AULA 8 CONDUÇÃO DE CALOR EM REGIME TRANSITÓRIO SISTEMA CONCENTRADO

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1 Noas de aula de PME 3361 Processos de Transferência de Calor 57 AULA 8 CONDUÇÃO DE CALOR EM REGIME TRANSITÓRIO SISTEMA CONCENTRADO Inrodução Quando um corpo ou sisema a uma dada emperaura é bruscamene submeido a novas condições de emperaura como, por exemplo, pela sua exposição a um novo ambiene de emperaura diferene, cero empo será necessário aé que seja resabelecido o equilíbrio érmico. Exemplos práicos são aquecimeno/resfriameno de processos indusriais, raameno érmico, alimenos colocadas na geladeira, enre ouros. No esquema ilusraivo abaixo, suponha que um corpo eseja inicialmene a uma emperaura uniforme T. Subiamene, ele é exposo a um ambiene que esá a uma emperaura maior T 2. Uma enaiva de ilusrar o processo de aquecimeno do corpo esá indicada no gráfico emporal do esquema. A forma da curva de aquecimeno esperada é, de cera forma, aé inuiiva para a maioria das pessoas, baseado na própria experiência pessoal. T 2 T 1 T T1 T T() Tempo = T 2 T Uma análise mais dealhada e precisa do problema do aquecimeno do exemplo ilusraivo acima vai, enreano, indicar que o aquecimeno do corpo pode não ocorrer de forma uniforme no seu inerior. Na ilusração que segue, indica-se de forma ilusraiva a emperaura na no cenro T c, e numa posição qualquer na superfície T s. Noe que as curvas hp:// - José R. Simões Moreira aualização agoso/216

2 Noas de aula de PME 3361 Processos de Transferência de Calor 58 de aquecimeno não são iguais. Iso indica que a variação da emperaura no corpo não é uniforme denro do corpo, de uma forma geral. Esa análise que envolve o problema da difusão inerna do calor é um pouco rabalhosa do pono de visa maemáico, mas pode ser resolvida para alguns casos de geomerias e condições de conorno simples. Casos mais complexos podem ser resolvidos de forma numérica. Enreano, o ineresse da aula de hoje é numa hipóese simplificadora que funciona para um grande número de casos práicos. A ideia consise em assumir que odo o corpo enha uma única emperaura uniforme a cada insane. Esa hipóese é chamada de sisema concenrado, objeo de análise na sequência. T 2 T T s T 2 T T S Sisema Concenrado T C T C T Sisema Concenrado A hipóese é que a cada insane, o sisema enha uma só emperaura uniforme T(). Iso ocorre em siuações nas quais os sisemas (corpos) enham sua resisência inerna à condução desprezível face à resisência exerna à roca de calor exerna que, geralmene se dá por convecção. Para conduzir essa análise, lança-se mão do esquema abaixo de um corpo a uma emperaura inicial T e que, subiamene, é exposo a um ambiene de emperaura T, de forma a que ocorra ransferência de calor conveciva. T q convecção T hp:// - José R. Simões Moreira aualização agoso/216

3 Noas de aula de PME 3361 Processos de Transferência de Calor 59 O balanço de energia fornece o seguine esquema Balança de energia Taxa emporal de variação de energia inerna do corpo (I) = Fluxo de calor Trocado por convecção (II) Termo (I): du d du m d du d dt c d m = massa do corpo; U = energia inerna do corpo; u = energia inerna específica do corpo; ρ = densidade do corpo; = volume do corpo; c = calor específico do corpo. Termo (II): q conv ( T T) h = coeficiene ransferência de calor por convecção para o fluido circunvizinho; A = área da superfície do corpo em conao com o fluido; T = emperaura insanânea do corpo T = T (); T = emperaura ao longe do fluido. Assim, pelo esquema do balanço de energia, vem: c dt d ( T T ) Essa é uma equação diferencial de primeira ordem, cuja condição inicial é T(=) = T. Separando as variáveis para se realizar uma inegração por pares, vem: dt T T d c Por simplicidade, seja T T d dt, enão: hp:// - José R. Simões Moreira aualização agoso/216

4 Noas de aula de PME 3361 Processos de Transferência de Calor 6 d d c d, ou d, do que resula em: c Finalmene, ln. c e c ou T T T T e c Analogia Elérica Essa equação resula da solução de um sisema de primeira ordem. Soluções desse ipo ocorrem em diversas sisemas físicos, inclusive na área de elericidade. Exise uma analogia perfeia enre o problema érmico apresenado e o caso da carga e descarga de um capacior, como ilusrado no esquema abaixo. C R Inicialmene o capacior C é carregado aé uma enção elérica (chave ligada). Depois, a chave é abera e o capacior começa a se descarregar aravés da resisência R. A solução desse circuio RC paralelo é e RC Noe a Analogia Elérica Tensão, Capaciância, C Resisência, R Térmica T T c 1 / hp:// - José R. Simões Moreira aualização agoso/216

5 Noas de aula de PME 3361 Processos de Transferência de Calor 61 Circuio érmico equivalene T c 1/ T Consane de empo do circuio elérico, RC A consane de empo é uma grandeza muia práica para indicar o quão rápidamene o capacior se carrega ou se descarrega. O valor de é o insane em que a ensão do do capacior aingiu o valor de e -1 ~,368 e e 1 1,368 e Com isso, pode-se fazer uma análise muio ineressane, como ilusrado no gráfico abaixo que indica a descarga do capacior para diferenes consanes de empo. Quano maior for a consane de empo, mais o capacior demora para aingir o valor de,368.,368 I I III II Por analogia, a consane de empo érmica será: T T T T e c e c hp:// - José R. Simões Moreira aualização agoso/216

