COMO CONHECER A DISTRIBUIÇÃO DE TEMPERATURA

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1 ESUDO DA CONDUÇÃO DE CALOR OBJEIVOS - Deerminar a disribuição de emperaura em um meio - Calcular o fluo de calor usando a Lei de Fourier Aplicações: - Conhecer a ineridade esruural de um meio em aluns ponos e em deerminados momenos: epansão érmica, esresse érmico, epansões e defleões. - Oimizar a espessura de um maerial isolane - Compaibilidade enre maérias, revesimenos especiais ou adesivos usados com o maerial COMO CONHECER A DISRIBUIÇÃO DE EMPERAURA 1. Formulação maemáica do problema: - definir um volume de conrole - aplicar o balanço de eneria - idenificar os processos de ransmissão de calor no volume de conrole - inroduzir as euações das aas de calor - ober uma euação diferencial. Solução eral da euação diferencial 3. Aplicação das condições de conorno 4. Solução do problema: disribuição de emperaura 1

2 A especificação da emperaura reuer a definição de um sisema de coordenadas a) Reanulares (,y,z) b) Cilíndricas (r,z,) c) Esféricas (r,,) A emperaura em um pono no empo é epressa como: (,y,z,) ou (r,z,, ) ou (r,,,) - ridimensional e ransiene () ou (r) unidimensional e permanene 1. FORMULAÇÃO MAEMÁICA DO PROBLEMA 1) Definir um volume de conrole ) Idenificar os processos de ransferência de eneria no volume de conrole 3) Aplicar um Balanço de Eneria no volume de conrole

3 aa de calor ue enra no V.C. - aa de calor ue sai do V.C. aa de + eração = de calor no V.C. aa de variação da uanidade de eneria no V.C. Fenômenos de superfície Fenômenos de volume e s de / d Calor ue enra ou sai do volume de conrole: por condução Geração de calor: ransformação de eneria mecânica, elérica, uímica ou nuclear em calor, no volume de conrole aa de variação da uanidade de eneria no volume de conrole, ou eneria acumulada: função da variação da eneria inerna, cinéica ou poencial 3

4 Euação da condução de calor unidimensional A- Parede plana elemeno de volume, + Para um elemeno de espessura : E elem,elem (1) onde: E elem,elem E E Subsiuindo: V elem mc p ( A ) Ac p ( ) ( A ) A c p () 4

5 A área A=y z para superfície plana é consane Dividindo por A e aplicando o limie uando 0 e 0, resula em: A (, c p (3) 1 ) Para sisemas sem eração e reime esacionário: d = 0 d indica ue a aa de condução de calor não é função de subsiuindo a E. da condução (Lei de Fourier) na E (3) ( ka ) k( A A 1 ) (, ) c p (4) Como a área A para parede plana é consane, a euação do calor, ou euação da difusão unidimensional é: k c p (, ) (5) 5

6 6 Casos: 1) Conduividade érmica, k, consane 1 k onde c p k é a difusividade érmica do maerial (m /s ou f /h) Esa propriedade do maerial é associada à propaação do calor no meio durane as variações de emperaura e empo. ) Reime ransiene, k consane e sem eração de calor 1 3) Reime permanene e k consane 0 k = + d d 4) Reime permanene, k consane e sem eração de calor 0 d d

7 Euação da condução de calor para um cilindro lono (unidimensional) r r+r elemeno de volume, r Elemeno: Camada fina de espessura r e área A=rL r rr Ar c p Ar rk r r r 1 ( r, ) c p 1) k consane: r r r r k 1 ( 1 r, ) 1 ) reime permanene: r 0 r r r k 3) reime ransiene sem eração: 1 ( r r r r 1 r, ) 1 d d 4) reime permanene sem eração: r 0 r dr dr 7

8 Euação da condução de calor para uma esfera (unidimensional) r+r r elemeno de volume, r Elemeno: Fina camada esférica de espessura r e área A=4r r 1 ( r, ) r k c p r r 1) k consane: 1 ( r r r r k 1 r, ) 1 ) reime permanene com eração: r 0 r r r k 3) reime ransiene sem eração: r 1 ( r 1 r, ) r r 1 d d 4) reime permanene sem eração: r 0 r dr dr 8

9 9 EQUAÇÃO GERAL DA CONDUÇÃO DE CALOR EQUAÇÃO DA DIFUSÃO DE CALOR Aplicações: - Fluo de calor nas proimidades de um cano onde ou 3 paredes se enconram - aa de calor ransferida aravés das paredes de um cilindro curo de parede espessa - aa de calor perdida por um ubo enerrado 1) Coordenadas caresianas Euação de Fourier-Bio 1 k z y ),y,z, ( 1) Reime permanene Euação de Poisson 0 k z y ) Reime ransiene e sem eração Euação da Difusão 1 z y ),y,z, ( Elemeno de volume ΔΔyΔz

10 10 3) Reime Permanene e sem eração Euação de Laplace 0 z y ) Coordenadas cilíndricas Áreas perpendiculares a r: (d z r d ), z: (dr r d ), : (d r d z ) Para k consane: 1 k r 1 z r r r r 1 ),z, r, ( Componenes: r radial z aial - circunferencial

11 3) Coordenadas esféricas Componenes: r radial - circunferencial - anular Áreas perpendiculares a: r: rsen.d.r.d r sen.d. d : rsen.d. dr e : r.d.dr Comprimenos : r : rsen. Para k consane 1 ) ( r,,, r sen r r r r sen r sen k Euação eral para ualuer sisema de coordenadas: k 1 - Laplaciano da emperaura 11

