1 Movimento de uma Carga Pontual dentro de um Campo Elétrico

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1 Correne Elérica Movimeno de uma Carga Ponual denro de um Campo Elérico Uma carga elérica denro de um campo elérico esá sujeia a uma força igual a qe. Se nenhuma oura força aua sobre essa carga (considerar posiiva inicialmene) enão essa carga será acelerada na direção do campo elérico. De acordo com a ª Lei de Newon, esa força será igual à massa da carga vezes a aceleração da carga, ou seja: q E F = q E = m a a =. () m A parir daqui volamos ao que aprendemos em Cinemáica quando esudamos o movimeno de uma parícula sob a ação de uma força exerna. Quando a força que auava na parícula era a força da gravidade, dependendo das condições iniciais, a parícula normalmene inha uma rajeória parabólica. Sendo assim, uma parícula carregada denro de um campo elérico, segue a mesma eoria da cinemáica para ser descria denro de um campo elérico. Veja ese link: hp://webphysics.davidson.edu/physle_resources/bu_semeser/index.hml Exemplo Suponha que um eléron é projeado em um campo uniforme de 500 N/C com velocidade inicial e paralelo a esse campo. Qual a disância que ese eléron percorre anes de parar? A aceleração é no senido conrário ao campo, pois a carga é negaiva, e é dada por (q/m)e. A expressão envolvendo a velocidade, aceleração e espaço de um corpo em movimeno é: v=x0 6 m/s x v=0 m/s v = v 0 + a( x x0 ) onde x 0 = 0, no exao momeno que a parícula enra no campo com velocidade inicial de x0 6 m/s. Levando a expressão da aceleração na equação acima, obemos: 9 6,6 x0 x = (x0 ) ( x 0) x =, 8x0 m. 3 9,x0 Ou,8 cm.

2 - Correne e Movimeno de Carga Correne elérica é o fluxo líquido de carga elérica (eléron, próon, íon) que passa por uma seção ransversal de área A, por segundo. Esa correne pode esar no ar (relâmpago), vácuo (acelerador de parículas) e, mais usual, num conduor elérico (fio em nossa casa). Maemaicamene podemos definir correne elérica da seguine maneira; Q =. (3) Aqui, Q é a quanidade de cargas que passam por uma seção ransversal num inervalo de empo. A unidade de correne elérica é o Coulomb por segundo, ou seja, C/s, ambém conhecida como Ampere (A). A q v d Se o inervalo de empo for infiniesimal, enão a definição de correne fica da seguine forma: = dq. (4) d A equação (4) é ineressane, pois, caso a quanidade de carga seja dependene do empo, a correne é obida a parir da inegração desa equação. Por convenção, o senido da correne depende da carga em movimeno. Para cargas posiivas, a correne esá no mesmo senido de movimenação desas. Se a correne elérica for feia por eléron, a correne é conrária à movimenação dos elérons. A figura ao lado mosra a correne e a carga correspondene. Nese caso a correne oal é a soma algébrica das duas correnes. e p e - p + Uma correne de A é equivalene a uma quanidade de carga muio grande passando por uma seção por segundo. Considerando que a carga do eléron é de,6x0-9 C, eremos um oal de 6,5x0 8 elérons passando por segundo. Esa correne é, e.g., o que uma lâmpada de 0W precisa para acender compleamene sob um poencial de 0V. Obs. A correne elérica produzida por um relâmpago pode chegar a A. No link hp://p.wikipedia.org/wiki/el%c3%ampago podemos enconrar um exo simples sobre relâmpagos com muias curiosidades sobre ese fenômeno. Mais dealhes podem ser adquiridos, ambém, em hp://en.wikipedia.org/wiki/lighning#discharge. O efeio que uma correne elérica em sobre o homem quando flui de uma mão para oura, esá mosrado na abela abaixo.

