Sinais e Sistemas. Série de Fourier. Renato Dourado Maia. Universidade Estadual de Montes Claros. Engenharia de Sistemas

Transcrição

1 Sinais e Sisemas Série de Fourier Renao Dourado Maia Universidade Esadual de Mones Claros Engenharia de Sisemas

2 Convergência da Um sinal periódico conínuo possui uma represenação em Série de Fourier se ele saisfaz às seguines condições de Dirichle:. O sinal deve ser absoluamene inegrável.. O sinal deve possuir um número finio de máximos e mínimos num período. 3. O sinal deve possuir um número finio de desconinuidades (finias) num período. Essas condições garanem que o sinal é igual à sua represenação em, exceo em valores isolados de empo para os quais o sinal é desconínuo. /3

3 Convergência da Violação da Primeira Condição de Dirichle Violação da Segunda Condição de Dirichle Violação da Terceira Condição de Dirichle 3/3

4 Convergência da Na práica, o somaório é finio, ou seja, uilizase a Série de Fourier Truncada, que conempla as N primeiras harmônicas: N j x () ae N N Espera-se que a Série Truncada convirja para o sinal x quando N ende a infinio. Felizmene, não há problemas de convergência para uma grande quanidade de classes de sinais periódicos. Vejamos uma animação em Java que ilusra a uilização da Série Truncada de Fourier, apresenando os fasores para cada harmônica... 4/3

5 Sinais Conínuos Periódicos () : Scrip em Malab M SerieFourierProg.m Frequência Fundamenal? T 5/3

6 Sinais Conínuos Periódicos () T T T j j j a x() e d e d e T T T T Tj j T j T e e sen( T ) T sen( T ) T j T T T T T sen( T ) sen( ) T T T T T sinc( ) T T T T T T T T sen( u) sinc( u) Função sinc u 6/3 T

7 Sinais Conínuos Periódicos ().6 T=6, T o =4.4 a T=6, T o = a /3

8 Sinais Conínuos Periódicos () Aproximação do Sinal pela Série Truncada de Fourier x () x () x 3 () x 5 () x 7 () x 9 () CE6.m: arquivos do livro do Sinais e Sisemas Lineares, segunda edição x () x () i x 3 () x 5 () -5 5 i é a quanidade de harmônicas uilizadas 8/3.5

9 Convergência da Vimos que se espera que a Série Truncada comvirja para o sinal x quando N ende a infinio. Será que isso aconece sempre? Já sabemos que um sinal periódico conínuo possui u- ma represenação em Série de Fourier se ele saisfaz às condições de Dirichle, mas sabemos ambém que a aproximação não é perfeia em ponos de desconinuidade. Esse é o Fenômeno Gibbs... Vejamos uma oura animação em Java que ilusra a uilização da Série Truncada de Fourier e evidencia o Fenômeno Gibbs... 9/3

10 Convergência da Exisem méodos para reduzir ou eliminar o e- feio do Fenômeno Gibbs. Essencialmene, ais méodos são diferenes maneiras de modificar (ponderar) os coeficienes da runcada, e são conhecidos como méodos de janelameno. Vejamos uma animação em Java que ilusra a uilização de janelameno para redução do efeio do Fenôneno Gibbs... /3

11 Sinais Conínuos Periódicos () Calcular a para o sinal apresenado a seguir: x ( ) sen( 3) sen(6 ) /3

12 Sinais Conínuos Periódicos () 5 x()=sin(π -3)+sin(6π ) 4 3 x() /3

13 Sinais Conínuos Periódicos () x ( ) sen( 3) sen(6 ) j(3) j(3) j6 j6 e e e e x () j j j(3) j(3) j j6 j j6 x() je je e e j j x() e je e je e e j( 3) j( ) j3 j() j3 j(3) 3/3

14 Sinais Conínuos Periódicos () a j j e, -3 j j 3 j3 j3 je e e e, -, 3 j j 3 j3 j j3 je e e e e j j j j e e e, 3, caso conrário 4/3

15 Sinais Conínuos Periódicos () 5 x()=sin(π -3)+sin(6π ) x() X() X() /3

16 Sinais Conínuos Periódicos () Calcular a para o sinal a seguir: x() ( T)... x ()... 3T T T T T 3T T 6/3

17 Sinais Conínuos Periódicos () x() ( T)... x ()... 3T T T T T 3T T T T j j T T T T T a x() e d () e d 7/3

18 Algumas Propriedades da Linearidade x () a y () b z () Ax () By () c Aa Bb Deslocameno no Tempo x () a x ( ) e a j 8/3

19 Algumas Propriedades da Reflexão no Tempo x () a x( ) a O que se pode dizer sobre os coeficienes da para sinais pares e ímpares? a a a a 9/3

20 Algumas Propriedades da Mudança de Escala no Tempo x () x( ) ae ae j j( ) é um número posiivo real Conjugado e Simeria x () a x () a /3

21 Algumas Propriedades da Muliplicação x () a y () b x()() y h ab T l l l Relação de Parseval T x() d a /3

22 Propriedades da A Tabela 3. (página 6 do livro Signals and Sysems) resume as propriedades da : algumas propriedades apresenadas na abela não esão nos slides... As propriedades são ineressanes para faciliar a deerminação dos coeficienes da de um sinal, eviando a realização de conas desnecessárias. Leiam sobre as propriedades, pois o livro apresena comenários ineressanes... /3

23 Propriedades da Calcular a para o sinal apresenado a seguir: g () 3/3

24 Propriedades da Lembrando: a T T sinc T T 4/3

25 Propriedades da g () g ( ) x ( ) T, T 4 5/3

26 Propriedades da g ( ) x ( ) g () x() x() x () b x () c Aplicar Linearidade!!! g () x() x() d b c 6/3

27 Propriedades da x( ) x ( ) Aplicar Deslocameno no Tempo!!! x () a x e a ( ) j j b e a x () c,, 7/3

28 Propriedades da x () b x () c g () x() x() d b c c j b e a,, d j e a, a, 8/3

29 Propriedades da d j e a, a, T T sen T T T a sinc sinc a T 4 d sen( ) j e,, 9/3

30 Educaional Malab GUIs Demos sobre Processameno de Sinais: Convolução, Série de Fourier, Transformadas, ec... hp://users.ece.gaech.edu/mcclella/malabguis/index.hml (Acesso em 7/4/4) Vamos brincar um pouco com a Fourier Series Demo! 3/3

31 Exercício Exercício 3. Signals and Sysems Um sinal periódico de empo conínuo x() é real e em período fundamenal T = 8. Os coeficienes não nulos da de x() são: a a, a a. 3 3 Expresse x() na forma: x ( ) Acos( ). 3/3