Condições variam com o tempo. 1 ) Temperatura na superfície de um sólido é alterada e a temperatura no interior do sólido começa a variar

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1 Condução de calor em regime transiente Condições variam com o tempo ) Temperatura na superfície de um sólido é alterada e a temperatura no interior do sólido começa a variar ) Passa-se algum tempo antes que seja atingida a distribuição de temperatura estacionária O comportamento da temperatura dependente do tempo e da posição no sólido ocorre em muitos processos industriais de aquecimento e resfriamento A energia é transferida por convecção e radiação na superfície do sistema e condução no interior do sistema - O problema transiente pode ser resolvido através de duas análises considerando:. A variação de temperatura no interior do sólido desprezível (variação com a posição) e somente há variação com o tempo.a variação da temperatura do sólido com a posição e o tempo. Exemplos de aplicação: - tratamento térmico - lingote de metal quente removido de um forno e exposto a uma corrente de ar frio - produção de novos materiais com propriedades melhoradas

2 ) Método da capacitância global (sólido com resistência interna desprezível) Sólido que é submetido à variação térmica repentina. Ex: Metal quente a temperatura Ti é imerso em um líquido a T (Ti>T) em t=0 Para t>0 a temperatura do metal decresce até alcançar T. Isto se deve a convecção na interface sólido-líquido Considerando: ) temperatura do sólido é espacialmente uniforme em qualquer instante durante o processo, o que implica que o gradiente de temperatura dentro do sólido é desprezível ) da Lei de Fourier um gradiente desprezível implica a existência de um k infinito. Admite-se que a resistência interna a transferência de calor por condução dentro do sólido é muito pequena comparada à resistência externa entre a superfície e o meio (convecção) Esta aproximação é mais exata quanto maior for a relação entre a área superficial e o volume, ex: placas finas e fios.

3 Balanço de energia no sólido Taxa de perda de calor do sólido = Taxa de variação da energia interna E sai E ac Por conveniência se define: (t ) T(t ) T Substituindo resulta: ha(t(t dt( t ) ) T ) Vc dt Vc ln i t ha Esta equação pode ser usada para determinar o tempo em que um sólido leva para atingir a temperatura T ou T( t ) T ha exp t Ti T i Vc Esta equação pode ser usada para calcular a temperatura do sólido no tempo t. O termo ha Vc onde é denominada de constante de tempo térmica T( t ) T exp t Ti T i

4 - A temperatura cai exponencialmente com o tempo, até alcançar T. - >, menor o tempo para alcançar T e maior a taxa de decaimento de T - quanto maior a massa do corpo e seu calor específico, menor e portanto mais tempo leva para aquecer ou resfriar 3 > > Por analogia: e ha R Resistência à T.C. por convecção Vc C Capacitância térmica do sólido então =R C aumentando R ou C o sólido responderá mais lentamente às mudanças térmicas do meio e aumentará o tempo para alcançar o equilíbrio térmico. A energia total transferida Q é: Q t Q.dt ha t 0 0 dt substituindo t ha Q ha0 i exp( t )dt Vc

5 ha Q Vci exp t Vc ou Q=E ac Q é + se o sólido experimenta um decréscimo na energia interna Q é se a energia interna aumenta (sólido é aquecido) Validade do método para que condições o método pode ser aplicado Para uma placa com uma superfície mantida à T e de temperatura T outra exposta a um fluido com T. Fazendo um balanço na superfície: ka (T L T ) ha(t T ) T T T T L / ka / ha Rcond Rconv hl k Bi Número de Biot Bi: Razão entre as resistências interna e externa. Dá a medida do decréscimo de temperatura no sólido relativo à diferença de temperatura entre a superfície e o fluido. Bi=hL/k Se - Bi<< é razoável assumir uma distribuição de temperatura uniforme no sólido em qualquer tempo durante o processo transiente. (T(x,t)T(t)) - Aumentando o Bi o gradiente de temperatura dentro do sólido é significativo T(x,t). - Bi>> o gradiente de temperatura no sólido é muito maior que entre a superfície e o fluido.

