5 Método dos Mínimos Quadrados de Monte Carlo (LSM)

Transcrição

1 Méodo dos Mínimos Quadrados de Mone Carlo (LSM) 57 5 Méodo dos Mínimos Quadrados de Mone Carlo (LSM) O méodo LSM revela-se uma alernaiva promissora frene às radicionais écnicas de diferenças finias e árvores binomiais, endo muias vanagens como uma esruura para avaliação, gerenciameno de risco e exercício óimo de opções americanas. Alguns exemplos de aplicações do méodo LSM são: Avaliação de opções que dependem de múliplos faores; Avaliação de derivaivos com caracerísicas de opções americanas e dependenes do camino; Avaliação de opções onde as variáveis de esado seguem um processo esocásico qualquer (jump diffusion, por exemplo), ou um processo não-markoviano. Recenemene, Gamba propôs uma abordagem alernaiva para avaliar opções composas e projeos envolvendo opções reais múliplas baseada no méodo LSM. Esa abordagem será apresenada no ópico final dese capíulo. A inuição que esá por rás do méodo é a da programação dinâmica: a cada insane anerior à daa de vencimeno de uma opção americana, o proprieário desa opção compara o payoff do exercício anecipado com o seu valor de coninuação, para assim omar uma decisão óima. A esraégia de exercício óimo de uma opção americana é deerminada fundamenalmene pela expecaiva condicionada do seu valor de coninuação. A grande conribuição dos auores foi idenificar que a expecaiva condicionada pode ser esimada a parir de informações crosseccionais na simulação usando o méodo dos mínimos quadrados. Esa écnica é definida pelos auores como méodo dos mínimos quadrados de Mone Carlo (LSM). Para enender melor a écnica, será apresenado um exemplo numérico reirado do arigo de Longsaff & Scwarz. Em seguida, descreveremos o méodo de maneira mais formal.

2 Méodo dos Mínimos Quadrados de Mone Carlo (LSM) Exemplo Numérico A cave para o exercício óimo de uma opção americana é idenificar a expecaiva condicionada do seu valor de coninuação. Foram usadas as informações das rajeórias simuladas para idenificar a função de expecaivas condicionadas. Isso é feio aravés da regressão dos FCs de coninuação numa lisa de funções básicas dos valores das variáveis de esado relevanes. O resulado desa regressão é uma esimaiva não-endenciosa e eficiene da função de expecaivas condicionadas e leva a uma esimaiva precisa da regra de exercício óimo da opção. Considere uma opção de venda (pu) americana de uma ação que não paga dividendos. O preço de exercício da pu é,0, podendo ser exercida nos insanes, 2 e 3, sendo o empo 3 a daa de vencimeno da opção. A axa de descono livre de risco é de 6 % por período. Por simplicidade, o algorimo será demonsrado usando-se apenas oio rajeórias de preços para a ação. Esas rajeórias foram geradas supondo neuralidade ao risco, e são apresenadas na mariz abaixo: T E M P O Pa Tabela : Trajeórias de preços da ação. O objeivo é definir a regra de exercício que maximiza o valor da opção em cada pono ao longo de cada rajeória de preços. Caso a opção não seja exercida anes da sua daa de vencimeno, o fluxo de caixa realizado no insane 3 será dado por MAXIMO (FC 3 K, 0), como mosra a mariz abaixo:

3 Méodo dos Mínimos Quadrados de Mone Carlo (LSM) 59 T E M P O Pa Tabela 2: Mariz de fluxos de caixa em = 3. Se a PUT americana esiver in-e-money no insane 2, o invesidor deve decidir enre exercer imediaamene a opção ou manê-la viva aé a daa de vencimeno (insane 3). Denre as oio simulações de rajeórias de preços, somene cinco deixam a opção in-e-money no insane 2. Camaremos de X os preços da ação no insane 2, e de Y o valor desconado (aé = 2) do fluxo de caixa recebido no insane 3. Serão usadas somene as rajeórias de preços que esão in-e-money, pois elas permiem uma melor esimaiva da função de expecaivas condicionadas na região onde o exercício da opção é relevane, além de melorar significaivamene a eficiência do algorimo. Os valores de X e Y são apresenados na mariz a seguir: Regressão em = 2 Pa Y X 0,00 x e -0,06 = ou of e money 3 0,07 x e -0,06 = ,8 x e -0,06 = ou of e money 6 0,20 x e -0,06 = ,09 x e -0,06 = ou of e money Tabela 3: Dados para a regressão em = 2. Longsaff e Scwarz realizaram eses numéricos que indicaram que, usando odas as simulações para ober resulados com a mesma precisão dos resulados obidos com apenas simulações in-e-money, era necessário um número maior de funções básicas, o que elevava basane o cuso compuacional do processo.

4 Méodo dos Mínimos Quadrados de Mone Carlo (LSM) 60 Para esimar o valor esperado de coninuação da opção, condicionado ao preço da ação em = 2, é feia uma regressão de Y com relação a X e X 2. A função de expecaivas condicionadas obida pela regressão é: E [Y X] = -, ,983 X,83 X 2 Com a função de expecaivas condicionadas, nós obemos o valor de coninuação para cada rajeória de preços subsiuindo X na função, e o comparamos com o valor do exercício anecipado da PUT em = 2. O valor de exercício é igual a (,0 X) para as rajeórias in-e-money. A abela a seguir apresena eses valores. Vale ressalar que a comparação é feia apenas nas rajeórias de preços que se apresenam in-e-money em = 2, quando faz senido deerminar se é óimo exercer a opção ou esperar aé o insane seguine. Decisões de exercício óimo em = 2 Pa Exercício Coninuação ou of e money ou of e money ou of e money Tabela 4: Valores de exercício e de coninuação para a decisão para = 2. Comparando os valores apresenados na abela acima, verificamos que é óimo exercer imediaamene a opção em = 2 apenas nas rajeórias 4, 6 e 7. A abela abaixo mosra os fluxos de caixa recebidos pelo iular da opção, caso a mesma não seja exercida anes de = 2.

5 Méodo dos Mínimos Quadrados de Mone Carlo (LSM) 6 T E M P O Pa Tabela 5: Mariz de fluxos de caixa em = 2. Observe que, quando a opção é exercida em = 2, o fluxo de caixa final em = 3 é igual a zero, pois a opção não pode ser exercida mais de uma vez. Agora, iremos examinar se a opção deve ser exercida em =. Observando a mariz que coném as rajeórias de preços, verificamos que á cinco caminos em que a opção esá in-e-money em =. Para esas rajeórias, definiremos novamene Y como o valor desconado dos fluxos de caixa fuuros da opção, caso ela não seja exercida imediaamene em =. Os valores usados para Y correspondem aos fluxos de caixa reais e não aos valores esimados em = 2. Dado que a opção só pode ser exercida uma vez, os fluxos de caixa fuuros ocorrem em = 2 ou em = 3, nunca em ambos os insanes. Os FCs recebidos em = 2 serão desconados um período de empo, e os FCs recebidos em = 3 serão desconados dois períodos. Da mesma forma que no insane 2, X agora represena os preços da ação em = nos quais a opção esá in-emoney, e Y represena os FCs fuuros. A mariz abaixo mosra os valores de X e Y para = : Regressão em = Pa Y X 0,00 x e -0,06 = ou of e money 3 - ou of e money 4 0,3 x e -0,06 = ou of e money 6 0,33 x e -0,06 = ,26 x e -0,06 = ,00 x e -0,06 = Tabela 6: Dados para a regressão em =.

