SISTEMAS DE EQUAÇÕES A DIFERENÇAS LINEARES

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1 8//7 SISTEMAS DE EQUAÇÕES A DIFERENÇAS LINEARES Teorema: Considere o seguine sisema de k equações a diferenças lineares de primeira ordem, homogêneo: x a x a x... a x k k x a x a x... a x k k x a x a x... a x k k k k kk ou em ermos mariciais X AX

2 8//7 Se a mariz A dos coeficienes desse sisema possui k auovalores reais disinos, com respecivos auoveores v, v,..., v k, enão a solução desse sisema de equações é dada por: X c r v c r v... c r v k k k onde C, C,..., C k são consanes arbirárias. Sisema de Equações Lineares com Auovalores Complexos Considere o seguine sisema de equações a diferenças lineares de primeira ordem, homogêneo: x a x a x x a x a x ou em ermos mariciais X AX Considere ambém que a mariz dos coeficienes A possui dois auovalores complexos u ± vi com respecivos auoveores complexos, onde u e v são marizes de ordem (x) com elemenos que são números reais. α ±βi

3 8//7 Calculando-se a parir dos auovalores reais: r= α β e cos, sen α, β r r Tem-se que a solução do sisema de equações a diferenças lineares e homogêneo é dado por x X r ccos csen u c cos csen w x u e w são marizes de ordem (x) associados aos auoveores complexos correspondenes v u wi Sisema de Equações a Diferenças de ª ordem em Geral Considere o seguine sisema geral de k equações a diferenças lineares de primeira ordem: k x a x a x... a x g () k k x a x a x... a x g () k k k x a x a x... a x g () k k kk k ou em ermos mariciais X AX G

4 8//7 onde X x x x a A a n ; ; k a a kk G g () g () g k () e g i (), para i =,,..., k, são odas funções conhecidas e com mesma especificação funcional. Por exemplo, odas são funções consanes, ou funções lineares ou funções exponenciais, ec. Méodo Geral de Solução de Sisemas: Da mesma forma que no caso das equações a diferenças isoladas, a solução geral daquele sisema é dada pela soma da solução geral do seu sisema de equações homogêneo correspondene: x () X AX denominado de c (solução complemenar), mais a solução paricular do sisema original analisado x p(). Ou seja: X () X () X () c p Obs.: como no caso da solução de equações a diferenças lineares isoladas, a forma de obenção da solução paricular g () vai depender da especificação das funções i. X () p 4

5 8//7 Exemplos de Sisema de Equações Lineares a Diferenças Exemplo. do Livro de Simon e Blume: U, 75U, S,R S, U,9S, R R, 5U, 8S, 7R 5

6 8//7 ou U, 75,, U S,,9, S R, 5, 8,7 R Essa mariz de Markov apresena os auovalores e auoveores: r r,7 r,65 ; v ; 8 v 5 ; v Solução Geral: U 8 S c c 5, 7 c, 65 R Solução Esacionária: para U c U, S c c S, R c R, 6

7 8//7 Deerminação de c e c, a parir de dadas condições iniciais: Dado U,6 S, R, Podemos deerminar:, 6, 8,, 677 c 5 c c, e c, 44,, Porano, em-se enão que a solução específica do sisema analisado é dado por: ou U, 8 S, 667, 5, 7, 44, 65 R, U,,88, 7, 44,65 S, 667,55,7 R,,,7,44,65 7

8 8//7 Exemplo Sisema não Homogêneo Em ermos mariciais: x x x 5 x 9x x 8 x x 5 - x 9 8 x- Começando pela obenção da solução paricular, como as funções g () e g () são consanes, vamos propor como soluções as x () b e x () b p p funções conanes. Subsiuindo no sisema analisado emos: b b 5 b 9 b 8 ou b b b 5 ou b 5 b 9b b 8 ou b Logo, a solução paricular do sisema é dado por:. x p( ) x p( ) 5 8

9 8//7 Cálculo da solução complemenar, relaiva ao sisema homogêneo correspondene: x x - x 9 x- Essa mariz dos coeficienes apresena as seguines duas raízes complexas: r = + i e r = i. Vamos calcular o auoveor correspondene à raiz r = + i: v v 9 i v v ou v v ( i)v ou iv v 9v v ( i)v ou 9v iv v Embora não seja fácil de perceber, uma dessas equações é redundane, pois é múlipla da oura: e = (-i)e. Porano exisem infinias soluções para o auoveor procurado. Vamos omar na equação, por exemplo,, que resula em. O auoveor correspondene é dado por v v v = + i ou v u + wi v i ou v i 9

10 8//7 Sabe-se que o ouro auoveor correspondene à oura raiz complexa conjugada é dado pelo auoveor conjugado. v u wi Agora, com base nas raízes complexas enconradas, emos que r e cos,sen, o O que resula num ângulo de 7, 565 ou, 49 radianos. Porano, a solução complemenar enconrada é dada por: x () x () c c ccos,49. csen,49. c cos,49. csen,49. Finalmene, em-se enão que a solução geral do sisema analisado é dado pela simples soma das soluções complemenar e paricular, ou seja: x ( ) x x c( ) p( ) x ( ) x x c ( ) p( ) o que, em ermos algébricos usuais, resula em: x () c cos,49. c sen,49. x () c cos,49. c sen,49. 5

11 8//7 Fim