6 Para aplicá-lo testar se: Bi = hl cond /k < 0, onde L cond é o comprimento da condução, que é definido para considerar outras formas geométricas, L cond =V/A

7 Geometrias unidimensionais: todas com característica de simetria - Parede plana Lcond=L (espessura L) - Cilindro longo Lcond=r/ - Esfera Lcond=r/3 Número adimensional de Fourier Fo Denominado tempo relativo Fo t Lcond Difusividade térmica k c p (m²/s)

8 Assim a equação pode ser escrita em função de Bi e Fo: T( t ) T i Ti T exp Bi.Fo A equação escrita com estes dois números generaliza a equação para diversos tipos geométricos. Os números de Bi e Fo caracterizam a análise transiente. Gradientes de temperatura no interior do meio não são desprezíveis - Determinação da distribuição de temperatura no interior do sólido como uma função do tempo e da posição Para unidimensional, k constante e sem geração x T T ( x,t ) t Especificar as condições inicial e de contorno - Para parede plana de espessura L (simetria geométrica e térmica na linha de centro) Condição inicial t=0 T(x,0)=Ti T Condições de contorno x=0 0 x (simetria) dt x=l k h(t( L,t ) T ) dx T=T(x,t,Ti,T,L,k,,h)

9 Resolução: - métodos analíticos (separação de variáveis) - métodos numéricos Adimensionalizar as equações e condições permite: - diminuir a dependência da temperatura - arranjar as variáveis em grupos Temperatura adimensional T T i Ti T Coordenada espacial ou posição adimensional x x L = semiespessura da parede plana L t Tempo adimensional t Fo L Equação torna-se: x Fo ( Condições de contorno: x, 0 ) x 0 x Bi (,t ) f ( x,fo,bi )

10 Para uma dada geometria a distribuição transiente de temperatura é uma função de x, Fo e Bi. A solução não depende de valores particulares. A resolução envolve várias técnicas analíticas e numéricas, incluindo a transformada de Laplace e outras, método de separação de variáveis, método das diferenças finitas e dos elementos finitos. ) Soluções analíticas aproximadas: parede plana, cilindro longo e esfera Válidas para Fo > 0, A) Parede plana - Temperatura C exp( Fo)cos( x ) o ou cos( x ) onde o C exp( To T Fo) Ti T C e (em rad) são tabelados para cada geometria em função de Bi. - Quantidade total de energia que deixou a parede até um dado instante de tempo t Q o cv(ti T ) Energia interna inicial da parede em relação à temperatura do fluido ou quantidade máxima de transferência de calor para tempo infinito. Q/Q o =qde total de energia transf. ao longo do intervalo de t/transf. máxima

11 Ou Q Qo sen o B) Cilindro infinito raio ro Idealização que permite utilizar a hipótese de condução unidimensional na direção radial. Razoável para L/ro>=0. C exp( Fo)Jo( r ) onde Jo= função de Bessel tabelada o ou Jo( r ) onde o C exp( To T Fo) Ti T Q Q o o J( ) onde J = função de Bessel tabelada C) Esfera raio ro C exp( Fo) r sen( r ) ou o sen( r ) onde r 3 o sen( ) cos( 3 o Q Q ) o C exp( To T Fo) Ti T

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14 Sólido semi-infinito - Idealização útil para muitos problemas práticos - Pode ser usado para determinar a resposta transiente perto da superfície do solo ou a resposta transiente aproximada de um sólido finito onde nos instantes iniciais a temperatura no interior do sólido ainda não foi afetada pelas alterações superficiais x T T ( x,t ) t Condição inicial t=0 T(,t)=Ti Condições de contorno Caso - Temperatura constante na superfície: T(0,t)=Ts Ts x Caso Fluxo de calor constante na superfície: dt q k dx q x dt Caso 3 Convecção na superfície: k h(t T( 0,t )) dx T h x

15 Soluções analíticas aproximadas resposta dentro do sólido diferente para cada situação: Caso T( x,t ) Ts Ti Ts erf x t t em horas e x em metros Onde a função erro de Gauss erf é tabelada (Apêndice B) q k(ts Ti ) t Caso q T( x,t ) Ti t / x exp k 4t qx k erfc x t Sendo erfc(w)=-erf(w) função erro complementar de erf (w)

16 Caso3- Convecção k T h t x erfc k t h k hx exp t x erfc Ti T Ti ) x,t ( T Exemplo:

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