6 Méodo dos Mínimos Quadrados de Mone Carlo (LSM) 62 Novamene, fazemos a regressão de Y com relação a X e X 2. A função de expecaivas condicionadas obida é: E [Y X] = 2,038 3,335 X +,356 X 2 Com a função de expecaivas condicionadas, obemos o valor de coninuação para cada rajeória de preços subsiuindo X na função, e o comparamos com o valor do exercício anecipado da PUT em =. A abela a seguir apresena eses valores. Decisões de exercício óimo em = Pa Exercício Coninuação ou of e money 3 ou of e money ou of e money Tabela 7: Valores de exercício e de coninuação para a decisão para =. Comparando os valores apresenados na abela acima, verificamos que é óimo exercer imediaamene a opção em = nas rajeórias 4, 6, 7 e 8. Tendo idenificado a esraégia de exercício para os insanes, 2 e 3, a regra de exercício pode ser represenada pela seguine mariz, onde indica a daa de exercício óimo da opção denro de cada rajeória de preços. T E M P O Pa Tabela 8: Mariz de exercício óimo da opção em cada rajeória de preços.

7 Méodo dos Mínimos Quadrados de Mone Carlo (LSM) 63 Observe que, em deerminadas rajeórias de preços, não aparece o número indicando a daa de exercício óimo da opção. Isso significa que a opção não deve ser exercida denro desas rajeórias. Os fluxos de caixa resulanes do exercício óimo da opção enconram-se na abela a seguir. T E M P O Pa Tabela 9: Mariz de fluxos de caixa resulanes do exercício óimo da opção. Com a mariz de fluxos de caixa da opção, pode-se calcular o valor da PUT aravés da média dos FCs desconados aé o insane 0, como indica a fórmula abaixo: V ( pu) ( FC ) n kr e k k k= =, n, onde: n = número de rajeórias de preços simuladas; k = insane, na rajeória k, em que é óimo exercer a opção; r = axa de juros livre de risco; FC, k = fluxo de caixa gerado pelo exercício óimo da opção no k insane, denro da rajeória k. Aplicando ese procedimeno ao nosso exemplo, verificamos que o valor da opção americana é 0,44. Ese exemplo, embora simples, ilusra bem como os mínimos quadrados podem usar informações de simulações de preços para esimar a função de expecaivas condicionadas, que é usada para idenificar a decisão de exercício óimo da opção em cada simulação. Como mosrado nese exemplo, a abordagem LSM é facilmene implemenada, pois envolve apenas processos de regressão simples.

8 Méodo dos Mínimos Quadrados de Mone Carlo (LSM) Esruura do Méodo O objeivo do algorimo LSM é fornecer uma aproximação para a regra de exercício óimo que maximiza o valor de uma opção americana. Seja C (w, s;, T) os fluxos de caixa gerados pela opção, condicionada à resrição da opção não ser exercida anes do insane, onde w corresponde a uma simulação de rajeória de preços. O dono da opção seguirá uma esraégia de exercício óimo para cada insane s, onde < s < T. Esa função corresponde às marizes de fluxos de caixa, usadas no exemplo numérico (Tabelas 2, 5 e 9). Na daa de vencimeno da opção (T), o invesidor exercerá a opção se ela esiver in-e-money. Em qualquer insane n anerior à daa T, porém, o invesidor deve escoler enre exercer imediaamene a opção ou esperar aé o insane n+ para novamene omar uma decisão. Em cada rajeória de fluxos de caixa, a opção será maximizada se for exercida quando o valor de exercício anecipado for superior ou igual ao valor de coninuação, exaamene como no exemplo numérico. Em n, o valor de exercício anecipado é conecido pelo invesidor, mas o valor de coninuação não é. A eoria de avaliação de aivos sem arbiragem, porém, indica que o valor de coninuação da opção é dado pelo valor esperado dos fluxos de caixa fuuros desconados aé n com base numa medida Q de probabilidade neura ao risco. Assim, o valor de coninuação em n, definido como F (w; n ), será dado pela seguine fórmula: F ( w, ) ( ) n = EQ exp r w, s ds C( w, j ; n, T ) I( n ) N j= n+ Onde r (w, ) é a axa de descono livre de risco, I ( n ) corresponde ao conjuno de informações disponíveis em n para a omada de decisão, e N é o número de inervalos de empo enre o insane inicial e T (N = T/ e N = T). Para aplicar o méodo na avaliação de opções, inicialmene são simuladas diversas rajeórias de preços ou de fluxos de caixa, de acordo com a definição do comporameno desas variáveis. Em seguida, o LSM usa o méodo dos mínimos quadrados para ober uma aproximação da função de expecaivas condicionadas. Em N-, assumimos que F (w, N- ) é desconecido, mas pode ser represenado como uma combinação linear de um grupo de funções básicas L j (X), onde X é uma variável de esado. Assim, o valor de coninuação pode ser escrio da seguine forma: j n

