Alocação ótima e medida de risco de um ALM para fundo de pensão via programação estocástica multi-estágio e bootstrap

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1 Davi Michel Valladão Alocação óima e medida de risco de um ALM para fundo de pensão via programação esocásica muli-eságio e boosrap Disseração de Mesrado Disseração apresenada como requisio parcial para obenção do íulo de Mesre pelo Programa de Pós- Graduação em Engenharia Elérica da PUC-Rio. Orienador: Álvaro Veiga PUC-Rio, março de 2008

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3 Sumário Inrodução 5.. Previdência privada 5.2. Modelos de ALM 6.3. Programação esocásica 8.4. Árvore de decisão 0 2 Revisão da lieraura 2 3 Modelo da Programação Esocásica Muli-Eságio Descrição Função objeivo Resrições Resrição de balanço Resrição de invenário de aivos Resrição de máximo de alocação em ações (regulaória) Resrição de liquidez 26 4 Geração de cenários Modelando incerezas aravés de cenários Precificação de aivos Modelo esocásico Geração de cenários em árvore 38 5 Modelo do passivo Premissas Conribuições e benefícios Geração de cenários em árvore para o passivo 53

4 6 Medição e conrole do risco de equilíbrio Risco de equilíbrio e programação esocásica Medição do risco de equilíbrio via boosrap Conrole do risco de equilíbrio 6 7 Resulados Descrição dos exercícios Exercício Exercício Exercício Conclusão 8 9 Bibliografia 83

5 4 Resumo Davi Michel Valladão. Alocação óima e medida de risco de um ALM para fundo de pensão via programação esocásica muli-eságio e boosrap. PUC-Rio, xxxp. Disseração de Mesrado - Deparameno de Auária, Ponifícia Universidade Caólica do Rio de Janeiro. Ese rabalho desenvolve um modelo de programação esocásica como aplicação de um ALM e um novo méodo de medição e conrole do risco de equilíbrio de um fundo de pensão no conexo brasileiro. ALM pode ser definido como um processo de formulação, implemenação, moniorameno e revisão das esraégias relacionadas com aivos, fuuros invesimenos e passivos com a finalidade de aingir os objeivos financeiros, necessidades de caixa e requisios de capial (solvência) dado a olerância ao risco e ouras resrições da organização. Ese problema de oimização baseado na esruura de árvore de cenários é conhecido como modelo de programação esocásica muli-eságio. A careira óima de um fundo de pensão é uma das aplicações mais comuns de um ALM. O principal objeivo financeiro de um fundo de pensão é assegurar o pagameno de benefícios invesindo o dinheiro arrecadado com as conribuições. Para iso, a políica de alocação deve garanir de forma permanene duas condições: equilíbrio e liquidez solvências de longo e curo prazo. Ese documeno propõe um méodo de medição e conrole do risco de equilíbrio que leva em consideração o fao de o gesor do fundo reagir à evolução dos faores de risco rebalanceando a careira. Como aproximação dese efeio, os cenários de renabilidade do porfolio embuidos na programação esocásica são uilizados como amosra dos reornos fuuros. Esas observações serão soreadas por boosrap para gerar os cenários fuuros usados para desconar os fluxos do desembolso do período seguine ao final do horizone de planejameno. Palavras-chave ALM, fundos de pensão, programação esocásica, risco de solvência, risco de equilíbrio, risco de liquidez

6 Inrodução 5 Inrodução Ese rabalho propõe uma meodologia complexa para a gesão de aivos e passivos de uma insiuição de previdência privada com o foco na obenção de uma careira óima e uma medição de risco de insolvência da insiuição. Para o melhor enendimeno, serão desenvolvidos alguns conceios básicos essenciais para uilização dese méodo... Previdência privada A previdência privada, ambém conhecida como complemenar, em como objeivo oferecer planos que complemenem o benefício ou pensão da previdência pública (oficial). O paricipane conribui ao longo de sua vida aiva com a finalidade de acumular recursos para auxiliá-lo em sua aposenadoria aravés de pagamenos vialícios, emporários ou pecúlio (monane pago de uma só vez). A previdência privada pode ser classificada em abera ou fechada. A abera esá disponível a qualquer indivíduo sendo ese capaz de escolher os modelos adequados ao seu perfil e planejar sua aposenaria de acordo com as suas possibilidades. O PGBL e o VGBL são os produos mais conhecidos de previdência abera no Brasil. A previdência fechada por sua vez é resria às pessoas vinculadas a empresa ou associação que oferece o benefício. Ese rabalho considera como objeo de esudo as insiuições de previdência privada fechada, conhecidos como fundos de pensão. O esudo será concenrado nos planos de benefício definido (BD). Os planos BD são aqueles que o beneficiário sabe exaamene quano vai receber depois de sua aposenadoria, sendo que a conribuição mensal é que varia. Os fundos de pensão vêm deixando de oferecer eses planos a novos paricipanes por cona dos riscos relacionados à dificuldade de previsão dos faores de risco envolvidos. Essas insiuições ficam sujeias a gasos maiores com o pagameno de benefícios caso os paricipanes vivam mais que o esperado e, além disso,

7 Inrodução 6 correm o risco de mudanças nas condições do mercado impossibiliarem a obenção da renabilidade necessária para cumprir as meas auariais de suas careiras. No enano, os planos BD residuais êm um percenual significaivo, em alguns casos, a maior pare da careira dos grandes fundos do país. A migração para os planos de conribuição definida (CD), ou seja, aqueles onde o benefício depende das conribuições acumuladas ao longo de empo, esá rapidamene miigando os riscos do não cumprimeno das obrigações conraadas. No enano, sabendo que o risco inerene aos planos BD é significaivamene alo e que os fundos de pensão são enidades que movimenam milhões ou aé bilhões de reais para invesir as conribuições de seus paricipanes, os gesores desses fundos êm a imporane arefa de decidir em que aivos invesir e o quano de dinheiro deve ser alocado em cada um desses invesimenos. Durane muios anos foram desenvolvidas ferramenas que servem como sisemas de apoio à decisão para esses gesores. Essas ferramenas (ou modelos) cosumam er como resposa a alocação óima do fundo dado suas caracerísicas e resrições. Esses modelos são conhecidos como Asse and Liabiliy Managemen ou modelos de ALM..2. Modelos de ALM A expressão Asse and Liabiliy Managemen (ALM) designa a práica de gerir um negócio onde as decisões omadas consideram aivos e passivos de forma coordenada. O ALM é uma aividade crucial para qualquer organização que recebe e invese recursos com o objeivo de cumprir seus requisios de capial (solvência) bem como sua demanda de caixa. ALM pode ser definido como um processo conínuo de formulação, implemenação, moniorameno e revisão das esraégias relacionadas com aivos, invesimenos fuuros e passivos para aingir os objeivos financeiros, necessidades de caixa e requisios de capial dado a aversão ao risco da organização e ouras resrições. O ALM pode er aspecos significaivamene diferenes de acordo com o conexo onde é desenvolvido. Os raders do mercado de derivaivos, por exemplo, consideram aivos e passivos enidades similares. No enano, um fundo de pensão corporaivo (parocinado por uma empresa) não pode mudar o seu

