Problema de controle ótimo com equações de estado P-fuzzy: Programação dinâmica

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1 Problema de conrole óimo com equações de esado P-fuzzy: Programação dinâmica Michael Macedo Diniz, Rodney Carlos Bassanezi, Depo de Maemáica Aplicada, IMECC, UNICAMP, , Campinas, SP Resumo: Nese rabalho raamos de problemas de conrole com equação de esado definida a parir de um sisema P-fuzzy. Os modelos P-fuzzy, formulados via base de regras, são uilizados para modelar fenomênos parcialmene conhecidos. Mosramos que, mesmo quando o problema de conrole óimo envolve esse ipo de modelo, é possível aplicar écnicas numéricas(programação dinâmica) para obenção do conrole óimo em malha fechada, além disso, verificamos, aravés de exemplos, que os resulados obidos com ese processo são similares àqueles clássicos. Palavras-chave: Programação Dinâmica, Conrole Óimo, Sisemas P-fuzzy 1 Inrodução aos sisemas P-fuzzy Nosso objeivo é resolver problemas de conrole óimo de pragras. Em ermos de modelagem clássica o crescimeno das pragas é formulado com modelos malhusianos ou logísicos(com inibição). No caso em que emos informações insuficienes podemos uilizar modelos P-fuzzy ao processo de crescimeno da praga. 1.1 Modelo de Malhus P-fuzzy Segundo o modelo malhusiano, uma população cresce em progressão geomérica, em ouras palavras, Malhus afirmou que a axa de crescimeno de uma população é proporcional ao amanho da mesma. Iso é, se a população é pequena enão a sua variação é pequena, se a população é média enão a variação da sua população é média e se a população é grande enão a sua variação é grande. O modelo malhusiano é represenado pela seguine equação diferencial = ax (1) onde a é a axa de reprodução per capia da espécie x cuja unidade é 1 [] ([] represena a unidade de empo uilizada). Ese modelo maemáico é necessário, pois nenhuma oura equação diferencial seria capaz de reproduzir as afirmações de Malhus, porém, podemos uilizar os sisemas P-fuzzy para criar modelos que reproduzam o comporameno proposo por Malhus. Veja a figura

2 15 Modelo de Malhus P fuzzy IN 1 x() 5 OUT Figura 1: Modelo P-fuzzy de Malhus Figura 2: Solução do modelo P-fuzzy de Malhus Nos modelos P-fuzzy, as enradas e saídas esão relacionadas da mesma forma como a eoria de Malhus foi explicada no início do exo. Uilizando méodos compuacionais verificamos que a população x() varia no empo da mesma forma como o modelo malhusiano clássico. 1.2 Modelo de Verhus Um dos grandes problemas do modelo malhusiano é o fao dele não possuir sauração, fazendo com que ese não seja adequado para modelagens que envolvam períodos de empo médio ou longo. Com o objeivo de corrigir esse problema, Pierre-François Verhuls, em 1838, sugeriu que o modelo de dinâmica populacional deveria ser similare ao de Malhus para populações pequenas, porém deveria coner uma sauração populacional, denominada nos dias de hoje por capacidade supore do meio. Denre as possíveis equações que saisfazem o comporameno descrio pelas hipóeses de Verhuls, a equação 3 é a mais simples e porano a mais uilizada. = ax(1 x k ) (2) O parâmero a represena a axa de reproduibilidade da população x e k é a capacidade supore dessa população. Noamos que as hipóeses dese modelo ambém podem se saisfeias por simples relações enre variáveis linguísicas, podendo serem relacionadas da seguine forma. Se a população é baixa enão sua axa de variação é baixa Se a população é média baixa enão sua axa de variação é média Se a população é média enão sua axa de variação é ala Se a população é média ala enão sua axa de variação é média Se a população é ala sua axa de variação é baixa Se a população é alíssima enão sua variação é baixa negaiva As variáveis linguísicas uilizadas acima podem ser descrias aravês de conjunos fuzzy conforme a figura 3. Uilizando um processo compuacional ieraivo, noamos que o comporameno da população segundo ese modelo P-fuzzy, saisfaz as hipóeses de Verhuls, logo podemos afirmar que o modelo P-fuzzy acima ambém é um modelo de Verhuls. É imporane noar que os modelos P-fuzzy são adequados para modelar fenômenos pouco conhecidos, onde exisam apenas informações imprecisas sobre a dinâmica do fenômeno no empo. 6