3 Correne elérica Efeios fisiológicos 0 ma Princípio da sensação de choque 0 00 ma ma ma a 0 A Pono em que um esímulo é suficiene para produzir um efeio doloroso; paralisia muscular, dor severa dificuldade respiraória; parada cardíaca Fibrilação venricular normalmene faal se não houver inervenção Parada cardíaca, recuperação possível desde que o choque seja erminado anes da more Queimaduras graves e não faais, a menos que os órgãos viais enham sido aingidos Fone: hp:// 3 Densidade de Correne (Faculaivo) Vamos fazer uso da primeira figura, porém, com pouco mais de dealhes. Suponha que ese conduor enha um numero n de cargas livres por volume para conduzir a correne elérica, assim, num inervalo de empo esas cargas percorrerão um espaço dado por v d (veja figura ao lado) A q v d v d Assim, a carga oal que passa por uma seção ransversal de área A num inervalo de empo é: Q Q = q nv = qnavd = = q n Avd. (5) V é o volume dado A. v d. Da equação (5), podemos definir a densidade de correne como sendo: J = = qnv d. (6) A Como velocidade é uma grandeza veorial, enão a densidade de correne ambém o é: J = qnv. d Semelhane ao que fizemos para definir fluxo de um fluido, podemos fazer o mesmo para a correne, ou seja, = J nˆ da. (7) n J Se J for consane, enão: = J. A.cos( θ ). O ângulo θ é o ângulo enre o veor uniário perpendicular a área e o veor densidade de correne. A 3

4 Da equação (7), podemos dizer que, se a densidade de correne for paralela ao veor uniário que é perpendicular ao plano de área A, enão a correne que passa é máxima. Se emos mais de um ipo de carga conduzindo correne, enão a equação genérica para densidade de correne, é dada pela equação (8): J = n q ( v ). (8) i i i d i Para um fio de raio igual a 0,084 cm, conduzindo uma correne de A, a velocidade dos poradores de cargas, no caso elérons (assumindo que cada áomo conribui com um eléron livre) é de 3,6x0-3 cm/s. A densidade do cobre é de 8,9g/cm 3. Deermine o valor da densidade de elérons livres supondo que cada áomo conribui com um eléron livre. 4 - esisência Elérica e Lei de Ohm Para a siuação onde as cargas esão em movimeno, siuação não elerosáica, emos que as cargas se deslocam denro de um conduor para condução de correne. Para que uma carga se mova, é necessário um campo elérico, e se a L carga é negaiva, esa se move na senindo conrário ao campo elérico. Se, num conduor q elérico, em a presença se uma correne v elérica, enão exise uma diferença de poencial d enre dois ponos, a e b que esão afasados por A uma disancia L (veja figura ao lado), enão, o V a V b campo elérico, nese caso, é dado por: V = V V = E L, a b. mas, experimenalmene, podemos dizer que V =.. (9) Ou seja, a correne é proporcional a diferença de poencial e a consane de proporcionalidade é denominada de resisência elérica, cuja unidade no S é o Ohm (ou V/A). A Eq. (9) é a Lei de Ohm. Veja eses links: hp:// hp://phe.colorado.edu/sims/ohms-law/ohms-law_en.hml, hp://phe.colorado.edu/en/simulaion/baery-resisor-circui. Pela nossa experiência, sabemos que os fios eléricos em nossas casas são dimensionados de acordo com o que ele vai alimenar (alimenar aqui significa fornecer energia suficiene para um disposiivo operar normalmene). Um chuveiro elérico ou um condicionador de ar, sempre necessia de um fio de maior calibre. Enão, é de se esperar que a resisência elérica dependa do diâmero do V Não-ôhmico Ôhmico 4

5 fio, além de seu comprimeno e maerial. Você já viu conduor elérico feio de ferro? Por que? A Lei de Ohm em função das caracerísicas físicas do fio é: = ρl, (0) A onde ρ é a resisividade do fio cuja unidade é Ohm.mero (Ω.m) e o seu inverso é a conduividade (σ). Eses parâmeros dependem da emperaura em que se enconram, pois quano maior a agiação dos áomos que formam o conduor, maior a dificuldade que os poradores de carga erão para passar de uma região para oura. Em ermos de conduividade, emos: L =. () σ A Nos maeriais ôhmicos, a resisência não depende da correne, por ouro lado, nos maeriais nãoôhmicos, a resisência depende da correne. Veja esa simulação: hp://phe.colorado.edu/sims/resisance-in-a-wire/resisance-in-a-wire_en.hml. Tabela da Conduividade Elérica (/Ω.m) de alguns maeriais. Superconduividade Superconduividade é o fenômeno pelo qual a resisência de um maerial é nula quando ele se enconra abaixo de uma emperaura críica. Eses maeriais são denominados de superconduores. hp:// work/004/exhibi/irc.php esisiviy of YBa Cu 3 O 7 (Tc = 93K = -80 C) 5