8 Inrodução 7 passivo, endo como conseqüência um ALM oalmene volado para a políica de invesimenos. Geralmene, os fundos de pensão possuem duas fones de recursos para cumprir com suas obrigações ao longo do empo: a apreciação dos aivos somada às receias provenienes dos mesmos, e as conribuições dos paricipanes e do parocinador. É de responsabilidade do gesor do fundo balancear os aivos e os passivos de forma a cumprir as requisições de capial e garanir o pagameno dos benefícios promeidos aos paricipanes. Para isso, a alocação dos aivos deve garanir permanenemene duas condições: equilíbrio e liquidez solvência de longo e curo prazo, respecivamene. A condição de equilíbrio define que o valor dos aivos deve sempre ser o suficiene para pagar odos os benefícios aé a exinção do plano. Iso significa que a diferença enre o valor oal dos aivos e o valor presene líquido dos benefícios deve ser posiiva. A condição de liquidez por sua vez define que o programa de invesimenos deve fornecer caixa suficiene para pagar em dia os benefícios e as demais despesas. Iso significa que o caixa deve esar sempre posiivo. Níveis de capial e caixa são variáveis aleaórias afeadas ano pela políica de invesimenos, uma variável de decisão, quano pelo valor fuuro dos aivos e passivos, conhecidos como faores de risco. Enão, a medição de risco de um fundo de pensão será expressa pelas probabilidades de insolvência de longo prazo e de um caixa negaivo. Há muios méodos e ferramenas criados com o objeivo de modelar e resolver ese ALM sob suas condições de solvência. Eses modelos enconrados na lieraura cosumam raar apenas o equilíbrio para efeios de regulação. É muio difícil lidar com essas condições adequadamene devido a complicações na implemenação e a resrições compuacionais relacionadas ao empo de resolução do problema. A ferramena mais moderna para a solução do problema é a uilização de uma programação esocásica muli-eságio. Ese problema de oimização baseiase numa decisão sob incereza (decisão de hedge) esruurada em uma árvore de cenários que represena o fuuro do mercado e da economia como um odo. Alocações condicionais são escolhidas nos diferenes eságios da esruura represenando uma careira dinâmica dependene de seu passado único e das múliplas possibilidades do fuuro.

9 Inrodução 8.3. Programação esocásica A programação esocásica (PE) é definida como um modelo de oimização que incorpora incerezas na modelagem aravés da inclusão de variáveis aleaórias com disribuição de probabilidade conhecida. Esas variáveis são conhecidas como faores de risco. O objeivo é enconrar uma solução óima que seja admissível para odas as possíveis realizações desses faores. A solução do problema de PE é balanceada para odos os possíveis cenários, ou seja, odas as possíveis realizações são incorporadas em um mesmo problema para uma omada de decisão sob incereza. A classe de modelos de PE considerada a mais imporane denro do ALM são os modelos de recurso. Um modelo de recurso é aquele em que uma decisão de primeiro eságio é omada sem o conhecimeno dos valores fuuros dos faores de risco e, em seguida, uma decisão de recurso é omada dependendo da realização obida. No ALM isso ocorre, por exemplo, quando é escolhida uma careira de alo risco que nos piores cenários é incapaz de pagar odos os benefícios fuuros. A decisão de recurso nesse caso é a omada de um emprésimo que, por sua vez, erá um cuso de capação. Um problema é considerado de recurso simples quando ese apresena apenas dois eságios. O primeiro eságio é aquele onde se oma decisões sem saber o valor dos coeficienes no fuuro e o segundo é quando decisões de recurso são omadas endo oda a informação necessária. Para esse ipo de problema emos a seguine formulação: min s. a x 0 z = c'. x + E A. x = b [ f ( x, θ )] Onde a f(x,θ) é a função de segundo eságio dada por: f ( x, θ ) = min d'. y( θ ) s. a W. y( θ ) y( θ ) 0 = θ T. x

10 Inrodução 9 Nessa formulação x represena as decisões de primeiro eságio e y(θ) as decisões de recurso. A variável y(θ) é dependene do conjuno de valores dos faores de risco θ. A mariz A é a mariz de coeficienes deerminísicos e W e T dos esocásicos, sendo x e y variáveis não-negaivas. O problema pode ser reescrio como uma oimização linear única: min s. a z = c'. x + pi. d'. y A. x = b T. x + W. y M T. x + i= + W. y x, y, K, y Q O Q Q i = r 0 = r Q Onde ri = realização de θ e pi = P(θ = ri), i =,..., Q A programação esocásica é linear quando a função objeivo e as resrições são funções lineares das variáveis do problema. A uilização de uma abordagem linear viabiliza a solução de problemas de grande pore, em ermos de número de variáveis e resrições. Oura classificação desses modelos é quano ao número de eságios. Uma programação esocásica de dois eságios é represenada por um veor x de solução inicial a priori e um veor y(θ) de ajuse a poseriori, onde os aconecimenos fuuros θ já são conhecidos. No caso muli-eságio, os aconecimenos fuuros são revelados progressivamene de forma que haja um veor de ajuse para cada novo eságio do problema. θ { θ K, θ } =, E ( ) { y( θ ) y( θ )} y θ K, =,, E Onde E é o número de eságios do problema A melhor forma de represenar um problema de PE muli-eságio é aravés da esruura de árvore de decisão.