3 14 Modelo logísico P fuzzy x() Figura 3: Modelo P-fuzzy de Verhuls Figura 4: Solução do modelo P-fuzzy de Verhuls Para padronizar a noação denoaremos os sisemas P-fuzzy por P(x). Informações dealhadas sobre esses modelos podem ser enconradas em [3], [6], [5]. 2 Conrole óimo com programação dinâmica Em diversas siuações práicas é necessário conrolar o crescimeno de uma deerminada população, isso ocorre por exemplo com a população de pragas em uma lavoura ou aé menos de deerminadas espécies em um ecossiema. Ese conrole, pode ser feio de forma óima, iso é, são aingidos níveis saisfáórios com o menor cuso possível e respeiando resrições imposas. Para calcular ese conrole é necessário conhecer a dinâmica de crescimeno da população, que pode ser dada por uma equação diferencial = f(x). Formalmene, resolver um problema de conrole óimo significa enconrar a solução do seguine problema: min h(x(t))+ g(x(),u()) u(),x() S.A. = f(x(),u()) (3) onde o funcional a ser minimizado é denominado cuso e ese depende de x e u. O ermo h(x(t)) é uma função dependene do esado final e o somaório esá relacionado ao cuso de x() e u() ao longo do inervalo [,T]. Por fim, noamos que a variação do esado depende não só do próprio valor do esado mas ambém da função de conrole u(). Resolver ese problema significa enconrar x() e u() que minimizam o funcional e saisfazem a equação difencial. Nese rabalho uilizaremos o conceio de programação dinâmica para resolver ese problema. O méodo aplicado é baseado no principio de oimalidade ( [1]). Ese méodo não exige nenhuma propriedade específica para a função g(x(), u()), o que o orna basane adequado para ser uilizado com sisemas P-fuzzy. Para implemenarmos o méodo numérico de resolução, necessiamos discreizar as equações 2 e 3, iso é, ao invês de considerarmos que o empo esá variando coninuamene, iremos dividir o inervalo de [,T] em N inervalos de amanho h. Claramene T = h.n e T é o insane final avaliado. A discreização da equação (3) pode ser escria da seguine forma: x(k +1) = x(k)+ f(x(k),u(k)) (4) Da mesma forma, podemos discreizar a inegral do funcional da seguine forma 61

4 N 1 J(x,u) = h(x(n))+ g(x(k),u(k)) (5) Por fim, uilizando as equações acima e aplicando o princípio da oimalidade, chegamos a seguine relação. k= J N K,N(X(N k)) = min u(n K ( N 1 g(x(n k),u(n k)))+jn (K 1),N (x(k)+ f(x(k),u(k)),u(n k))) k= (6) O ermo JN K,N (X(N k)) represena o cuso óimo de se sair do pono x(n k) no insane N k e chegarmos no pono x(n). Para iniciarmos o algorímo definimos que JN,N (X(N)) = h(x(n)). O algorimo uilizado é conhecido ambém como algorímo de Dijksra e é uilizado em fluxos em redes para resolver o problema do caminho mais curo. Maiores dealhes sobre esse processo podem ser observados em [1]. Noamos que a aplicação do processo anerior não impõe nenhuma condição sobre as funções envolvidas, nem mesmo necessiamos calcular a derivada de nenhuma delas. 3 Proposa Um fenômeno pode ser modelado uilizando-se diversas ferramenas, por exemplo, aravês de equações diferenciais, sisemas P-fuzzy e ouros. Para os casos onde as informações sobre o fenômeno são vagas, os modelos P-fuzzy são basane adequados. Algumas proposas de conrole para esse ipo de sisema podem ser visas em [2] e [4]. Nossa proposa é fazer a seguine subsuição: = f(x(),u()) = P(x) u() (7) onde a função P(x) represena o sisema P-fuzzy e u() a função de conrole. Um exemplo de problema de conrole basane enconrado na lieraura é o seguine. min x(),u() x2 (T)+ (ax 2 ()+bu 2 ()) (8) S.A. = P(x) u() (9) Conforme a seção anerior, noamos que a aplicação da programação dinâmica aravês do principio de oimalidade não exige nenhuma condição sobre a função P(x). Porano, nossa proposa é subsiuir essa função, que modela a variação do esado x() no empo, por um sisema P-fuzzy, com isso, poderemos enconrar o conrole óimo para fenômenos parcialmene conhecidos. Ilusraremos nossa proposa aravês de exemplos na seção seguine. 4 Resulados Para ilusrar os resulados obidos aravês da ecnica sugerida na seção anerior, vamos uilizar dois ipos de modelos clássicos da biomaemáica, o modelo de Malhus e o Modelo de Verhuls. 4.1 Conrole aplicado ao modelo P-fuzzy de Malhus Resolveremos o problema descrio pelas equações (2) e (3) uilizando o modelo de malhus clássico, dado pela equação (1) e o modelo fuzzy uilizando o sisema P-fuzzy. Para conseguirmos comparar ambos os resulados, vamos definir qual é o valor do parâmero a que melhor se ajusa 62