6 5 - Energia nos Circuios Eléricos Efeio Joule Quando um conduor esá sob um campo elérico, os elérons no seu inerior começam a ser acelerados, porém, devido às inúmeras colisões que eses sofrem com ouros elérons ou com a rede crisalina, a energia é ransformada em calor. Considere um conduor de seção ransversal A e que uma quanidade de carga Q passa por esa seção num inervalo de empo de. O poencial elérico nese pono é U = Q V. () Se a carga (pense em carga posiiva) se move para ouro pono de poencial igual a V, enão a diferença de poencial enre e é dada pela seguine equação: U = Q(V V ) = - Q V. (3) Aqui, fizemos V = V V Dividindo ambos os membros da Eq. (0) por, obemos: U = V Q = V P = V. (4) O sinal negaivo foi suprimido porque a poência calculada, nese caso, represena a poência perdida. A unidade de poência é o Wa (W). O aquecimeno resulane de uma correne elérica é conhecido como Efeio Joule. Vemos que a poencia é direamene proporcional a correne e a ensão. Qual a diferença, em ermos práicos, em aumenarmos a ensão em derimeno da correne para acionar uma, e.g., furadeira? Podemos escrever ambém que a poência é dada por: V P = ( ). = =. (5) Veja esas simulações: hp://phe.colorado.edu/en/simulaion/circui-consrucion-ki-ac 6 FEM e Baerias FEM ou forca eleromoriz é um disposiivo que fornece energia elérica a um circuio. Uma baeria ideal fornece energia independene da correne que circula nele e não em qualquer resisência inerna (hp://phe.colorado.edu/en/simulaion/baery-resisor-circui) A poência fornecida por uma fem é: P = ε Ι (6) Uma baeria real, por ouro lado, possui uma resisência inerna e iso faz diminur o poencial sobre uma resisência do circuio. a d r ε c b 6

7 V a V b = ε Ι r. (7) Mas, a queda de ensão em é:. = V a V b = ε Ι r. Veja que fizemos V a = V d e V b = V c. sso é possível já que enre a e d consideramos que não exise queda de poencial já que é um conduor ideal. Assim, para, emos: = ε + r. (8) Pela Eq. (8), observamos que a correne, num circuio real, é menor do que o ideal. A poência dissipada em um circuio real é dada por: ε P = = ( + r). (9) Ao derivar a equação acima com relação à e igualando o resulado a zero, obemos = r. so significa que a dissipação máxima sobre um circuio aconece quando a resisência de carga é igual à resisência inerna da baeria. Poência Dissipada Poência (UA) esisência (Ohm) Poência dissipada por um resisor em função da sua resisência. No caso da figura acima, podemos concluir que a resisência da baeria é de 5 Ohms. 7 Combinações de esisores Num circuio elérico podem exisir muias resisências associadas em série ou em paralelo. Esas resisências, no circuio apenas resisivo, podem ser subsiuídas por uma equivalene. As cores do resisor da figura ao lado é uilizada para caracerizar o valor da resisência (hp:// esisência em série a correne é a mesma em qualquer resisência, mas a queda de poencial nos a b c 7

8 resisores é igual à soma da queda em cada um deles. V V = V = ( V V ) + ( V V ) = + = ( + ) a c a b b c Podemos subsiuir a soma das resisências como sendo igual a uma resisência equivalene, ou seja, eq = + A resisência equivalene de várias resisências em série é dada por: eq N = = N i. (0) esisência em paralelo a ddp é a mesma em qualquer resisência mas a correne oal é a soma de cada correne individualmene. = V eq = V + V +... eq = () A resisência equivalene ambém pode ser dada por: = n eq i. Link ineressane sobre circuios em série e em paralelo: hp:// 8 egras de Kirchhoff Normalmene os resisores esão disposos em associações que são denominadas de série e paralelas. Esa associação de resisores possui o que chamamos de resisor equivalene. A correne que passa em cada pare do circuio pode ser calculada via as egras de Kirchhoff. Várias simulações de circuios de correne elérica podem ser enconradas em hp:// ) Quando se percorre uma malha fechada de um circuio, as variações de poencial êm uma soma algébrica que é igual a zero. ) A correne líquida num nó do circuio é igual a zero, ou seja, a correne que enra é igual à correne que sai. A primeira regra se refere à conservação de energia e a segunda a conservação da carga. A figura ao lado mosra a divisão da correne em duas. =