11 Inrodução 0.4. Árvore de decisão Uma das aividades mais comuns no mercado financeiro é considerar os possíveis esados fuuros da economia. O preço e a endência de cada aivo refleem a avaliação do mercado quano às realizações fuuras possíveis. Especialisas defendem seus ponos de visa sobre o fuuro do mercado e os invesidores alocam seu dinheiro de acordo com o risco e o reorno de cada aivo. Exisem muias maneiras de esimar cenários que represenem o fuuro da economia. Na árvore de decisão, os nós esão relacionados à probabilidade discrea de evenos específicos. Um conjuno de nós consecuivos e inerligados represena um possível cenário. Para represenar o fuuro, a esruura de árvore é dividida em cenários S = (S 0,..., S T ) de T eságios onde s S são as possíveis realizações de odos os faores de risco envolvidos que ocorrem com probabilidade p s. Uma árvore genérica de decisão com 5 eságios é dada por: Onde S possui k realizações possíveis dado S 0 = s 0, S 2 possui k 2 dado S = s, e assim por diane. Nessa formaação, exisem k * k 2 * k 3 * k 4 * k 5 possíveis cenários (caminhos) fuuros que podem ou não er probabilidades disinas.

12 Inrodução Cada cenário é uma realização possível, porém somene o conjuno de odas elas é que represena o fuuro. Na práica é inviável incluir odos os cenários possíveis, no enano um conjuno finio e suficienemene pequeno pode represenar bem os faores de risco. A programação esocásica muli-eságio baseada em uma árvore de possibilidades permie a realocação da careira em cada eságio da esruura. A omada de decisão é condicional, ou seja, uma solução óima é obida para cada nó da árvore levando em consideração a informação aé aquele pono e o fuuro relaivo às suas ramificações. As equações do problema de oimização são, de uma forma geral, pensadas como as relações enre dois nós consecuivos e inerligados. Pode-se ciar como exemplo de relação, a equação de Asse Invenory (invenário de aivos) presene nos principais modelos exisenes. Esa resrição diz ao problema que o valor alocado em um aivo no nó B será o valor do mesmo em A, renabilizado pelo reorno do mesmo no período mais as respecivas ransações. A modelagem dessas relações bem como a escolha de uma função objeivo adequada às caracerísicas de cada fundo é essencial para uma resposa coerene do programa. No enano, mesmo com uma boa modelagem, a escolha correa dos cenários uilizados ainda é crucial para a obenção de bons resulados. A próxima seção é responsável pela revisão da lieraura dos modelos de ALM dando ênfase aos arigos que uilizam a programação esocásica como meodologia principal.

13 Revisão da lieraura 2 2 Revisão da lieraura A modelagem moderna de uma careira óima foi precedida por ouras écnicas menos complexas que a programação esocásica. Anes da década de 80, eram uilizadas écnicas de imunização da careira do fundo, iso é, uma abordagem aemporal baseada no casameno de duraions do passivo e do aivo que deveria ser refeia a cada insane do processo. A políica de invesimenos de um fundo de pensão ambém podia ser obida aravés de modelos de oimização baseados na média-variância de Markowiz. Apesar de já considerar incereza em suas decisões, ese modelo ainda era inadequado em diversas siuações devido a sua naureza esáica e de período único. A moivação para o acelerado desenvolvimeno dos modelos ALM com programação esocásica foi baseada no fao de o principal faor deerminane do desempenho da careira ser o valor invesido em cada classe de aivos, (ações, renda fixa, caixa,...), ou seja, a políica de invesimenos. Análises de regressões de Brinson, Hood e Beebower (986) esaram e confirmaram a influência desa políica de invesimenos sobre o desempenho financeiro de 9 fundos de pensão de grande pore, comparando com ouros faores relevanes como a escolha individual de aivos, marke iming e cusos. Mais a frene, foram desenvolvidos modelos de oimização com recurso simples. Kallberg, Whie e Ziemba (982) publicaram o primeiro imporane rabalho descrevendo um modelo de programação esocásica de recurso simples, ou seja, de dois eságios. A careira dinâmica proposa por ese modelo pôde descrever melhor alguns aspecos do problema de um fundo de pensão. Eses modelos, por sua vez, foram rapidamene evoluídos para os modelos de programação esocásica muli-eságio que permiiam represenar o problema de forma mais realisa. Desde enão, a lieraura dos modelos de programação esocásica aplicada à gesão de aivos e passivos pode ser dividida em rês grandes emas: modelos

14 Revisão da lieraura 3 esocásicos para os faores de risco, geração de cenários em árvore e modelagem da programação esocásica. Alguns arigos esudam dealhadamene uma única área enquano ouros abordam odo o processo englobando os rês emas. Os modelos esocásicos são uilizados como base de cálculo para a geração de cenários em árvore que, por sua vez servem como inpus do modelo de programação esocásica. Os arigos dedicados à descrição de modelos esocásicos para a previsão dos faores de risco uilizam variações da modelagem economérica clássica. Kouwenberg (200) descreve um modelo VAR usando o reorno conínuo dos aivos e o crescimeno conínuo do salário dos paricipanes de um fundo de pensão como variáveis endógenas correlacionadas. A classe de aivos caixa e o salário são modelados como um VAR() enquano que as ouras classes (renda fixa, imóveis e ações) usam a modelagem de um passeio aleaório. O passeio aleaório de Kouwenberg que descreve os principais invesimenos em como previsão deerminísica a média hisórica dos reornos. Todos os cenários esocásicos são gerados em orno desa média. Dessa forma, o gesor do fundo não possui liberdade de avaliar a sensibilidade da alocação óima quano à variação dos faores de risco. Além disso, para países emergenes como o Brasil onde somene os anos mais recenes refleem a evolução de uma economia esável, esse modelo é basane inadequado. É possível adapar um modelo VAR para a economia brasileira uilizando como base o arigo Minella (2003) cujo foco é a análise da políica moneária para diferenes períodos. No enano, a uilização dese modelo para previsão macroeconômica não é muio eficiene. As previsões de indicadores macroeconômicos como juros e inflação baseadas somene em dados passados não refleiriam o fuuro da economia. Uma previsão equivocada da renabilidade dos íulos levaria a uma alocação óima sem senido. Uma alernaiva quando os dados passados não são suficienes para represenar o fuuro da economia é a uilização de modelos que deerminam as relações de longo prazo enre as variáveis macroeconômicas. O modelo VEC de Koivu, Pennanen e Ranne (2004) aplicado para a Finlândia permie impuar as médias de longo prazo da axa básica de juros, do spread longo-curo da esruura a ermo, o reorno de dividendos (ações) e aluguéis (imóveis). O segundo modelo, Aderson, Hoffman e Rasche (998) foi proposo para a economia americana