9 Méodo dos Mínimos Quadrados de Mone Carlo (LSM) 65 ( w, ) a L ( X ) = F N j j j=0 Onde os coeficienes a j são consanes. As funções básicas podem ser polinômios de Jacobi, de Cebysev, funções exponenciais, poências, enre ouros. Quando á duas ou mais variáveis de esado (preço do peróleo e cuso de exploração, por exemplo), as funções básicas devem incluir odas esas variáveis, inclusive envolvendo mais de uma variável simulaneamene. Para aplicar o LSM, obém-se uma aproximação de F (w, N- ) usando um conjuno M de funções básicas. Esa aproximação, denominada F M (w, N- ), é esimada aravés da regressão dos valores desconados de C (w, s; N-, T) nas funções básicas, para as simulações onde a opção esá in-e-money no insane N-. Os auores demonsram no arigo que, a medida que aumenamos o ^ F M, número de simulações, a esimaiva ( w ) converge para F M ( w, ). Uma vez esimada a função de expecaivas condicionadas para N-, podese deerminar se o exercício anecipado nese insane é óimo aravés da F ) w. Esa, M N comparação enre o valor de exercício anecipado e ( ) comparação é feia separadamene em cada uma das simulações que esão ine-money em N-. Feio isso, repee-se o procedimeno para o insane N-2 e assim por diane, aé cegarmos ao insane inicial, quando as decisões de exercício óimo em odas as simulações erão sido deerminadas. O valor da opção será igual à média dos fluxos de caixa provenienes do exercício óimo em cada simulação, desconados aé o insane inicial. A fórmula a seguir indica ese procedimeno: V OPÇÃO = K K w= FC ( w, ) exp( r) w w, onde: r = axa de descono livre de risco; K = número de rajeórias de preços simuladas; w = daa de exercício óimo da opção na simulação w; ( w ) FC = fluxo de caixa gerado pelo exercício da opção no insane, w w na simulação w.

10 Méodo dos Mínimos Quadrados de Mone Carlo (LSM) 66 O algorimo LSM mosra-se uma ferramena simples e elegane de aproximar a regra de exercício óimo de uma opção do ipo americana. A esruura do méodo LSM pode ser resumida nas seguines eapas, como indica a figura a seguir. SIMULAÇÕES DAS VARIÁVEIS DE ESTADO VALOR DE EXERCÍCIO ANTECIPADO (V.E.A.) De T aé T 0 VALOR DE CONTINUAÇÃO (V.C.) (função de expecaivas condicionadas) DECISÃO ÓTIMA: Max (V.E.A.; V.C.) VALOR DA OPÇÃO Figura : Esruura do méodo LSM.