6 Noas de aula de PME 3361 Processos de Transferência de Calor 62 eja o gráfico ilusraivo abaixo para ver a influência da consane de empo érmica. T T T T,368( T T ) Um exemplo ineressane da aplicação dos conceios de ransiório érmico é o caso da medida de emperauras com sensores do ipo ermopar e ouros. Esses sensores consisem de dois fios unidos pelas suas exremidades que formam uma junção. Essa junção é exposa ao ambiene que se deseja medir a emperaura. Suponha, de forma ilusraiva, um ambiene que idealmene sua emperaura em o comporameno ilusrado pela linha cheia no esquema abaixo, iso é, sua emperaura oscila enre T 1 e T 2, de período em período (onda quadrada). Agora, deseja-se selecionar um sensor que acompanhe o mais próximo possível o seu comporameno. Três sensores de consanes érmicas diferenes são mosrados. Noe que o sensor de maior consane érmica, 3, praicamene não sene as variações de emperaura, enquano que o sensor de menor consane érmica acompanha melhor as variações de emperaura. Esse exemplo poderia ser o caso de um moor de combusão inerna em que as emperauras da câmara variam com a admissão e combusão dos gases. Com esse simples exemplo, mosra-se a imporância da consane érmica. T T T T T T2 P 2 P 3 P hp:// - José R. Simões Moreira aualização agoso/216

7 Noas de aula de PME 3361 Processos de Transferência de Calor 63 A equação que rege o regime ransiório concenrado pode ainda ser reescria para se ober a seguine forma T T T T Onde, Bi é o número de Bio, definido por e Bi Fo por Fo 2 (raa-se de um empo adimensional). Sendo, L h = coeficiene ransferência de calor por convecção; = difusividade érmica; k = conduividade érmica; L = comprimeno caracerísico do corpo; hl Bi, e Fo é o número de Fourier, definido k O número de Bio é uma razão enre a resisência inerna à condução de calor e a resisência exerna à convecção. Pode-se adoar L como sendo a razão enre o volume do corpo pela sua área exposa à roca de calor. L A volume do corpo área exposa Para concluir esa aula, deve-se informar o limie da aplicabilidade da hipóese de sisema concenrado. Mosra-se que a hipóese de sisema concenrado admie solução razoável desde que: Bi,1 EXEMPLO DE APLICAÇÃO 1 (adapado de Incropera, ex. 5.1) Termopares são sensores muio precisos para medir emperaura. Basicamene, eles são formados pela junção de dois fios de maeriais disinos que são soldados em suas exremidades, como ilusrado na figura abaixo. A junção soldada pode, em primeira análise, ser aproximada por uma pequena esfera de diâmero D. Considere um ermopar usado para medir uma correne de gás quene, cujas propriedades de ranspore são: k = 2 W/m K, c = 4 J/kg K e = 85 kg/m 3. Inicialmene, o ermopar de D =,7 mm esá a 25 o C e é hp:// - José R. Simões Moreira aualização agoso/216

8 Noas de aula de PME 3361 Processos de Transferência de Calor 64 inserido na correne de gás quene a 2 o C. Quano empo vai ser necessário deixar o sensor em conao com o gás quene para que a emperaura de 199,9 o C seja indicada pelo insrumeno? O coeficiene de ransferência de calor vale 4 W/m 2 K. SOLUÇÃO Comprimeno caracerísico: D,7 1 L A , m hl 4 1, Número de Bio: Bi 2,3331 k Bi T T T T 199, Da expressão da emperaura, vem ln Fo ln 32, 76 k 6 Dado que 2 5,883 1 e Fo, vem: c L 1 2, Fo L 32,76 5, , ,4 s 6 Comenário: noe que o número de Bio saisfaz a condição de sisema concenrado Bi, 1. Um empo de 7,4 s é necessário para ober uma leiura precisa de emperaura. O que aconeceria com o empo se o diâmero do ermopar fosse reduzido à meade? EXEMPLO DE APLICAÇÃO 2 Melancias são fruas muio suculenas e refrescanes no calor. Considere o caso de uma melancia a 25 o C que é colocada na geladeira, cujo comparimeno inerno esá a 5 o C. ocê acredia que o resfriameno da melancia vai ocorrer de forma uniforme, ou se, depois de alguns minuos a faia da mesma esará em emperauras diferenes? Para efeio de esimaivas, considere que a melancia enha 3 cm de diâmero e suas propriedades de hp:// - José R. Simões Moreira aualização agoso/216

9 Noas de aula de PME 3361 Processos de Transferência de Calor 65 ranspore sejam as da água. Considere, ambém, que o coeficiene de ransferência de calor inerno do comparimeno da geladeira valha h = 5 W/m 2 o C. Solução: K água =,25 W/m C Cálculo do Nº de Bio Bi = hl K, sendo L = D 6 L =,3 6 =,5m D=,3 m Bi =,5 5,25 = 1 D =,3 m Conclusão, a melancia não vai resfriar de forma uniforme. Iso esá de acordo com sua experiência? hp:// - José R. Simões Moreira aualização agoso/216