15 Revisão da lieraura 4 descreve como relações de longo prazo a equação de demanda por moeda, a relação de Fisher e o spread longo-curo da esruura a ermo da axa de juros. A simplicidade do modelo de reversão à média descrio por Der (998) é uma boa opção para o caso brasileiro. Uma quanidade menor de parâmeros para esimação e a possibilidade de impuar as médias de convergências dos reornos permie um melhor ajuse do modelo manendo o seu propósio de reraar a realidade fuura da economia segundo a visão do gesor. O modelo de Der usa como variáveis endógenas o reorno conínuo das classes de aivos (ações, imóveis, renda fixa e caixa) além do crescimeno conínuo da inflação, do produo e dos salários dos paricipanes do fundo. As médias dos reornos dos aivos são ais que a maior renabilidade média é das ações seguido por imóveis, renda fixa e caixa. As volailidades, por sua vez, apresenam a mesma ordem decrescene havendo apenas uma única mudança: a renda fixa é mais voláil que os imóveis. O segundo ema, ou seja, a geração de cenários em árvore, é descrio por dois papers principais: Gülpinar, Rusem e Seergren (2004) e Kouwenberg (200). O primeiro demonsra dealhadamene como esruurar os cenários em árvore de forma a represenar o fuuro das variáveis econômicas e auariais em esudo. Já o segundo, além de descrever um méodo eficiene de geração de cenários em árvore, aborda os ouros dois emas da lieraura e suas inerrelações. O primeiro arigo se divide em rês abordagens de geração: por simulação, oimização e híbrida (simulação/oimização). Na primeira abordagem, cenários dos preços dos aivos, gerados aleaoriamene aravés do modelo esocásico escolhido, são agrupados nos chamados clusers. O cenróide de cada cluser, selecionado como o cenário mais próximo de seu cenro, dá origem aos nós da árvore. Essa abordagem pode ser feia por simulação seqüencial ou paralela. Na segunda, a geração de cenários em árvore por oimização, os cenários de preços e suas probabilidades são escolhidos de forma a minimizar o quadrado da diferença enre propriedades esaísicas de cada eságio da árvore e do modelo esocásico original. Seqüencias de oimizações não-lineares ou uma única oimização nãolinear para oda a esruura são as duas caegorias desa abordagem. Por fim, a geração da árvore de cenários híbrida (simulação / oimização), apresena uma redução do esforço compuacional com relação à segunda. A obenção dos preços é feia por simulação e as probabilidades são obidas pela oimização.

16 Revisão da lieraura 5 Os procedimenos são esados com dados hisóricos (backesing) uilizando o sofware de oimização foliage para escolha de porfólio (Gülpinar 2002). A segunda abordagem usando uma oimização única é, eoricamene, a melhor forma de represenar os faores de risco. Porém o esforço compuacional não demonsra ganhos na comparação de resulados do backesing com as ouras abordagens. O segundo paper, Kouwenberg (200), além de apresenar um modelo VAR para os faores de risco e uma modelagem de programação esocásica, ambém descreve uma meodologia muio eficaz na geração de cenários em árvore. O Ajused Random Sampling é baseado numa geração aleaória dos cenários ajusando seus principais momenos com o modelo esaísico original. O uso de variáveis aniéicas permie o ajuse de odos os momenos cenrais ímpares da árvore com o modelo economérico para os faores de risco. Com a média e a simeria ajusadas, os ramos condicionais da árvore de possibilidades sofrem uma ransformação na variância para complear o ajuse com a disribuição original. A facilidade de implemenação e o menor esforço compuacional do modelo de Kouwenberg fazem desse méodo uma forma eficiene de geração de cenários esruurados em árvore usando um modelo economérico simples para os faores de risco. Os arigos dedicados ao erceiro e úlimo ema, a descrição dos modelos de programação esocásica, apresenam algumas caracerísicas que diferenciam o ipo de modelagem adoada: o horizone de planejameno, a função objeivo, as variáveis de decisão e as resrições. A escolha do horizone de planejameno depende da aplicação do modelo ALM. Horizone de médio prazo se relaciona a aplicações para bancos, como Kusy e Ziemba (986), ou seguradoras, como Cariño e Ziemba (998). Horizones de longo prazo, por sua vez, são caracerizados por modelos para fundos de pensão como Der (998), Drijver, Haneveld e Vlerk (2000), Kouwenberg (200) e Koivu, Pennanen e Ranne (2004). A função objeivo apresena duas linhas claras de modelagem. A primeira, Kusy e Ziemba (986), Cariño e Ziemba (998) e Koivu, Pennanen e Ranne (2004) maximizam a riqueza (ou lucro) esperada ao final do horizone. Especificamene para os fundos de pensão, insiuições sem fins lucraivos,

17 Revisão da lieraura 6 maximizar o lucro é equivalene a minimizar as conribuições pagas. A minimização do conhecido cos of funding é adoada por Der (998), Drijver, Haneveld e Vlerk (2000) e Kouwenberg (200). As duas linhas de modelagem da função objeivo êm como variáveis de decisão a políica de invesimeno dos aivos, no enano para a segunda linha são acrescidas variáveis relacionadas à políica de conribuições do fundo. Duas resrições básicas são usadas em odos os modelos ALM via programação esocásica. A primeira delas raa da conservação de riqueza de cada invesimeno, ou seja, o valor de cada invesimeno cresce com sua renabilidade e varia de acordo com as ransações realizadas. A segunda é o balanço de caixa, iso é, a soma das enradas de caixa (venda de aivos, conribuições, dividendos,...) deve ser igual à soma das saídas (compra de aivos, benefícios, cusos de ransação,...). Limies na alocação e na políica de conribuições ambém são basane comuns nos arigos da lieraura. Além de adoarem eses limies, Der (998), Drijver, Haneveld e Vlerk (2000), Kouwenberg (200) e Koivu, Pennanen e Ranne (2004) uilizam equações para modelar o esado de solvência da insiuição. Der (998), Drijver, Haneveld e Vlerk (2000) uilizam uma chance consrain para impor um limie máximo de probabilidade de insolvência. Sendo assim, o problema é ransformado numa programação esocásica muli-eságio misa ineira, iso é, variáveis binárias são uilizadas para conar os cenários que caracerizam insolvência e uma resrição exige que um percenual máximo desses cenários insolvenes. Duas críicas podem ser feias aos rabalhos ciados no parágrafo anerior. Primeiramene, o esforço compuacional de uma programação ineira é muio maior, além de só permiir a escolha de um limie superior para a probabilidade de insolvência. A segunda diz respeio ao cálculo da reserva écnica (RT). Der (998), Drijver, Haneveld e Vlerk (2000) e Kouwenberg (200) fazem esse cálculo usando a axa de descono auarial deerminada por lei. KPR, por sua vez, usam a denominada echnical ineres rae calculada como uma proporção das renabilidades dos aivos dependene do nível de solvência do fundo. Esa proporção é esimada exernamene já que o nível de solvência é uma variável de decisão obida a poseriori. Todas essas modelagens não uilizam a axa de descono adequada.

