = 1 S Y

19 Preparação X MY 0 =1,..., Índices: =1,..., períodos Dados: M número grande (por exemplo M= ) Variáveis: X produção do período Y indica se é cobrado cuso de preparação no período = 1 d

20 X MY 0 =1,..., Elemenos Conhecidos Preparação (Exemplo) M número grande (por exemplo M= ) = 1 d Elemenos Desconhecidos X =1 =2 =3 =4???? Y =1 =2 =3 =4???? =1 X 1 MY 1 =2 X 2 MY 2 =3 X 3 MY 3 =4 X 4 MY 4

21 3. O Problema de Dimensionameno de Loes 3.1 O PDL monoeságio único-iem Consrução do Modelo: nese problema emos: elemenos conhecidos: d S c H elemenos desconhecidos: X I Y objeivo a ser alcançado: resrições: Sujeio a : min = 1 H I I 1 X I = d = 1,..., X MY 0 = 1,..., Y { 0,1} = 1,..., X e I 0 = 1,..., = 1 c X = 1 SY

22 - Função Objeivo e Resrições: Formulação para o Exemplo 3. O Problema de Dimensionameno de Loes 3.1 O PDL monoeságio único-iem 1,...,4 0 1,...,4 {0,1} 1,..., : = = = = = = = = = = = = = = I e X Y MY X I X I I X I I X I I X I a Sujeio Y X I Min

23 Min 2I 1 2I 2 2I 3 2I 4 1X 1 1X 2 1X 3 1X 4 150Y 1 150Y 2 150Y 3 150Y 4 Sujeio a: I 0 X 1 I 1 =104 =1 I 1 X 2 I 2 =174 =2 I 2 X 3 I 3 =46 =3 I 3 X 4 I 4 =112 =4 X 1 -MY 1 0 =1 X 2 -MY 2 0 =2 X 3 -MY 3 0 =3 X 4 -MY 4 0 =4 Y 1 {0, 1} =1 Y 2 {0, 1} =2 Y 3 {0, 1} =3 Y 4 {0, 1} =4 X 1 e I 1 0 =1 X 2 e I 2 0 =2 X 3 e I 3 0 =3 X 4 0 =4 I 0 =0 e I 4 =0

24 3. O Problema de Dimensionameno de Loes 3.2 Méodos básicos de solução - Diferenes méodos de solução foram desenvolvidos para os vários modelos que serão apresenados; - A maioria deses méodos envolvem complexos conceios maemáico/compuacionais e não serão raados nese curso. - Exisem ainda pacoes compuacionais, os quais êm méodos embuidos e podem ser uilizados para resolver problemas com mais facilidade - Embora não seja o enfoque desde exo apresenamos alguns méodos básicos de solução para problemas de dimensionameno de loes com um único iem sem resrição de capacidade.

25 Loe-por-loe: A produção visa aender a demanda de apenas um período; Início para =1,..., faça X =d Fim 3. O Problema de Dimensionameno de Loes 3.2 Méodos básicos de solução Exercício: fazer os cálculos para o nosso exemplo

26 3. O Problema de Dimensionameno de Loes Heurísica de Silver-Meal: Início Faça: C(1)=S 1 =1, =2 Enquano faça Calcule: C() = 3.2 Méodos básicos de solução Se C() > C(-1) Enão: X = d d 1... d -1 ; = Se = enão X =d =1 Fim do Enquano Fim S 1 H1d 2 ) ( H1 H2) d3.. ( H1 H2.. H 1 d

27 3. O Problema de Dimensionameno de Loes Heurísica do cuso uniário mínimo : Início Faça: C(1)=S 1 =1, =2 Enquano faça Calcule: C() = 3.2 Méodos básicos de solução H d Se C() > C(-1) Enão: X = d d 1... d -1 ; = Se = enão X =d =1 Fim do Enquano Fim S H H d ( 1 2) 3.. ( ) j= 1 d j H H H d

28 3. O Problema de Dimensionameno de Loes 3.2 Méodos básicos de solução O méodo óimo de Wagner e Whiin (1958): exise uma políica óima que somene produz quando o nível de esoque for zero (I -1 X =0). X 1 = d 1 ou X 1 = d 1 d 2 ou X 1 = d 1 d 2... d X 2 = 0 ou X 2 = d 2 ou X 2 = d 2 d 3 ou X 2 = d 2 d 3... d X = 0 ou X = d

29 3. O Problema de Dimensionameno de Loes 3.2 Méodos básicos de solução O méodo óimo de Wagner e Whiin: C 15 C 14 C C 12 C 23 C 34 C 45 C 24 C 35 O arco arc (,j) para <j esá associado ao cuso oal (C,j ) para produzir uma quanidade que aenda as demandas do período aé o período j-1 Exemplo: C 1,5 = cuso oal para produzir no período 1 uma quanidade que saisfaça as demandas do período 1 aé o período 4. C 25

30 3. O Problema de Dimensionameno de Loes 3.2 Méodos básicos de solução O méodo uiliza a seguine fórmula recursiva: f = min ( C, j f j ) para = 1,..., j> Condição final: f 1 = 0 Onde: C,j =S H d (H H 1 )d 2 (H H 1 H 2 )d 3...(H H 1...H j-2 )d j-1 para = 1, 2,..., e j = 1, 2,..., (1).