12 Eemplos: Deermine a euação diferencial ue descreve a variação de emperaura para cada um dos eemplos abaio, lisando as considerações feias: 1. Considere uma panela de aço com áua colocada em cima de um foão elérico. O fundo da panela possui 0,4 cm de espessura e 18 cm de diâmero. Uma boca do foão consome 800 W de poência durane o cozimeno e 80 % do calor erado é ransferido uniformemene para a panela. Assumir ue a conduividade érmica é consane.. A resisência de um auecedor de kw usado para ferver áua é um fio com conduividade érmica de k=15 W/mK, diâmero de 0,4 cm e comprimeno de 50 cm. Supor ue a variação da conduividade érmica do fio em função da emperaura é desprezível. 3. Uma esfera meálica de raio r é auecida em um forno aé a emperaura de 600 ºF, reirada do forno e deiada para resfriar em emperaura ambiene =75ºF por convecção e radiação. A conduividade érmica do maerial ue compõe a esfera varia linearmene com a emperaura. Considerar ue a esfera é resfriada uniformemene por oda a superfície eerna. 4. Um peueno linoe meálico de formao cilíndrico de raio R e alura h é auecido em forno aé 600 F, reirado do forno e deiado para resfriar a emperaura ambiene de 65 F por convecção e radiação. Assumindo ue o linoe é resfriado uniformemene por oda sua superfície eerna e ue a variação da conduividade érmica do maerial em função da emperaura é desprezível, obenha a euação diferencial ue descreve a variação de emperaura do linoe durane o processo de resfriameno. 1

13 Condições de conorno e iniciais - A solução da euação da euação diferencial passa por um processo de ineração ue envolve consanes. - A solução só vai ser única uando forem especificadas as condições eisenes nas froneiras do sisema com o meio. As epressões maemáicas desas condições são chamadas de condições de conorno. Eemplo: Considere a variação de emperaura na espessura de uma parede de ijolos de uma casa durane o inverno. A emperaura em ualuer pono da parede depende: das condições nas duas superfícies da parede (=0 e =L), ais como a emperaura do ar denro da casa, a velocidade e a direção do veno e a incidência de eneria solar na superfície eerna. Duas condições de conorno devem ser fornecidas para cada direção do sisema de coordenadas, na ual a ransferência de calor é sinificaiva. Condição inicial: Epressão maemáica da disribuição inicial da emperaura no meio. 13

14 A emperaura em ualuer pono em um deerminado momeno depende da condição no início do processo de condução de calor (=0). Uma só condição inicial deve ser especificada (primeira ordem em relação ao empo). ipos de condição de conorno: - 1ª espécie: emperaura especificada = 0 (0,) = 1 = L (L,) = - ª espécie: Fluo de calor conhecido = 0 " o = _ (0, ) k = L _ (L, ) k = " L 14

15 Casos especiais: - froneira isolada = 0 = L " _ (0, ) (0, ) o = 0 = k ou = 0 (L,)= - simeria érmica Imposa pelas condições érmicas nas superfícies Disribuição de emperaura em uma meade da placa é a mesma na oura meade (em relação ao plano cenral =L/). Não há fluo de calor no plano cenral (superfície isolada). plano cenral Disribuição de emperaura (simérica em relação ao plano cenral) (L /,) = L/ = 0 15

16 - 3ª espécie: roca de calor por convecção na superfície Condição mais comum enconrada na práica. Baseada no balanço de eneria na superfície. Condução de calor na superfície em uma direção escolhida = Convecção na superfície na mesma direção _ (0, ) _ 1 = 0 k = h ( (0,)) (L, ) = L = h ((L, ) ) 1 k - roca de calor por radiação na superfície _ (0, ) = 0 k = ( (0, ) ) _ (L, ) 1 4 _ viz = L k = ((L, ) 4) 4 _ 4 viz - Condições de conorno eneralizadas 16

17 Eemplos: Epresse as condições de conorno e inicial para cada caso: 1. Considere uma panela de alumínio com áua para cozimeno em um foão elérico. O fundo da panela possui espessura de 0,3 cm e diâmero de 0 cm. A boca do foão elérico consome 800 W de poência durane o cozimeno e 90% do calor erado é ransferido para panela. Durane a operação em reime permanene, a emperaura da superfície inerna da panela é 110ºC.. Vapor flui aravés de uma ubulação a uma emperaura média de 00 C. Os raios inerno e eerno são 8 e 8,5 cm, respecivamene, e a superfície eerna da ubulação esá bem isolada. Se o coeficiene de ransferência de calor convecivo na superfície inerna da ubulação é de 65 W/m² C, epresse as condições de conorno nas superfícies inerna e eerna da ubulação durane os períodos ransiene. 17

18 3. Uma bola meálica de raio ro é auecida em um forno aé alcançar 600 F, sendo enão reirada do forno e colocada para resfriar à emperaura ambiene de 78 F. A conduividade érmica da bola é de 8,3 Bu/(hf F) e o coeficiene convecivo médio na superfície eerna é de 4,5 Bu/(hf² F). A emissividade da superfície eerna é de 0,6 e a emperaura média da vizinhança é 55 R. Considerando ue a bola é resfriada uniformemene a parir de sua superfície eerna, epresse as condições inicial e de conorno para o processo de resfriameno. c.c.: =0 =L 18