Modelagem e Previsão do Índice de Saponificação do Óleo de Soja da Giovelli & Cia Indústria de Óleos Vegetais

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1 XI SIMPEP - Bauru, SP, Brasil, 8 a 1 de novembro de 24 Modelagem e Previsão do Índice de Saponificação do Óleo de Soja da Giovelli & Cia Indúsria de Óleos Vegeais Regiane Klidzio (URI) gep@urisan.che.br Suzana Leião Russo (URI) jss@urisan.che.br Maria Emília Camargo (UCS) kamargo@erra.com.br Resumo Nese rabalho, mosraremos a aplicação da meodologia de Box e Jenkins na série represenaiva do índice de saponificação medido durane a análise do produo óleo de soja da Giovelli & Cia Indúsria de Óleos Vegeais no período de 1º de abril a 8 de maio de 24. Realizou-se, num primeiro insane, uma análise gráfica dos dados, observando-se o comporameno dos dados originais e a função de auocorrelação. Depois de várias enaivas, o modelo enconrado para a série analisada foi o ARMA(1,1) que apresenou um erro de 6,9%, obido a parir do criério de validação uilizado. Palavras-Chave: Séries Temporais, Modelos Box e Jenkins, Modelos ARMA 1. Inrodução Denre os muios exemplos de novos méodos quaniaivos criados para simular a realidade e fazer previsões sobre o fuuro desaca-se a meodologia que os professores Box e Jenkins desenvolveram para analisar o comporameno de variáveis aravés de séries de empo. A análise de séries de empo, segundo a meodologia de Box e Jenkins (1976), em como objeivo principal a realização de previsão. Essa meodologia permie que valores fuuros de uma série sejam previsos omando por base apenas seus valores presenes e passados. Ese rabalho foi realizado em conjuno com a Giovelli & Cia Indúsria de Óleos Vegeais, que é uma empresa gaúcha localizada em Guarani das Missões/RS desinada a produção de óleos vegeais. Nese esudo serão analisados os dados diários referenes ao índice de saponificação medido durane a análise do óleo de soja no período de 1º de abril a 8 de maio de 24, uilizando-se a meodologia dos modelos Box e Jenkins a fim de fazer previsões a curo prazo. 2. Meodologia de Box e Jenkins Uma das caracerísicas fundamenais da Meodologia Box e Jenkins é inerprear uma dada série emporal como sendo uma realização de um processo esocásico. Box e Jenkins (1976) formalizaram a eoria da uilização de componenes auoregressivas e de médias móveis na modelagem de séries emporais uilizando-se de duas idéias básicas na criação de sua meodologia de consrução de modelos: 1. Parcimônia, que consise na uilização do menor número possível de parâmeros para ober uma represenação adequada no fenômeno em esudo; 2. Consrução ieraiva do modelo em que a informação empírica é analisada eoricamene sendo, o resulado dese eságio confronado com a práica e assim sucessivamene aé a obenção de um modelo saisfaório. O ciclo ieraivo uilizado para a análise de uma série emporal aravés da Meodologia de Box e Jenkins esá represenado na Figura 1.

2 XI SIMPEP - Bauru, SP, Brasil, 8 a 1 de novembro de 24 Figura 1 - Ciclo ieraivo de Box e Jenkins Transformação dos dados Idenificação do Modelo Esimação dos Parâmeros Não Funçã o de auo correlação parcia l Toal de ób io s (San dard erro rs a ss ume AR o rd er o f k-1) 1 +,177, ,133, ,38, ,337, ,27, ,3, ,191, ,154, ,75, ,18, ,14, ,44,1667 Fone: 13 -,58,1667 Russo (1989), adapado de Box e Jenkins (1976). 14 -,263, ,5, ,121, ,44,1667 A 18meodologia -,243,1667 de Box e Jenkins consise de quaro eapas (GUJARATI, 24): 19 -,136, ,56,1667 Eapa 1 - Idenificação: Co nf. Limi Ou seja, descobrir os valores apropriados de p, d e q. -1, -,5,,5 1, Modelo é Adequado? Eapa 2 - Esimaiva: Depois de idenificar os valores apropriados de p e q, o próximo passo é esimar os parâmeros dos ermos auo-regressivo e de média móvel incluídos no modelo. Ás vezes esse cálculo pode ser feio com os mínimos quadrados simples, mas às vezes eremos de recorrer a méodos de esimaiva não-linear (no parâmero). Eapa 3 - Checagem de diagnósico: Depois de escolher um modelo ARIMA em paricular, e esimar seus parâmeros, verifica-se se o modelo escolhido se ajusa aos dados razoavelmene bem, pois é possível que um ouro modelo ARIMA possa desempenhar o mesmo papel. Daí por que a modelagem ARIMA de Box e Jenkins é mais uma are do que uma ciência; é necessária considerável habilidade para escolher o modelo ARIMA correo. Um ese simples do modelo escolhido é ver se os resíduos esimados desse modelo são ruídos brancos; se são, podemos aceiar o ajuse específico; se não são, devemos começar udo de novo. Assim, a meodologia de Box e Jenkins é um processo ieraivo. Eapa 4 - Previsão: Uma das razões para a popularidade da modelagem de Box e Jenkins é seu sucesso em fazer previsão. Em muios casos, as previsões obidas com esse méodo são mais confiáveis do que as obidas com a modelagem economérica radicional, especialmene para previsões a curo prazo. Nauralmene, é preciso checar cada caso. Segundo Vasconcellos (2), os modelos Box e Jenkins dividem-se em dois ipos: modelos esacionários e modelos não-esacionários, que são descrios a seguir. a) Modelos Esacionários Sim Previsão