18 Revisão da lieraura 7 Segundo Veiga (2003), o cálculo da reserva écnica deve considerar a renabilidade de careira para represenar correamene o cuso de oporunidade do fundo. A escolha de uma axa de descono fixa independene da políica de invesimenos pode ser inerpreada como uma aproximação do porfólio por um único conrao de renda fixa sem risco. A legislação brasileira deermina que a renabilidade dese conrao deva ser a variação anual do índice de inflação IGP-M mais 6%. Esa aproximação é adoada devido à dificuldade de se ober a renabilidade da careira já que esa depende da reserva écnica e vice versa. Oura críica imporane aos rabalhos ciados é a ausência de uma medida do risco de equilíbrio (insolvência) dos fundos de pensão. Nesses arigos, o risco de insolvência pode ser aproximado pela probabilidade de uma riqueza final negaiva ou por um parimônio menor que a RT calculada com uma axa de descono fixa. Enreano, as duas formas não represenam a verdadeira probabilidade de insolvência do fundo. Nese rabalho é proposo um modelo de programação esocásica mulieságio para a Gesão de Aivos de Passivos (ALM) de um fundo de pensão com plano BD, além de desenvolver um novo méodo de medição e conrole do risco de equilíbrio no conexo brasileiro. O modelo proposo é capaz de enconrar políica de invesimenos esraégica para fundos de pensão que maximiza a sua riqueza garanindo o cumprimeno de suas obrigações e penalizando possíveis cenários que não cumpram o requisio de capial ao longo do horizone. O pono de parida dese modelo é a siuação auarial e financeira aual do fundo, caracerizada pela alocação inicial dos aivos, prêmios, reservas, conribuições e benefícios no início do período, além das caracerísicas de cada paricipane. Serão considerados limies de alocação, cusos de ransação e resrições de liquidez além das equações usuais de conservação de riqueza e balanço de caixa. São consideradas rês principais fones de incereza ou faores de risco nessa abordagem: O desenvolvimeno da vida e carreira de cada paricipane, influenciando ambém o valor dos fluxos auariais reais A evolução emporal do passivo nominal, ou seja, benefícios menos conribuições, corrigida pela inflação As renabilidades de cada classe de aivos considerada como possível invesimeno

19 Revisão da lieraura 8 O méodo de medição do risco de equilíbrio aqui proposo leva em consideração o fao de o gesor do fundo de pensão reagir à evolução dos faores de risco rearranjando sua careira. Como uma aproximação dese efeio, cenários dos reornos financeiros da careira embuidos na programação esocásica serão uilizados como uma amosra dos reornos fuuros além do horizone de planejameno. Os reornos fuuros serão obidos com a écnica de boosrapp uilizando as observações da amosra obida. Será desenvolvido ambém um modelo financeiro para o plano, incluindo um modelo para os fluxos dos benefícios líquidos e um modelo esocásico para os reornos dos aivos. As classes de aivos escolhidas são ações, imóveis, renda fixa e caixa. As renabilidades dessas classes serão modeladas por um Vecor Auo-Regressive Model (VAR) de reversão a média (baseado em Der - 998) que inclui variáveis macroeconômicas como produo e inflação. Um méodo para a geração de cenários em árvore baseado em Kouwenberg (200) ambém será desenvolvido.

20 Modelo da Programação Esocásica Muli-Eságio 9 3 Modelo da Programação Esocásica Muli-Eságio 3.. Descrição O modelo desenvolvido nese arigo uiliza uma programação linear esocásica muli-eságio para a gesão de aivos e passivos de fundos de pensão brasileiros, em especial os de grande pore. São conempladas 4 classes de aivos: - ações, 2- imóveis, 3- renda fixa e 4- caixa. São incluídas considerações de liquidez, cusos de ransação, emprésimos, além das resrições de balanço, de invenário de aivos e de regulação (relaivas à legislação brasileira dos fundos de pensão). A resrição de equilíbrio é incluída no rabalho de forma inovadora. Os fluxos reais do passivo (aé a exinção do fundo) são desconados pela renabilidade da careira, ou seja, considerando o real cuso de oporunidade da insiuição. A disribuição de probabilidades desa renabilidade é aproximada pelas observações conidas no horizone de planejameno. Para efeios de comparação, calcula-se ambém a reserva écnica com a axa de descono deerminada pela legislação brasileira (IGP-M+6%) - como é feio nos arigos da lieraura. A definição da noação, das variáveis e dos parâmeros é o próximo passo para a descrição do modelo de PE. Define-se a noação N como o número de nós no eságio {,..., T}, e n {,..., N } represenando um nó qualquer no mesmo insane. As variáveis do problema são maiores ou iguais a zero e podem ser classificadas como variáveis de decisão ou variáveis de esado. As variáveis de decisão são as escolhidas pelo oimizador de forma a maximizar a função objeivo. As variáveis de esado são apenas conseqüências dos valores escolhidos para as de decisão. Esas duas variáveis definem por compleo a siuação o porfólio em um deerminado eságio da árvore de decisão. Os parâmeros uilizados podem ser fixos ou varianes com a posição relaiva na árvore. Os fixos

