Capítulo 5 CONDUÇÃO EM REGIME TRANSIENTE

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1 Capíulo 5 CONDUÇÃO EM REGIME RANSIENE 5.- Análise concenraa Graienes e emperaura no sólio são esprezíveis Balanço e energia no sólio E a E! E! + e s E! g Eemplo: Sem geração e calor. Não em calor enrano E% a E% s < i i, ( ρc $!#!" aa variação energia armazenaa ( ha $!#!" s! Calor perio por convecção

2 Definino, θ θ ρcv θ ha s θ Uilizano separação e variáveis e inegrano e (θθ i : θ θ i θ ha s θ ρc θ - ' ep ha s /, θ i i!"#. ( ρcv + φ Def.: τ ρcv R ha! s lnθ lnθ i ha s ρc ρcv ha s Resis. convecção Capaciae érmica Calor ransferio num empo : Q q ha s θ! C. ( Q ρcvθ i ep + - / τ, θ θ i Φ ep τ ln θ i θ θ/θ i τ 3

3 - Valiae o méoo - Vamos analisar um problema simples: paree plana, regime permanene balanço e calor na superfície: q con q conv ka L ( s s ha( s s s s L /ka /ha R con R conv hl k Bi s q con a b c q conv s s s R con << R conv Bi << - Nese caso é razoável esprezar os graienes e emperaura. - A conição para a uilização o méoo é: BihL c /k <,, one L c é um comprimeno caracerísico (p.e. V/A - Inicar qualiaivamene quais os valores e Bi as curvas a figura 3

4 -Aimensionalização a equação para a isribuição e emperauras ha s ρcv h hl c ρcl c k k ρc L c θ θ i i ep(bifo hl c α BiFo k L c Bi Fo Significao físico os aimensionais: Bi razão enre resisência érmica à conução e resisência érmica à convecção Fo empo aimensional. Fornece uma meia a eficiência relaiva com a qual um sólio conuz e armazena energia érmica (q con ~kl Δ/L, E a ~ρcl 3 / 4

5 5. - Análise concenraa generalizaa - Quano ocorrem ouras fones e ransferência e calor, além a convecção. Por eemplo: raiação, geração e calor. viz Balanço e calor no sólio: q s E g, E a q ra q conv '' q s + E '' '' g ( q conv + q ra A ρcv '' q s + E g ( h( + εσ ( 4 4 viz A ρcv A Esa eq. só em solução eaa em casos pariculares 5

6 Eemplo: Uma junção e ermopar esférica é usaa para meir a emperaura numa correne e gás. O coeficiene e convecção enre a junção e o gás é 4 W/m K. A conuiviae érmica é W/mK, o calor específico 4 J/kgK e a ensiae vale 85 kg/m 3. Calcule o iâmero necessário para que o ermopar enha a consane e empo e s. Se a junção esá a 5 C e o gás a C, quano empo levará para que a junção chegue a 99 C? gás i 5 C Efeio e Seebeck: junção e meais gera ensão elérica, que é função a emperaura 6

7 5.3 - Efeios e espaço q z k z y k y k c p! ρ 7 -Paree plana sem geração e calor: g s e a E E E E!!! + quano os graienes e emperaura não são esprezíveis ( q k c p! + ρ! zero zero zero p q z k z y k y k c " # &#%#$ # &#%#$ ρ -conuiviae érmica consane: α -isfusivae érmica: c p k ρ α Balanço e energia

8 8 i CI, ( : α Eemplo: Paree plana L ρ, cp, k h Paree isolaa Conição inicial: placa com emperaura uniforme i ( L h k CC L, ( : Conição e conorno: ( h k L i,,,,,,, α solução analíica ou numérica

9 -Aimensionalização o problema: limia os valores as variáveis, generaliza o problema e reuz o número e parâmeros θ θ θ i i θ θ Fo CI :θ (, L θ + CC : + θ + Bi θ (,, hl / k θ θ (,Fo,Bi α L Fo 9

10 Ø Paree plana com convecção ipicamene a solução a equação é na forma e séries infinias. L,h (, i i, ( :, ( : Bi CC CI F o θ θ θ θ θ θ ( ( o F X τ θ - Solução eaa: separação e variáveis F o X X τ τ iviino por Xτ λ τ τ F o X X

11 τ λ Fo τ λ τ A ep( Fo L (, i i X + λ X X B cos( λ B sin( λ + ( C cos( λ C sin( λ θ ep( λ +,h θ ( C sin( λ C cos( λ ep( λ λ + C.C ( θ C C.C ( θ Biθ (, λc sin( λ Bi C cos( λ λ an(λ Bi λ n auovalor λn an(λn Bi

12 Solução eaa θ λ C n cos( λn ep( n Fo n C.I. θ (, θ C cos( λ n n n Usano a proprieae e auofunções orogonais C n cos( λ cos n ( λ n C n λ n 4 sin λ n + sin( λ n λ n auovalor λ n an(λn Bi

13 Solução aproimaa (vália para F o >,: somene primeiro ermo a série!!! E(-E( a Q s e E E - E Δ 3 Calor oal ransferio para/a paree ( ( ( c Q c E E Q i i ρ ρ Def :, ( ( ( ( ( sin, ( θ λ λ θ Q Q Q Q i i Para proprieaes consanes cos( ep( F o C λ λ θ