3 XI SIMPEP - Bauru, SP, Brasil, 8 a 1 de novembro de 24 Modelo auo-regressivo (AR) De acordo com esse modelo, y é descrio apenas por seus valores passados e pelo ruído y depende somene de branco. A versão mais simples de um modelo AR é aquela em que y 1 e de. Diz-se, nesse caso, que o modelo é auo-regressivo de ordem 1, o que se indica compacamene por AR(1). A represenação algébrica desse modelo é a seguine: y y 1 onde é um parâmero e E( ) =; e E( 2 2 ) = σ ; E( ε ε s ) = ; para s Por se raar de um modelo fracamene esacionário, a variância de y ( ) deve ser consane e as auocovariâncias ( k ) devem ser independene de. Modelo de médias móveis (MA) Por esse modelo, a série resula da combinação linear dos ruídos brancos ocorridos no período correne e nos períodos passados. O modelo de médias móveis de primeira ordem MA(1) é dado por: y 1 onde θ é um parâmero. Modelo auo-regressivo de médias móveis (ARMA) Esse modelo é uma combinação dos dois aneriores: é descrio por seus valores passados e pelos ruídos brancos correne e passados. O modelo ARMA(1,1) é a especificação mais simples que um processo dessa naureza pode apresenar: y y 1 1 b) Modelos Não Esacionários Modelo auo-regressivo inegrado de médias móveis (ARIMA) A meodologia de Box e Jenkins aplica-se a um caso específico de séries não esacionárias, ou seja, séries que se ornam esacionárias após a aplicação de diferenças. O número de diferenças necessário para ornar uma série esacionária é denominado ordem de inegração (VASCONCELLOS, 2). Uma série não esacionaria apresena endência esocásica, em conraposição à endência deerminisa, a qual é expressa como função do empo. O modelo aplicado a séries não esacionárias pode ser genericamene formulado da seguine maneira: se y ornar-se esacionária após a aplicação de d diferenças e a série resulane for represenada por um modelo ARMA(p,q), diz-se que y é descria por um modelo ARIMA(p,d,q) represenada por: w 1w 1... pw p q q onde d w γ. Uilizando o operador de defasagem em-se: d ( 1 B) (B) (B) Criério de escolha

4 XI SIMPEP - Bauru, SP, Brasil, 8 a 1 de novembro de 24 Um dos criérios muio uilizados para se escolher o melhor modelo é o criério do Erro Percenual Absoluo Médio de Previsão (MAPE). O MAPE será calculado a parir das previsões um passo à frene gerado por cada modelo esimado (RUSSO, 22). O valor do MAPE é enconrado aravés da fórmula: Z Z (%) Z MAPE 1 n onde Z é o valor aual da série, Z o valor previso e n a quanidade de elemenos previsos. 3. Análise dos dados Realizou-se, num primeiro insane, uma análise gráfica dos dados. Na figura 2 mosrase a série índice de saponificação medido durane a análise do óleo de soja no período de 1º de abril a 8 de maio de Índice de saponificação do óleo de soja Índice de saponificação(ppm) Dados diários Figura 2 - Gráfico represenaivo da série original do índice de saponificação A seguir, apresenamos os gráficos da função de auocorrelação e da função de auocorrelação parcial dos dados reais. Função de auocorrelação Função de auocorrelação parcial Índice de saponificação Índice de saponificação (Sandard errors are whie-noise esimaes) Q p 1 +,297,156 3,62,57 2 -,92,1539 3,98, ,159,1517 5,9, ,13,1496 5,56, ,99,1473 6,1, ,111,1451 6,59, ,175,1428 8,9, ,122,145 8,85, ,15,1381 1,2, ,75,1357 1,33, ,146, ,53, ,69,138 11,81, ,39, ,9, ,127, ,92, ,19,123 12,94, ,258,123 17,53, ,76, ,95, ,295, ,56, ,272,1118 3,48, ,38,188 3,6,68-1, -,5,,5 1, Conf. Limi (Sandard errors assume AR order of k-1) +,297, ,198, ,286, ,94, ,25, ,45, ,213, ,25, ,87, ,17, ,44, ,139, ,135, ,87, ,121, ,126, ,39, ,274, ,198, ,112,1622-1, -,5,,5 1, Conf. Limi Figura 3 - Função de auocorrelação Figura 4 - Função de auocorrelação parcial Ao observar as figuras 3 e 4, pode-se perceber que a função de auocorrelação e a função de auocorrelação parcial esão fora dos limies de conrole. O modelo enconrado para represenar a série denro do limies de conrole foi ARMA (1,1), apresenado nas figuras 5 e 7.