11 Méodo dos Mínimos Quadrados de Mone Carlo (LSM) Abordagem de Gamba para a Avaliação de Opções Reais Gamba propôs uma forma diferene de ransformar um problema de opções reais complexas numa série de opções simples, respeiando a esruura ierárquica das opções, baseado no méodo dos mínimos quadrados. A idéia básica da abordagem proposa é simples: um problema de orçamenação de capial consise numa lisa de opções simples inerligadas enre si, de forma que se respeiem as inerdependências e a ierarquia enre as opções reais presenes no projeo. Com base nesa inerligação, podemos classificar as opções como independenes, muuamene exclusivas e opções composas Opções Independenes 2 Nese caso, o exercício de uma opção não inerfere no exercício de oura opção, ou seja, seu valor não é influenciado pelas demais opções. Assim, o valor desa careira de opções será igual à soma dos valores de odas as opções. Vamos considerar que exisem H opções, cada uma com prazo de vencimeno T, payoffs Π (, X ) e valor F (, X ), onde X 3 é a variável de esado. A possibilidade de exercer independenemene odas as opções é, por si próprio, uma opção, cujo valor é dado por: H (, X ) = F (, X ) G = Num deerminado projeo, a incereza écnica é diferene da incereza de uma variável de esado X (preço do peróleo, por exemplo), pois como aquela geralmene é específica do projeo em quesão, não á um prêmio de risco. Assim, a incereza écnica e X são esocasicamene independenes. Geralmene, admie-se que a probabilidade de um eveno écnico afear o projeo é conecida. Se o eveno em N possíveis resulados, a probabilidade de ocorrência de cada resulado (p n ) obedece às seguines propriedades: 2 As opções são esraegicamene independenes, mas podem ser esocasicamene dependenes, o que ocorre com maior freqüência. 3 Quando ouver mais de uma variável de esado, X corresponde a um veor.

12 Méodo dos Mínimos Quadrados de Mone Carlo (LSM) 68 p n > 0; N p n n= = Assumindo-se que a incereza écnica se dissipa em T < T, o valor da opção será: N H r ( T ' ) (, X ) = e p E [ F ( T', X )] G n= = n T ' onde E []. é a expecaiva condicionada às informações disponíveis em, com base numa probabilidade de neuralidade ao risco. As opções do ipo americana podem ser exercidas a qualquer insane enre T e T, e as opções do ipo européia são exercidas nos respecivos insanes T Opções Composas Em alguns problemas, o exercício de uma opção pode gerar oura opção. Isso ocorre quando os invesimenos são realizados em seqüência, onde a realização de uma eapa (opção) do cronograma de invesimenos, além do payoff resulane, dá o direio de exercer as demais opções. Nese caso, o valor da opção anerior depende do valor das opções seguines. Seja H o número de opções composas que consiuem um deerminado projeo, Π (, X ) o payoff e T a daa de vencimeno de cada uma delas. O valor F (, X ) de cada opção será: 0 exercida); sε (, T ) se > T (ou seja, quando a opção não pode mais ser r( s ) { e E [ Π ( s, X ) + F ( s, X )]} max s + s se < T e a opção for ipo americana; r T e E Π T X + F T, X se < T e a ( ) [ ( ) ( )], T + opção for do ipo européia. F + pode ser o valor de uma opção, o valor de várias opções independenes com a mesma daa de vencimeno, o valor esperado de opções que esarão disponíveis aé que alguma incereza écnica seja eliminada, ou a T

13 Méodo dos Mínimos Quadrados de Mone Carlo (LSM) 69 melor de uma série de opções muuamene exclusivas, caso que definiremos a seguir Opções Muuamene Exclusivas Seja H o número de opções reais muuamene exclusivas, ou seja, um conjuno H de opções onde somene uma delas pode ser exercida. Seja Π e T o payoff e a daa de vencimeno de cada uma das opções, respecivamene, e F (, X ) o seu valor no insane. O invesidor deverá escoler, aé o insane T 4 MAX, a melor opção disponível, bem como o insane óimo para o seu exercício 5. Como a decisão é irreversível (ao exercer uma das opções, odas as ouras deixarão de exisir), é ineressane para o invesidor adiar ao máximo a escola da opção que será exercida, manendo assim odas as opções vivas. Seja G (, X ) o valor da oporunidade de escola da melor enre H opções disponíveis. Seu valor será dado por: (, X ) ( s, ) r( s ) { e E [ F ( s X )]} G = max, s onde s é qualquer insane de empo enre e T MAX. Se odas as opções forem européias, a escola da melor opção auomaicamene resulará na escola da daa de exercício. Apesar da escola da melor opção ser realizada no insane inicial, o seu exercício só ocorrerá no insane óimo de exercício desa opção. Isso possibilia que, anes desa daa, oura opção se orne mais valiosa e seja mais ineressane exercê-la no lugar da opção originalmene escolida Aplicação do méodo LSM para avaliação de opções reais A mea do algorimo LSM é enconrar a daa de exercício óimo de uma opção americana para deerminar o seu valor. Para ober uma aproximação para o seu valor, inicialmene dividimos o orizone de empo em N inervalos = T/N, onde T é a daa de vencimeno da opção. Em seguida, são simuladas K rajeórias ao longo do empo para as variáveis de esado X. A noação X (w) 4 T MAX corresponde ao valor máximo enre T, T 2,..., T H. 5 Admie-se que pelo menos uma das H opções é do ipo americana.