31 3. O Problema de Dimensionameno de Loes O méodo óimo de Wagner e Whiin: Para o nosso exemplo em-se: =1, 2, 3, 4 e j=2, 3, 4, Méodos básicos de solução C 15 C 14 C 13 1 C C 23 C 34 C 45 C 1,2 = 150 C 1,3 = x 174 = 498 C 1,4 = x [174 (46 x 2)] = 682 C 1,5 = x [174 (46 x 2) (112 x 3)] = 1354 C 2,3 = 150 C 2,4 = x 46 = 242 C 2,5 = x [46 (112 x 2)] = 690 C 3,4 = 150 C 3,5 = x 112 = 374 C 4,5 = 150 C 24 C 25 C 35

32 O méodo óimo de Wagner e Whiin: - próximo passo: ober o cuso mínimo de planejameno para cada período aravés da aplicação da fórmula anerior: f 5 = 0 f 4 = min ( C 4, j f j ) = min ( C 4,5 f 5 ) = 150 (nese caso só há uma opção) j> 4 - o mínimo ocorre em j = 5 min ( C, 3,4 4 f 3 = 3 j j = min = min = min = 300 j > 3 - o mínimo ocorre em j = 4 min ( C, f 2 = 2 j j = min C 2,4 f4 = = min 392 = 392 j> 2 - o mínimo ocorre em j = 4 1,3 3 f 1 = min ( C 1, j f j ) = min = min = = 542 j > 1 - o mínimo ocorre em j = 2 f f ) ) C C C C C C C C 3,5 2,3 2,5 1,2 1,4 1,5 f f f f f f f f min min

33 3. O Problema de Dimensionameno de Loes 3.2 Méodos básicos de solução O méodo óimo de Wagner e Whiin: políica de produção óima: basa verificar os cálculos: -no período 1 o valor óimo de j é j = 2 logo X 1 =d 1 = 104; -no período 2 o valor óimo de j é j = 4 logo X 2 =d 2 d 3 =17446 =220 -no período 4 o valor óimo de j é j = 5 logo X 4 =d 4 =112. -Assim, a políica óima para ese exemplo pode ser denoada por X=(104, 220, 0, 112). C 15 C 14 C 13 1 C C 23 C 34 C 45 C 24 C 35 C 25

34 3. O Problema de Dimensionameno de Loes 3.3 Reformulações Apresenaremos duas reformulações para o problema de dimensionameno de loes, são elas: Reformulação como um problema do caminho mínimo; Reformulação como um prob. de localização de facilidades; - Observa-se que ermos de limianes inferiores, obidos pela relaxação linear, ambas as formulações são mas fores que a formulação clássica visa aneriormene;

35 3. O Problema de Dimensionameno de Loes 3.3 Reformulações Reformulação como um problema do caminho mínimo - a propriedade de oimalidade de WW (I -1 X =0) da origem a inerpreação do problema como um problema de caminho mínimo. - uma formulação como um problema de caminho mínimo é apresenada a seguir Cv 15 CV 14 CV CV CV CV 34 CV 45 CV 24 CV 35 CV 25

36 3. O Problema de Dimensionameno de Loes 3.3 Reformulações Reformulação como um problema do caminho mínimo

37 3. O Problema de Dimensionameno de Loes 3.3 Reformulações Reformulação como um problema do caminho mínimo - Exemplo: cv 14 = H 1 d 2 H 1 d 3 H 2 d 3 Cv 15 CV 14 CV CV CV CV 34 CV 45 CV 24 CV 35 CV 25

38 3. O Problema de Dimensionameno de Loes 3.3 Reformulações Reformulação como um problema do caminho mínimo - Nova variável: para represenar o uso ou não da aresa z k : indica se a aresa (,k) que represena a produção no período para saisfazer a demanda do período aé o período k-1 será usada (z k =1), ou não (z k =0). - Observe que a solução para a formulação clássica pode ser recuperada por: Exemplo: X = 1 k 1 ( τ z k k= τ = X 1 =d 1 z 12 d 1 z 13 d 2 z 13 d 1 z 14 d 2 z 14 d 3 z 14 d 1 z 15 d 2 z 15 d 3 z 15 d 4 z 15 d )

39 3. O Problema de Dimensionameno de Loes 3.3 Reformulações Reformulação como um problema do caminho mínimo Considere a função objeivo: - inclui um cuso fixo de uilização da aresa para represenar o preparo da linha de produção no período. - Assim, além da soma dos cusos das aresas, como e usual no problema de caminho mínimo, consideramos ambém a soma dos cusos fixos de uilização das aresas.