5 XI SIMPEP - Bauru, SP, Brasil, 8 a 1 de novembro de 24 Fu nçã o de auo corre la ção Mo delo ARMA (1,1 ) (Sandard errors are whie-noise esimaes) Q p 1 +,93,156,36, ,73,1539,58, ,27,1517 2,44, ,72,1496 2,67, ,3,1473 2,71, ,128,1451 3,5, ,73,1428 3,76, ,32,145 3,81, ,15,1381 4,99, ,124,1357 5,83, ,115,1333 6,57, ,81,138 6,96, ,38,1282 7,5, ,69,1257 7,35, ,111,123 8,17, ,16,123 9,93, ,13, ,17, ,2, ,21, ,14, ,156, ,58, ,73,188-1, -,5,,5 1, Figura 5 - Função de auocorrelação Con f. Limi Função de auocorrelação parcial Modelo ARMA (1,1) (Sandard errors assume AR order of k-1) 1 +,93, ,82, ,225, ,134, ,38, ,65, ,62, ,, ,16, ,129, ,64, ,24, ,13, ,11, ,24, ,133, ,123, ,21,1622 Figura 6 - Função de auocorrelação parcial 19 -,9, ,15,1622 Conf. Limi -1, -,5,,5 1, Como odos os coeficienes esão denro dos limies, pode-se concluir que modelo ARMA (1,1) é represenaivo das observações originais e pode ser uilizado para fazer previsão a curo prazo para o índice de saponificação do óleo de soja. Na abela 1 abaixo, vemos os valores observados e previsos do índice de saponificação para os próximos cinco (5) dias. Tabela 1 - Valores observados e previsos Dias Previsos Observados MAPE 9/5/4 11,2286 1,,123 1/5/4 11, ,,656 11/5/4 11,2284 9,, /5/4 11, ,,797 13/5/4 11, ,,627,3451 O Erro Percenual Absoluo Médio de Previsão (MAPE) é 6,9%. Apresena-se a seguir o gráfico represenaivo dos valores previsos para o índice de saponificação Modelo previso ARMA (1,1) Seasonal lag: 12 Índice de saponificação Início: 1 Fim: Observados Previsos ± 9,% Figura 7 - Gráfico represenaivo dos valores previsos para o índice de saponificação 4. Conclusão Após a análise do comporameno dos dados originais e das funções de auocorrelação, o modelo enconrado para a série índice de saponificação foi o ARMA (1,1). Ressala-se que para a escolha do melhor modelo e para fins de previsão uilizou-se o MAPE aravés do qual obeve-se um erro de 6,9%.

6 XI SIMPEP - Bauru, SP, Brasil, 8 a 1 de novembro de 24 Conudo concluiu-se que o modelo enconrado é adequado para a série analisada, manendo os dados denro dos limies de conrole. Assim, pode-se consaar que a meodologia de Box e Jenkins saisfez os requisios para a escolha do melhor modelo para a série índice de saponificação do óleo de soja. 5. Referências BOX, G. E. P; JENKINS, G.M.; REINSEL, G. C. (1976) - Times Series Analysis:Forecasing and Conrol. Holden Day. San Francisco. GUJARATI, D. N. (24) - Economeria Básica. Makron Books. São Paulo. RUSSO, S. L. (22) - Gráficos de Conrole para Variáveis Não-conformes Auocorrelacionadas. Tese de Douorado. Programa de Pós-graduação em Engenharia de Produção, UFSC. Florianópolis/SC. VASCONCELLOS, M. A. S.; ALVES, D. (2) - Manual de Economeria. Alas. São Paulo.