14 Méodo dos Mínimos Quadrados de Mone Carlo (LSM) 70 represena o veor de valores das variáveis de esado no empo e na rajeória w. F (, X (w)) represena o valor da opção no insane denro da rajeória w. A daa de exercício óimo é obida aravés de programação dinâmica: num insane qualquer (enre a daa inicial e T), se a opção ainda não iver sido exercida, a decisão óima é omada comparando-se o payoff imediao Π (, X (w)) com o valor de coninuação, represenado por Φ(, X (w)). Esse procedimeno é realizado para cada uma das rajeórias simuladas. O valor de coninuação da opção em corresponde ao valor da opção no insane seguine, desconado aé o insane. Esa igualdade é represenada pela seguine fórmula: [ I ] r (, X ) = e E F( + X ) Φ, + onde I corresponde ao conjuno das informações disponíveis no insane e que são relevanes para a omada de decisão. O valor da opção é deerminado enão aravés da equação de Bellman: (, X ) Max{ Π(, X ), Φ( X )} F =, = 0,, 2,..., N Assim, a regra óima de decisão é exercer a opção quando seu valor de coninuação for menor ou igual ao payoff imediao. Quando o exercício óimo da opção for definido para odas as rajeórias simuladas, o valor da opção americana é esimado a parir da média dos valores das rajeórias, ou seja: F K r ( w) (, X ) = e Π ( w), ( X ( w ) 0 0 ) ( w) K w= onde (w) é a daa de exercício óimo da opção na rajeória w. O problema resume-se agora a enconrar o valor de coninuação para depois aplicar a regra de decisão. Ese aspeco é que orna o méodo LSM diferene de ouras abordagens proposas para avaliar opções americanas aravés de simulações. A idéia cenral do LSM é que, se a opção esá viva num insane qualquer, enão seu valor de coninuação (Φ) é a expecaiva, condicionada às informações disponíveis naquela daa, do payoff óimo fuuro da opção. Como Φ é um elemeno de um espaço veorial linear, podemos represenálo como uma combinação linear:

15 Méodo dos Mínimos Quadrados de Mone Carlo (LSM) 7 Φ (, X ) φ ( ) L (, X ) = j= onde L j é o elemeno j na base oronormal. Usando somene J < elemenos na base, e esimando Φ j () aravés de regressão linear dos mínimos quadrados, obemos a seguine aproximação para o valor de coninuação: j j ^ J Φ J (, X ) = φ ( ) L (, X ) j= ^ j j Ese resulado é enão usado recursivamene na regra óima de decisão. Uma esimaiva mais precisa do valor da opção americana é obida aravés do aumeno do número N de inervalos de empo, do número K de simulações e do número J de funções básicas. O méodo LSM pode ser aplicado ambém para a avaliação de projeos envolvendo opções múliplas, sejam elas independenes, composas ou muuamene exclusivas. Esa abordagem foi adoada pelo auor para a avaliação dos projeos de E&P de peróleo presenes no rabalo. No capíulo a seguir, será feia uma análise de sensibilidade do méodo LSM.