21 Modelo da Programação Esocásica Muli-Eságio 20 são conhecidos como parâmeros deerminísicos e os varianes como parâmeros esocásicos ou faores de risco. Definição das variáveis de decisão c i (n ) = valor (R$) comprado do aivo i no nó n v i (n ) = valor (R$) vendido do aivo i no nó n e(n ) = emprésimo (R$) omado no nó n Definição das variáveis de esado a i (n ) = valor (R$) alocado no aivo i no nó n y(n T ) = max [0, riqueza no nó n T menos requisio de capial] w(n T ) = max [0, requisio de capial menos riqueza no nó n T ] Definição dos parâmeros deerminísicos pe = penalização por uma riqueza final menor que o requisio de capial bo = bonificação por uma riqueza final maior que o requisio de capial sp = spread da axa de emprésimo sobre o juros ma = percenual máximo de ações no porfólio c = cuso de ransação percenual cc i = capacidade máxima de compra do aivo i cv i = capacidade máxima de venda do aivo i a i (inicial) = valor (R$) alocado no aivo i anes da primeira decisão L * = requisio de capial Definição dos parâmeros esocásicos ou faores de risco l(n ) = fluxo de caixa nominal do passivo no nó n r i (n ) = reorno do aivo i enre os nós inerligados n - e n

22 Modelo da Programação Esocásica Muli-Eságio Função objeivo Exisem duas formas de se represenar a função objeivo de um fundo de pensão. A primeira delas é minimizar as conribuições do paricipane e do parocinador, e a segunda é maximizar a uilidade esperada do parimônio do fundo ao final do horizone de esudos manendo a políica de conribuição consane. Inuiivamene pode-se dizer que esas são equivalenes, pois quano mais dinheiro sobrando maiores seriam as reduções nas conribuições. Foi escolhida para esse rabalho a segunda opção já que, na práica, a políica de conribuições não é uma variável que enha flexibilidade de ser alerada pelo gesor a cada período. Sendo assim, a função objeivo do modelo é maximizar a uilidade esperada da riqueza do fundo ao final do horizone de esudos. Sabendo que os fundos de pensão são insiuições sem fins lucraivos, fica claro que a escolha de uma função uilidade côncava que represene um indivíduo avesso ao risco é a mais adequada. Devido a algorimos de solução mais eficienes para o problema de oimização com muias resrições e variáveis, e à facilidade de inerpreação dos parâmeros, foi escolhida uma função uilidade linear. A uilidade do fundo relacionada à riqueza em um nó erminal n T é dada por: ( riqueza( n )) = u( y( n ), w( n )) = bo. y( n ) pe w( n ) u. T T T T T Sabendo que y(n T ) e w(n T ) represenam respecivamene o quano a riqueza final excede o requisio de capial (L * ) e o quano fala para aingir o mesmo valor (L * ), é possível afirmar que a aversão ao risco do fundo de pensão é caracerizada pela escolha dos parâmeros pe e bo. A função de uilidade será côncava se pe > bo, pois assim o porfólio escolhido é menos arriscado eviando prejuízos nos cenários mais pessimisas. A figura abaixo exemplifica uma uilidade linear de um indivíduo avesso ao risco para um requisio de capial nulo (L * = 0).

23 Modelo da Programação Esocásica Muli-Eságio 22 O valor da função objeivo é a uilidade esperada da riqueza ao final do horizone de planejameno, ou seja, é a média das uilidades de odos os nós erminais. [ u( riqueza) ] = E[ bo. y pe w] E. Logo, max z = N nt = p nt. [ bo. y( n ) pe. w( n )] T T Onde p n é a probabilidade de ocorrência do nó erminal n T T Nese rabalho os cenários são considerados equiprováveis e os parâmeros pe e bo são, respecivamene, e 2. Sendo assim, emos que objeivo passa a ser: p T n = p e a função max z = N nt = p. [ y( n ) 2. w( n )] T T

24 Modelo da Programação Esocásica Muli-Eságio Resrições As relações imporanes enre variáveis e parâmeros são expressas pelas resrições. Foram considerados quaro ipos de resrições para o modelo: Resrição de balanço Resrição de invenário de aivos Resrição de máximo de alocação em ações (regulaória) Resrição de liquidez Resrição de balanço Resrição de balanço para os primeiros eságios A resrição de balanço deermina de forma coerene a evolução da riqueza do fundo ao longo do empo. O valor oal dos aivos no insane + será o valor oal em renabilizado e, em seguida, subraído das obrigações líquidas do fundo. As classes de aivos consideradas são: - ações; 2- imóveis; 3- renda fixa; 4- caixa. A resrição é expressa pela equação abaixo: 4 i= = [( + r ( n )). a ( n )] + e( n ) ( + ( sp + r ( n ))). e( n ) l( n ) c. [ c ( n ) + v ( n )] A i= + [ a ( n )], ( n, n ) inerligados, { 0,, K, T 2} i i + i i= i + i + O modelo considera que os fluxos de caixa do passivo são acumulados no final de cada período enquano que os emprésimos são omados no início e pagos no final. A figura abaixo ilusra a ordem cronológica dos desembolsos e ouros faos relevanes.

25 Modelo da Programação Esocásica Muli-Eságio 24 Resrição de balanço para o úlimo eságio No úlimo eságio a resrição de balanço apresena uma modificação que define o superávi ou défici ao final do horizone. Se o valor dos aivos renabilizado e desconado das obrigações do penúlimo período é posiivo caraceriza-se um superávi, caso conrário um défici. 4 [( + ri ( nt )). ai ( nt )] + e( nt ) ( + ( sp + r3 ( nt ))). e( nt ) l( nt ) i= = y ( n ) w( n ), ( n, n ) in erligados T T T T Se o lado esquerdo da equação for posiivo logo o valor de y(n T ) será maior que zero w(n T ) será nula. Da mesma forma se o lado esquerdo for negaivo w(n T ) será posiiva e y(n T ) será igual a zero. ] Resrição de invenário de aivos A resrição de invenário de aivos especifica que o valor invesido em um aivo em + será o valor invesido em renabilizado, somado as compras e subraído as vendas do mesmo aivo em +. Esa resrição garane a conservação da riqueza de cada aivo individual e a coerência do valor alocado com as ransações efeuadas. a i ( n+ ) = ( + ri ( n+ )). ai ( n ) + ci ( n+ ) vi ( n+ ) i =,2 e3; { 0,..., T 2}, É imporane desacar que a classe de aivos 4- caixa não é conemplada por essa equação pela ausência de cusos de ransação. Além disso, não faria senido comprar ou vender caixa.