40 3. O Problema de Dimensionameno de Loes 3.3 Reformulações Reformulação como um problema do caminho mínimo Considere a função objeivo: Exemplo: Min S 1 Y 1 cv 12 z 12 cv 13 z 13 cv 14 z 14 cv 15 z 15 S 2 Y 2 cv 23 z 23 cv 24 z 24 cv 25 z 25 S 3 Y 3 cv 34 z 34 cv 35 z 35 Cv 15 CV 14 S 4 Y 4 cv 45 z CV CV 12 2 CV 23 3 CV 34 4 CV 45 CV 24 CV 35 CV 25

41 3. O Problema de Dimensionameno de Loes 3.3 Reformulações Reformulação como um problema do caminho mínimo Considere as resrições de aendimeno a demanda: - As resrições de conservação de fluxo a seguir garanem o aendimeno da demanda de odos os períodos

42 3. O Problema de Dimensionameno de Loes 3.3 Reformulações Reformulação como um problema do caminho mínimo Considere as resrições de aendimeno a demanda: - Exemplo: z 12 z 13 z 14 z 15 =1 Cv 15 CV 14 z 12 = z 23 z 24 z 25 z 13 z 23 = z 34 z 35 z 14 z 24 z 34 = z 45 CV CV CV CV 34 CV 45 CV 35 CV 24 CV 25

43 3. O Problema de Dimensionameno de Loes 3.3 Reformulações Reformulação como um problema do caminho mínimo Considere as resrições de preparação da linha de produção: - é necessário garanir que uma aresa (,k) é incluída no caminho deve-se pagar pelo preparo da linha de produção no período

44 3. O Problema de Dimensionameno de Loes 3.3 Reformulações Reformulação como um problema do caminho mínimo Considere as resrições de preparação da linha de produção: -Exemplo: z 12 z 13 z 14 z 15 Y 1 z 23 z 34 z 35 Y 2 z 24 z 25 Y 3 z 45 Y 4

45 3. O Problema de Dimensionameno de Loes 3.3 Reformulações Reformulação como um problema do caminho mínimo

46 3. O Problema de Dimensionameno de Loes 3.3 Reformulações Reformulação como um problema localização de facilidades - Uma esraégia similar a usada aneriormene é usada para ober a reformulação baseada no problema de localização de facilidades; - O problema e represenado por uma rede G(V;A) com V = vérices, e a aresa (,k) A, represena um percenual da demanda do período k (cliene k) aendida pela produção no período (facilidade insalada no local ).

47 3. O Problema de Dimensionameno de Loes 3.3 Reformulações Reformulação como um problema localização de facilidades

48 3. O Problema de Dimensionameno de Loes 3.3 Reformulações Reformulação como um problema localização de facilidades Exemplo: cv 14 = H 1 d 4 H 2 d 4 H 3 d 4

49 3. O Problema de Dimensionameno de Loes 3.3 Reformulações Reformulação como um problema localização de facilidades - Nova variável: para represenar o uso ou não da aresa z k : indica se a aresa (,k) que represena a produção no período para saisfazer a demanda do período k será usada ( z =1), ou não ( z =0). k - Observe que a solução para a formulação clássica pode ser recuperada por: Exemplo: X 1 =d 1 z 11 d 2 z 12 d 3 z 13 d 4 z 14 k X = k= d k z k

50 3. O Problema de Dimensionameno de Loes 3.3 Reformulações Reformulação como um problema localização de facilidades

51 3. O Problema de Dimensionameno de Loes 3.3 Reformulações Reformulação como um problema localização de facilidades Considere a função objeivo: - inclui um cuso fixo de insalação da facilidade para represenar o preparo da linha de produção no período. Exemplo: Min S 1 Y 1 cv 11 z 11 cv 12 z 12 cv 13 z 13 cv 14 z 14 S 2 Y 2 cv 22 z 22 cv 23 z 23 cv 24 z 24 S 3 Y 3 cv 33 z 33 cv 34 z 34 S 4 Y 45 cv 44 z 44