9 Aplicação da egra : o circuio ao lado mosra resisores e baerias disposas num circuio simples, sem nó. Os elérons no circuio ganham energia quando passam do poencial menor (- da baeria) para o maior (+). Ao passar pelos resisores, os elérons perdem energia. 3 Parindo da baeria, emos: +ε 3 ε 4 ε 3 = 0 ε ε Da equação acima podemos ober a correne. A escolha do senido da correne é arbirária. Nese caso, se a correne calculada for negaiva, iso significa que a direção verdadeira da correne é oposa à escolhida inicialmene. A poência dissipada em cada resisor é: P = V =. A axa de energia (poência) fornecida por cada baeria ao circuio é dada por: P = ε. Caso a correne eseja no senido conrário à fem da baeria (baeria sendo carregada) enão a baeria, nese caso, esá consumindo energia da(s) baeria(s) que esá(ão) fornecendo energia ao circuio. A correne, nos nossos esudos, sempre esá no senido do movimeno da carga posiiva. Nese caso, os elérons esão sempre no senido conrário da correne. so é fácil de memorizar porque os elérons sempre seguem para o poencial maior, no caso, o pólo posiivo da baeria. Não esquecer que a poencia gasa pelo circuio (resisências) é igual à poência fornecida pelas baerias. ε 3 4 Circuio com várias malhas No circuio de várias malhas, há sempre um pono que a correne se divide ou se soma. Por exemplo: No circuio da figura ao lado, a correne que passa pela baeria divide-se em duas quando chega em b. Em e, as correnes e se somam para formar novamene. Em ermos maemáicos podemos escrever que (segunda regra de Kirchhoff): = +. () ε a f e b c d As malhas do circuio acima são rês: abefa, abcdefa e bcdeb. Aplicando a primeira regra de Kirchoff, emos: 9

10 Malha abefa Malha abcdefa Malha bcdeb ε. = 0. (3) ε. ε = 0. (4) + = 0. (5) No oal, emos 3 variáveis (correnes) e 4 equações. so significa que ese sisema é facilmene resolvido para ober as correnes em cada pare do circuio. 9 Circuios (hp://phe.colorado.edu/en/simulaion/circui-consrucion-ki-ac) Circuio é aquele que coném um resisor e um capacior. Diferene do circuio puramene resisivo, a correne no circuio varia porque o capacior leva um empo para carregar (ou descarregar). Nese circuio, quando o capacior esá compleamene carregado, a correne se orna zero e, quando o capacior esá compleamene descarregado, a correne é máxima. 9.) Capacior inicialmene carregado. Considere um circuio formado apenas por uma chave, incialmene abera, um capacior carregado e um resisor. Como a chave esá abera (resisência infinia) nenhuma correne circula no circuio. A ensão no capacior é V 0 = Q 0 /C. S Quando a chave é fechada, os erminais do resisor ficam sob o mesmo poencial do capacior e imediaamene uma correne 0 = V 0 / = Q 0 / começa a circular no circuio. C + _ A correne elérica que circula no circuio quando a chave é ligada se deve a carga presene no capacior que, à medida que o empo passa, vai diminuindo. Esa correne é dada pela seguine equação: dq =. (3) d Aplicando Kirchhoff na malha quando a chave é fechada, obemos, após um deerminado empo, a seguine equação: Q Q dq = 0 + = 0. C C d earranjando a equação acima, ficamos com a seguine expressão: dq Q d =. 0