5 ao modelo P-fuzzy proposo na primeira seção. Aplicando écnicas de ajuse de curva verificamos que a equação que melhor se ajusa ao modelo P-fuzzy é =.6991x (1) Porano, o problema que precisamos resolver é min x(),u() x2 (T)+ (.1x 2 ()+u 2 ()) (11) S.A. =.6991x+u() (12) Aplicando écnicas de programação dinâmica descrias acima, obemos o gráfico da figura Conrole do modelo de Malhus variavel de esado conrole 1 8 x(), u() Figura 5: Conrole do modelo de Malhus O gráfico conínuo é referene ao problema clássico, enquano que os gráficos das circunferências se referem ao problema com sisema P-fuzzy, isso é, subsiuindo.6991x por P(x). As curvas abaixo de zero represenam o conrole u() enquano que as curvas posiivas represenam a variação do esado. Noamos no gráfico que ano o conrole quano o esado do caso P-fuzzy são muio similares aos obidos pelo modelo clássico. A função objeivo uilizada foi x 2 (T)+ (.1x2 ()+u 2 ()) os valores dos coeficienes de x e u foram escolhidos apenas por uma quesão de coerência. Obviamene se rocarmos.1 por um número maior, a influência da variável de esado no cuso será proporcionalmene maior. 4.2 Conrole aplicado ao modelo P-fuzzy de Verhuls Da mesma forma como fizemos aneriormene, vamos aplicar a ecnica proposa ao modelo de Verhuls clássico e compara-lo a um modelo de Verhuls P-fuzzy equivalene. Aplicando méodos de ajuse de curva, enconramos o seguine modelo. ( =.215x 1 x ) 135 Ese é o modelo clássico que melhor se aproxima do modelo P-fuzzy proposo na primeira seção. Para ese caso, o problema clássico fica descrio da seguine forma: min u(),x() x2 (T)+ S.A. (13) (.1x 2 ()+u 2 ()) (14) ( =.215x 1 x ) +u() (15)

6 14 12 Conrole do modelo logísico variavel de esado conrole 1 8 x(),u() Figura 6: Conrole do modelo logísico Enreano se a dinâmica( da variável de esado é modelada por um sisema P-fuzzy, basa subsiuir a equação.215x 1 x ) por P(x), onde P(x) é o sisema P-fuzzy de Verhuls 135 proposo na primeira seção. O resulado da aplicação do méodo pode ser viso na figura 6. As legenda são similares ao gráfico anerior. Noamos ambém nese caso que a aproximação do resulado aplicado ao modelo de verhuls é basane saisfaória e mais uma vez verifica a funcionalidade do méodo. 5 Conclusão Os modelos P-fuzzy são adequados para modelar fenômenos pouco conhecidos, onde exisam apenas informações imprecisas sobre a dinâmica do mesmo no empo. Sugerimos nese exo uma esraégia para podermos conrolar de forma óima fenômenos modelados por sisemas P-fuzzy. Um exemplo ípico de aplicabilidade dessa esraégia esá no conrole de pragas em lavouras, já que na maioria vezes não se conhece(ou é inviável conhecer) rigorosamene a dinâmica de reprodução da praga. Vimos que os resulados obidos uilizando os sisemas P-fuzzy são saisfaoriamene próximos dos resulados obidos uilizando sisemas clássicos equivalenes. Por fim, sabemos que ese rabalho ainda pode ser exendido para modelo mais gerais e de dimensões maiores que 1. Referências [1] Kirk, D. E., Opimal Conrol Theory - An Inroducion, Prenice-Hall Neworks Series, 197. [2] Sanos, L. R., Esraégia para Conrole de Pragas - Sisemas P-fuzzy com Conrole Híbrido, Disseração de Mesrado, UNICAMP - IMECC [3] Bassanezi, R.C. e Barros, L.C. Tópicos de Lógica Fuzzy e Biomaemáica, Coleção IMECC: exos didáicos, volume 5, 26. [4] Pereira, C. M., Uso da Subjeividade em Conrole Óimo - Aplicações em Biomaemáica, Disseração de mesrado, UFABC, 213. [5] Diniz, M. M., Abordagem fuzzy do Teorema de Poincaré-Bendixson, Disseração de Mesrado, UNICAMP-IMECC, 212. [6] Silva, J. D. M. Análise de esabilidade de sisemas dinâmicos P-fuzzy com aplicações em biomaemáica., Tese de Douorado, IMECC-UNICAMP, Campinas,