26 Modelo da Programação Esocásica Muli-Eságio 25 Nesa equação é de fácil percepção que a escolha do valor das variáveis de decisão c i (n + ) e v i (n + ) define compleamene a variável de esado a i (n + ), já que a i (n ) do período anerior e as renabilidades são conhecidos. Percebe-se ambém a necessidade de uma resrição de invenário de aivos para a primeira decisão. a ( n ) a ( inicial) = c ( n ) v ( n ), i,2 3 i 0 i i 0 i 0 = e Nessa equação não é necessário a renabilidade do aivo já que as alocações a i (n 0 ) e a i (inicial) esão praicamene no mesmo insane de empo como pode ser viso na represenação abaixo: Resrição de máximo de alocação em ações (regulaória) A legislação brasileira deermina que no máximo 50% da careira de um fundo de pensão deve ser invesimeno em renda variável, com exceções aos casos de ações hedgiadas por opções. Para efeios de simplificação não serão consideradas opções e conseqüenemene o limie de ma = 50% será rígido. a 4 ( n ) ma. ai ( n ), 0,..., T = i=

27 Modelo da Programação Esocásica Muli-Eságio Resrição de liquidez A resrição de liquidez foi incluída para eviar que o gesor do fundo possa comprar ou vender uma quanidade de íulos maior que a capacidade do mercado. Esa inovação é de suma imporância no conexo brasileiro já que os grandes fundos do país conseguem movimenar o mercado de preços com suas posições em careira. As equações definem que o valor da variável de decisão de compra (venda) deve ser menor ou igual à capacidade de compra (venda) do mercado. Os parâmeros de capacidade de compra cc i e o de venda cv i não são observáveis direamene, sendo assim escolhidos de acordo com a opinião e a sensibilidade do gesor do fundo. c v i i ( n ) cci, = 0,..., T, i =,2 e3 ( n ) cv, = 0,..., T, i =,2 e3 i

28 Geração de cenários 27 4 Geração de cenários 4.. Modelando incerezas aravés de cenários Um dos principais problemas de um ALM é a modelagem da incereza sobre os valores fuuros dos faores de risco. Isso é feio aravés da geração de um número finio de cenários que represenam de forma coerene as relações enre as variáveis econômicas e auariais ao longo do horizone de esudo. Sendo assim, um insane fuuro é represenado por um esado da naureza e ese definido por um conjuno de valores como os reornos dos aivos, a inflação, os fluxos de desembolso do passivo, enre ouros. Eses esados são compuados de forma independene sendo impuados no modelo de oimização da careira. Um caminho de esados consecuivos do início ao final do horizone de esudo define um cenário. Uma grande quanidade de cenários é uilizada para ober uma represenação razoável de um fuuro incero. O modelo presume que o omador de decisão não sabe a priori qual desses cenários realmene se realizará, preservando assim a incereza do processo decisório. A esruura de árvore de possibilidades é a melhor escolha para represenar esses caminhos, pois assim os esados da naureza são represenados por nós e as informações sobre as variáveis de ineresse se revelam gradaivamene ao longo do empo. No insane = 0 exise um único esado que pode ser observado, ou seja, os valores auais dos faores de risco. No insane seguine novos nós são criados dado a exisência de seu anecessor. De forma geral pode-se dizer que para cada nó exisem alguns esados sucessores equiprováveis e apenas um anecessor, represenando, respecivamene, a incereza do ambiene fuuro e o conhecimeno de um passado único.

29 Geração de cenários Precificação de aivos Os modelos de ALM êm como objeivo a escolha de um porfólio esraégico onde os recursos são alocados em classes de aivos. As renabilidades de cada classe de aivos bem como as conas do passivo são funções de variáveis econômicas que, por sua vez, ornam-se essenciais para a escolha do porfólio óimo de qualquer insiuição financeira. O reorno da classe - Ações será a variação percenual de uma cesa com proporções fixas de ações conhecida com Ibovespa. Iso corresponde a comprar íulos das empresas que melhor represenam o índice. Ese ipo de aproximação considera que o gesor deva rebalancear a careira para maner as proporções originais de cada ação. Esa renabilidade é calculada da seguine maneira: ( índice IBOVESPA ) ( índice IBOVESPA ) r ( n ) = O reorno dos Imóveis (classe de aivos nº 2) normalmene é modelado por duas componenes: a renabilidade 2a de compra e venda, e 2b dos aluguéis. A renabilidade da componene de compra e venda é a valorização do imóvel no mercado. É obida da seguine forma: ( preço do imóvel ) ( preço do imóvel ) r 2a ( n ) = Enquano que o reorno relaivo aos aluguéis é relacionado com a enrada de caixa dos imóveis arrendados: r ( n ) = 2b ( valor médio do aluguel ) ( preço do imóvel ) A soma das duas componenes r 2a (n ) e r 2b (n ) compõe a renabilidade da classe de aivos imobiliária.

30 Geração de cenários 29 r ( n ) = r2 a ( n ) + r2 ( n ) 2 b A renabilidade desa classe de aivos pode ser modelada somene pela componene de aluguel, já que esa represena a maior pare do reorno no invesimeno. No enano, no Brasil, não exise um índice represenaivo dos preços dos imóveis ornando impossível o cálculo preciso desa renabilidade. Para aproximar o reorno dos aluguéis, é uilizada a variação percenual da série da aividade de aluguéis da pesquisa do PIB. ( aividade de aluguéis do PIB) ( aividade de aluguéis do PIB) r 2( n ) r2 ( n ) b O reorno dos invesimenos da classe 3, Renda fixa, será aproximado pelo cuso mínimo do dinheiro no mercado, o CDI, mais um spread fixo escolhido de acordo com a sensibilidade do gesor da careira. A média do spread enre a axa longa a cura da esruura a ermo da axa de juros é uma possível escolha para esse parâmero. O exemplo que será exposo uilizará um spread de 0,5%. r3 ( n ) = CDI + spread O reorno da classe 5, Caixa, pode ser considerado como a renabilidade mensal de depósios bancários de curo prazo modelados pelo CDI, o cuso mínimo do dinheiro. r 4 ( n ) = CDI

31 Geração de cenários Modelo esocásico Seguindo a meodologia de Der (998), as séries hisóricas dos faores de risco são modeladas por um Veor Auo-Regressivo (VAR) com reversão à média. A média por sua vez será impuada exernamene, pois dessa forma o gesor o fundo erá uma maior sensibilidade com relação à resposa do modelo à variação dos faores de risco, além de permiir análises econômicas exernas para a deerminação de ais parâmeros. O modelo uilizado apresena a formulação onde o radicional índice (uiliza aqui para represenar os eságios) é subsiuído por q: X q = µ + α(x q- - µ ) + ε, q ε ~ N(0, Σ) q Onde X q x x = x x x q 2q 3q 4q 5q e x y jq jq ( + y ), = ln j =,..., 5 jq = va riável econômica As variáveis econômicas y iq são dadas por: y iq crescimeno va riação = va riação CDI va riação (%) (%) dos (%) do (%) (%) do do PIB aluguéis IGP M Ibovespa A esimação dos parâmeros α e Σ é feia com dados passados aravés méodo de mínimos quadrados ordinários, enquano que a média µ é deerminada exernamene. Os dados da amosra êm freqüência rimesral começando em abril de 996 e erminando em abril de 2007.