11 Cuja solução é adquirida após inegrarmos ambos os membros, ou seja, ln Q = + A. Aplicando exponencial em ambos os membros, obemos: ( ) Q( ) = Bexp. B é uma consane que é deerminada a parir das condições iniciais do problema. No nosso caso, em = 0, a carga vale Q 0. ( 0 ) = Q0 B 0 Q ( 0) = Bexp = Q. Assim, a equação que descreve o comporameno da carga no circuio é: ( ) Q( ) = Q0 exp. (4) A Eq. (4) descreve o descarregameno do capacior em função do empo. A diminuição da carga no capacior esá relacionada direamene com a consane de empo ( τ ) do circuio. Esa consane é o valor que o capacior leva para sua carga (ou correne) cair a Q 0 exp ( ) (ou 0 exp( )), ou seja, =. A figura abaixo mosra o comporameno da correne num circuio sob as condições descrias aneriormene. Podemos inerprear a consane de empo como sendo o empo que o capacior se descarrega compleamene caso a axa de decaimeno fosse igual à axa inicial (linha vermelha). O cálculo da correne no circuio é obido ao derivar a Eq. (4) com relação à. O resulado é: ( Q0 ( )) dq d ( ) = = exp = d d ( V0 ) ( ) Q0 exp x = exp ( ) ( ) = 0 exp. (5) τ Lembre-se que: d dx u ( e ) = e u du dx

12 Exemplo Suponha um circuio onde a resisência é de 000 Ohms e o capacior, de mf, inicialmene carregado sob um poencial de 0V. Calcule: a) A carga inicial do capacior; b) A correne inicial no resisor; c) A consane de empo e d) A carga no capacior apos 0,5 s. Solução: 3 a) Q = V C = 0 0 0,0C ; 0 0 = + 3 b) = V / = 0/ 0 0,0A ; 0 0 = c) τ = = 000 0,00 = s ; 0,5 Q = Q Q =. d) ( ) 0 exp( ) (0,5) 0,0 exp = 0,06C 9.) Capacior inicialmene descarregado. A figura ao lado mosra um circuio, porém com uma fem em série com o capacior e com o resisor. O capacior, anes da chave S ser fechada, enconra-se descarregado e nenhuma correne circula. A chave, ao ser conecada (fechar o circuio) não vê o capacior, ficando apenas o circuio formado pelo resisor e baeria; nese caso, podemos dizer que a correne inicial é: 0 = ε /. À medida que o capacior vai recebendo carga, a correne no circuio vai diminuindo. Quando o capacior esiver oalmene carregado, a correne deixa de exisir no circuio. Pela lei das malhas, podemos escrever que: Q dq Q ε = 0 ε = +. (6) C d C A resolução da Eq. 6 é feia da seguine maneira: dq d dq ε. C Q = =. (7) d ε. C Q negrando ambos os membros da Eq. 7, obemos:

13 + A = ln ( ε. C Q) Q( ) = ε. C B.exp A = ( ε. C Q) exp A = ε. C Q (8) A e B são consanes que serão deerminados (na práica só precisa deerminar B) a parir da condição inicial do problema, ou seja, em = 0 a carga no capacior é zero (normalmene). Levando esa condição na Eq. 8, obemos: Q ( 0) = ε. C B = 0 B = ε. C. A Eq. 8 fica da seguine maneira: Q( ) ε. C exp ε. C exp = = τ. (9) Veja que na Eq. 9 apareceu a consane do circuio já calculada aneriormene. Nese caso, τ significa o empo que o circuio leva para que a carga no capacior ainja 67% da carga máxima do capacior. A correne em função do empo pode ser adquirida a parir da Eq. 9, ou seja, dq ( ) = = ε. C. exp ( ) = 0 exp. (30) d τ τ Exemplo Supondo que o capacior esá inicialmene descarregado, enão não exise correne sobre o resisor de 50 Ohms, e assim, a correne só passa na baeria e na resisência de 00 Ω. A correne inicial é igual a 0 50V = = 0,5A. 00Ω 50V 00Ω Depois de muio empo em que a chave já foi ligada, supondo, assim, que o capacior já esá compleamene carregado, a correne deixa de passar pelo capacior, fluindo apenas pelos resisores e baeria. Nese caso, a correne final é: 0, F 3 ε 50 = = = 0,3A Ω 3