14 -Sisemas raiais - Solução eaa: Cilinro infinio R (r, i i r,h r θ r r θ Fo Solução eaa : θ n C n ξ n J e J funções e Bessel CI :θ (r, % θ ' r r CC : & ' θ ' Bi θ (, ( hr / k r C n ep( ξ n FoJ ( ξ n r J ( ξ n J ( ξ n + J ( ξ n ξ n são os auovalores e J ξ ξ n n J ξ n ( ( Bi 4

15 Solução aproimaa (vália para Fo>,: θ C ep( ξ FoJ ξ r ( θ C ep ξ Fo ( θ J ( ξ r 5

16 -Sisemas raiais - Solução eaa: Esferas r r θ r θ Fo Solução eaa: θ n Solução aproimaa (Fo>,: C n ep( ξ n Fo " θ $ CC :# $ θ $ % C n ( sin ξ n + ξ n sin ξ n θ θ ξ r sin ( ξ r ( θ C ep ξ Fo ( ξ n cos( ξ n ( CI :θ (r, r r r r ξ n r sin ξ n r Bi! θ (, ( hr/k ξ n são os auovalores e -ξ n co( ξ n Bi 6

17 7

18 - Gráficos a emperaura aimensional para parees planas 8

19 - Gráficos a emperaura aimensional para parees planas 9

20 - Gráfico o fluo e calor aimensional para parees planas

21 - Gráficos a emperaura aimensional para cilinro infinio

22 - Gráficos a emperaura aimensional para cilinro infinio

23 - Gráfico o fluo e calor aimensional para cilinro infinio 3

24 5.4 - Sólio semi-infinio Superfície a S q s (, i,h s s s i i i 4

25 -Equação e conução e calor: α CI : (, i rês ipos e conições e conorno CC : (, i ' (, k q " ( k h( 5

26 -Solução para o caso com CC e emperaura consane: méoo a similariae ransforma a eq. iferencial parcial em eq. iferencial orinária. Assumino que (,(, one a seguine ransformação eise para /(4α / + +! /! ( 4α 4α ( 4α ( / subsiuino na eq. e conução e calor, e usano separação e variáveis chega-se a: ( ( i 6

27 -Solução para o caso com CC e emperaura consane:! + subsiuino na equação e conução e calor 7 ( 4 α α α ( 4 / α ( 4 α / ( α 4 / méoo a similariae ransforma a eq. iferencial parcial em eq. iferencial orinária. Assumino que (,(, one a seguine ransformação eise para / (4α /

28 ( ( i Poemos resolver a equação pelo méoo e separação e variáveis: ( / / inegrano ( / + C ' ln C ( C ( ep u u + ep C Usano as CC: C C i ep ( u u π i i π ep ( u u erf ( #"! função erro 8

29 Fluo calor na superfície ( ( ( ( ( ( ( 4 / " / " ep ( k q k erf k k q i s i i s πα α π 9

30 Eemplo Na insalação e uma ubulação em regiões frias, eve-se observar a possibiliae e congelameno. Obenha uma esimaiva para a profuniae mínima m para eviar o congelameno, consierano que inicialmene o solo esá a C e a emperaura a superfície é -5 C por 6 ias. s -5 C i C m Proprieaes o solo (a 3K: ρ5kg/m 3, α,38-6 m /s k,5 W/mK, c84 J/kgK ( m,6ias C 3

31 Influência e α: ( C α -7, ( C 5 ias ias 3 ias 6 ias -5 (ias

32 5.5 - Efeios muli-imensionais: - Princípio a superposição Eemplo: cilinro curo : i $ % i & (r,, r r r, +. + r - α (r,, i (, (r, i paree i cilinro plana infinio solução -D solução -D 3

33 Ouros eemplos: 33

34 5.6-Méoo e iferenças finias para problemas muli-imensionais ransienes α + y. Méoo eplício - usar iferenças cenrais para o espaço, e no empo: p n. passos empo Δ passo empo p+ p m,n m,n m,n Δ p+ p m,n m,n α Δ p m+,n p + m,n Δ p m,n ( + m,n + p p + m,n Δy ( Para Δ Δy, p+ p m,n Fo m+,n + p m,n + p p p ( m,n + + m,n + ( 4Fo m,n p m,n Fo αδ Δ ( 34

35 Observa-se que p m,n é função apenas as emperauras vizinhasnos empos aneriores A precisão a solução aumena para menores e A escolha e epene e conições e esabiliae e solução. A esabiliae requer a escolha e valores e abaio e um valor críico, relacionao ao coeficiene associao ao ermo p m,n. Para o eemplo anerior, a conição e esabiliae requer que (-4Fo Fo /4 As equações iscreizaas ambém poem ser obias a parir e um balanço e calor 35

36 . Méoo implício - p+ m,n epene os valores e emperaura conhecios -O méoo é sempre esável não em resrições para ou -A equação iscreizaa fica: p+ p m,n m,n α Δ p p ou p + p m+,n p + m,n Δ p+ m,n p ( + m,n + p + m,n Δy ( Para Δ Δy, ( + 4Fo p m,n Fo( m+,n + m,n + p p m,n + + m,n + m,n Fo αδ ( Δ p+ m,n - As equações são resolvias simulaneamene usano o Méoo ieraivo e Gauss Seiel 36