32 Geração de cenários 3 Foi acrescenada uma variável dummy D q dicoômica para modelar os efeios da ala dos juros do início da amosra aé o erceiro rimesre de 999. Essa variável assume o valor nese período de ala e 0 nos demais. X q = µ + α(x q- - µ ) + D q + ε, ε ~ N(0, Σ) q q O modelo VAR considera a premissa que as variáveis uilizadas devam ser esacionárias. Sendo assim, são feios eses de raiz uniária ADF de odas as componenes do veor X q. Tese Augmened Dickey-Fuller Hipóese nula: x i em uma raiz uniária Esaísica p-valor* Exógenas x q 5, ,00% Nenhuma x 2q 4, ,00% Nenhuma x 3q 3,084 0,34% Nenhuma x 4q 3,4062 6,49% Inercepo e endência linear x 5q 5, ,00% Nenhuma *MacKinnon (996) p-valores unilaerais. A única variável com p-valor acima de 5% é a relacionada ao CDI. Podemos considerar um nível de significância de 0% e raificar a esacionariedade desa série com alguns argumenos econômicos. O início da amosra é de um período conurbado com algumas crises inernacionais relevanes e alguns resquícios do processo de hiperinflação brasileiro (ver figura abaixo). Em 996, os juros ainda eram alos devido à reação do banco cenral a hiperinflação no início do plano real em 994. As crises da Ásia e da Rússia, em 97 e 98 respecivamene, seguidas da mudança do regime de câmbio fixo para fluuane em 99, ambém respondem por novas alas na axa básica de juros, e conseqüenemene no CDI. Em 2002, mais um sobressalo nos juros é marcado pela crise eleioral. Considerando que para um fuuro em esado de equilíbrio, a série do CDI será esacionária reornando a sua média de longo prazo, já que choques na axa básica da economia não são permanenes.

33 Geração de cenários CDI empo A esimação do modelo depende da escolha do veor de médias µ. Sabendo que y ln (+y) para valores pequenos de y, são escolhidas as médias represenando direamene os valores das variáveis econômicas y jq. Para efeios de um exemplo ilusraivo o veor de médias é ajusado para que o reorno médio das ações seja o mais alo seguido pelos imóveis, íulos de renda fixa e, por úlimo, caixa. As axas de crescimeno do PIB e da inflação escolhidas são valores ípicos uilizados no mercado brasileiro: µ = [4% % 4% 0% 2%] As defasagens do modelo de reversão à média é raificada pelo criério de informação de Schwarz. VAR Lag Order Selecion Crieria Endogenous variables: X-0.04 X2-0. X X4-0.0 X5-0.4 Exogenous variables: DUMMY Dae: 0/6/08 Time: 8:03 Sample: 996Q2 2007Q2 Included observaions: 4 Lag LogL LR FPE AIC SC HQ NA 4.64e e * * * 7.2e-3* e e * * indicaes lag order seleced by he crierion LR: sequenial modified LR es saisic (each es a 5% level) FPE: Final predicion error AIC: Akaike informaion crierion SC: Schwarz informaion crierion HQ: Hannan-Quinn informaion crierion

34 Geração de cenários 33 Teses de normalidade, correlograma, e LM para auocorrelação dos resíduos são feios para verificar se o modelo esá ou não ajusado. Nos eses de normalidade, é aceia a hipóese nula de que os resíduos são uma normal mulivariada, para um nível de significância de 0%. VAR Residual Normaliy Tess Orhogonalizaion: Cholesky (Lukepohl) H0: residuals are mulivariae normal Dae: 0/6/08 Time: 8:02 Sample: 996Q2 2007Q2 Included observaions: 44 Componen Skewness Chi-sq df Prob Join Componen Kurosis Chi-sq df Prob Join Componen Jarque-Bera df Prob Join

35 Geração de cenários 34 No correlograma é possível enconrar alguns ouliers que não compromeem o ajuse do modelo. Auocorrelaions wih 2 Sd.Err. Bounds Cor(X-0.04,(X-0.04)(-i)) Cor(X-0.04,(X2-0.)(-i)) Cor(X-0.04,(X3-0.04)(-i)) Cor(X-0.04,(X4-0.0)(-i)) Cor(X-0.04,(X5-0.4)(-i)) Cor(X2-0.,(X-0.04)(-i)) Cor(X2-0.,(X2-0.)(-i)) Cor(X2-0.,(X3-0.04)(-i)) Cor(X2-0.,(X4-0.0)(-i)) Cor(X2-0.,(X5-0.4)(-i)) Cor(X3-0.04,(X-0.04)(-i)) Cor(X3-0.04,(X2-0.)(-i)) Cor(X3-0.04,(X3-0.04)(-i)) Cor(X3-0.04,(X4-0.0)(-i)) Cor(X3-0.04,(X5-0.4)(-i)) Cor(X4-0.0,(X-0.04)(-i)) Cor(X4-0.0,(X2-0.)(-i)) Cor(X4-0.0,(X3-0.04)(-i)) Cor(X4-0.0,(X4-0.0)(-i)) Cor(X4-0.0,(X5-0.4)(-i)) Cor(X5-0.4,(X-0.04)(-i)) Cor(X5-0.4,(X2-0.)(-i)) Cor(X5-0.4,(X3-0.04)(-i)) Cor(X5-0.4,(X4-0.0)(-i)) Cor(X5-0.4,(X5-0.4)(-i)) No ese LM é aceia a hipóese nula para um nível de significância de 0,5% e para odas as defasagens. Considerando que a única defasagem que apresena um p-valor menor que % será considerado que não há correlação serial dos resíduos. VAR Residual Serial Correlaion LM Tess H0: no serial correlaion a lag order h Dae: 0/6/08 Time: 8:00 Sample: 996Q2 2007Q2 Included observaions: 44 Lags LM-Sa Prob Probs from chi-square wih 25 df.