52 3. O Problema de Dimensionameno de Loes 3.3 Reformulações Reformulação como um problema localização de facilidades Considere as resrições de aendimeno a demanda: - As resrições a seguir garanem o aendimeno da demanda de odos os períodos =1,..., Exemplo: z 11 =1 z 12 z 22 =1 z 13 z 23 z 33 =1 z 14 z 24 z 34 z 44 =1

53 3. O Problema de Dimensionameno de Loes 3.3 Reformulações Reformulação como um problema localização de facilidades Considere as resrições de preparação da linha de produção: - é necessário garanir que quano se aende a parir de uma facilidade deve-se pagar pelo preparo da linha de produção no período =1,..., k=,..., Exemplo: z 11 Y 1 z 22 Y 2 z 33 Y 3 z 44 Y 4 z 12 Y 1 z 23 Y 2 z 34 Y 3 z 13 Y 1 z 24 Y 2 z 14 Y 1

54 3. O Problema de Dimensionameno de Loes 3.3 Reformulações Reformulação como um problema localização de facilidades

55 3. O Problema de Dimensionameno de Loes 3.4 O PDL monoeságio muli-iens Resrição de Capacidade e empo de Preparação Elemenos Conhecidos: - Considere um horizone de planejameno de períodos. No qual se deve planejar a produção de N iens. -Dados: - d i demanda do iem i no período - S i cuso fixo para produzir o iem i no período - c i cuso uniário de produção do iem i no período - H i cuso uniário de esocagem do iem i no período - Considere M um número grande

56 3. O Problema de Dimensionameno de Loes 3.4 O PDL monoeságio muli-iens Elemenos Conhecidos (coninuação): - Dados Adicionais: Resrição de Capacidade e empo de Preparação - b i empo necessário para a produção de uma unidade do iem i - s i empo necessário para a preparação da máquina para produção de do iem i - CAP capacidade de produção no período Como deerminar a quanidade que deve ser produzida de cada iem em cada período de forma a saisfazer as resrições de capacidade e aender a demanda com cuso mínimo?

57 3. O Problema de Dimensionameno de Loes 3.4 O PDL monoeságio muli-iens Resrição de Capacidade e empo de Preparação - Elemenos Desconhecidos: Variáveis (para i=1,..., N =1,..., ) : - X i = quanidade produzida do iem i no período - I i = quanidade esocada do iem i no período 1, se houver produção do iem i no Y i = 0, caso conrário período

58 3. O Problema de Dimensionameno de Loes 3.4 O PDL monoeságio muli-iens Resrição de Capacidade e empo de Preparação - Formulação: (Função Objeivo e Variáveis) min N = 1 i= 1 H i I i N c X i i = 1 i= 1 = 1 i= 1 N S i Y i Sujeio a: Ii, 1 Xi Ii = di i = 1,..., N = 1,..., N i= 1 N bi X i siyi CAP = 1,..., i= 1 X i MYi 0 i = 1,..., N = 1,..., Y i { 0,1} i = 1,..., N = 1,..., X i e Ii 0 i = 1,..., N = 1,...,

59 3. O Problema de Dimensionameno de Loes 3.4 O PDL monoeságio muli-iens Exemplo: Considere o Exemplo Anerior. - Suponha que, após uma pesquisa de mercado, a indúsria, adquira uma máquina e passe a oferecer 4 opções de cores diferenes de guarda-roupas. - Suponha ainda que a nova máquina enha limiação de capacidade. - Esender o Exemplo Anerior, considerando 4 ipos diferenes de produos, um para cada cor. - Deve-se adapar e invenar novos dados, por exemplo: a demanda 104 unidades, passa a ser 29 unidades de produos da cor 1 e, para produos das cores 2, 3 e 4 a demanda passa a ser de 25 unidades cada. -Após invenar novos dados deve-se reescrever o modelo de acordo com eses novos dados.

60 3. O Problema de Dimensionameno de Loes 3.4 O PDL mulieságio O problema de dimensionameno de loes muliésagio ocorre quando a produção de um iem depende da produção de ouros iens, conforme predecessores

61 3. O Problema de Dimensionameno de Loes 3.4 O PDL mulieságio Novo dado: r ij : quanidade de iens do ipo i necessária para compor uma unidade do iem j. Exemplo: r 21 =2 r 31 =3 r 43 =1 r 42 =2

62 3. O Problema de Dimensionameno de Loes 3.4 O PDL mulieságio Novo dado: r ij : quanidade de iens do ipo i necessária para compor uma unidade do iem j. Nova resrição de balanceameno de esoques: Exemplo i=4, =2 X 42 I 41 - I 42 =d 42 r 42 X 22 r 43 X 32

63 3. O Problema de Dimensionameno de Loes 3.4 O PDL mulieságio

64 Obrigado!!!!