2.5 Impulsos e Transformadas no Limite

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1 .5 Impulsos e Transformadas no Limie Propriedades do Impulso Uniário O impulso uniário ou função dela de Dirac δ não é uma função no senido maemáico esrio. Ela perence a uma classe especial conhecida como funções generalizadas ou disribuição, cujas definições são esabelecidas por regras de aribuição. função generalizada δ é definida com o auxílio de uma função ordinária v que é conínua em =: v é qualquer área só exise sobreposição no pono = para quaisquer 1 e envolvendo a origem inclusive 1 = e =, ou, 1 = e = +. [ regra aribui um número, v ou, à expressão do lado esquerdo de 1.] Esaregraambémseaplicaaimpulsos no domínio da frequência, δf. No caso paricular onde v=1: δ só exise no pono = sendo ϵ arbirariamene pequeno. Iso significa que δ em área uniária, concenrada no pono discreo =, inferindo-se ambém que: Represenação gráfica: represenação de δ d esá mosrada na Figura.5-1, onde a lera próximo da sea significa que o impulso localizado em = d em área/peso igual a : δ d

2 Recordação seção.: Formas de ondas aproximadas Se ~ z se aproxima de z e o erro quadráico é pequeno, e ambém, se e, enão, aplicando-se o eorema de Rayleigh à diferença resula: erro em frequência erro no empo Como a ordem de grandeza do erro no domínio da frequência é o mesmo que no domínio do ~ empo, pode-se uilizar Z f como boa aproximação para Zf. Exemplo: será usado adiane que, se ~ z ~ = limδ δ = z Z f Z f Impulsos no limie: Embora o impulso fisicamene não exisa, há várias funções convencionais que exibem odas as propriedades de δ no limie, quando algum parâmero ende a zero. Se a função δ ϵ é al que: enão, dendo: No Exemplo.-3 foi esudado o pulso sinc com largura 1/=1/W: área sob a curva de z é dada por: Zf = = Z = /W = 1/W, ou seja, o produo enre o valor de pico e a meia-largura do pulso sinc. #fim do adendo

3 Exemplo: Funções impulsos δ ϵ no limie: lim limδ = δ v δ d = v Área uniária ε ε Área = 1/ε ε = 1 1 v'' No caso δ ϵ = Π, recorre-se a série de McLaurin: v = v + v' , e! lim + / + / + / 3 v v' v'' v' v'' v δ d = lim d + d + d +... = limv = v!! 1 / / / c.q.d. Propriedades do impulso: a Replicação Imporane!! Ou seja, a convolução de v com δ d resula na própria função, v, deslocada de d. Prova: sabendo-se que δ = δ inuiivamene, e,, em-se iso será mosrado adiane v * δ d = v λ δ[ d λ] dλ = v λ δ[ λ d ] dλ = v λ δ[ λ m] dλ = v m = v d inverer sinal na qual se fez m=λ e se aplicou a definição de impulso.5-1, para um impulso em λ=m [vide iem b a seguir]. b mosragem Ou seja, seleciona/ amosra o valor de v em = d, o pono onde δ d esá localizado. Prova: direo da própria definição.5-1.

4 c Muliplicação Ou seja, o valor da função em = d, iso é v d, passa a ser igual à área do impulso δ d. d Mudança de escala Porano, em relação à variável independene, a função δα aua como δ/ α, ou seja, em sua área reduzida aumenada em 1/ α no caso em que α >1 α <1. Corolário: Fazendo-se α = 1, mosra-se a propriedade de simeria do impulso: δ = δ. e Relação com a função degrau uniário Sabendo-se que: como havia sido previso inuiivamene 1, > obém-se: δ λ dλ = = u, degrau uniário 9c, < du Corolário derivada = inversa da inegral : δ = 9d d Exemplo: Teorema da replicação Δ a Esboçar o gráfico da função rem de impulsos, definida por rept [ δ ] = δ nt, para n ineiro. n= b Esboçar o gráfico de rept [ v ] = v * rept [ δ ], onde v = Π /, para < T. Solução: a Gráfico de rep T [δ]: rep T [ ] * b Usando-se a propriedade de replicação, obém-se rep [ v ] = v * δ nt = v * δ nt = v nt T n= n= n=

5 Impulsos em Frequência Seja v= um sinal de energia infinia que, em princípio, não eria ransformada de Fourier. E[ v ] = v d = o se enar calcular a sua ransformada de Fourier usando-se a definição, seria obido: V f j f = v e d = e j f d = j f e jf V f = [cos f jsen f ] =?? j f Em ouras palavras, exise a dificuldade de se calcular a inegral da exponencial complexa* : e j f d =?? inegral em, expoene negaivo *Obs: esa inegral será calculada adiane! Conudo, a ransformada de Fourier de v= pode ser obida no limie, considerando-se que: sincw Área = Sendo conhecido o seguine par de TF :, pode-se proceder ao cálculo da TF no limie [lembrar que 1 f lim Π = limδ f, ϵ = W ]: e daí esabelecer que: I{ v } = I{lim sincw} = lim I{ sincw} W W

6 Inerpreação: δf f O especro da função consane no domínio do empo é um impulso no domínio da frequência. Ese resulado concorda com a inuição, observando-se que um sinal consane não apresena nenhuma variação emporal e, porano, seu coneúdo especral deve esar confinado em f = sinal DC. Pode-se conferir esa alegação maemaicamene, usando-se.5-1 e a TF inversa, iso é: rocando por f, e: inversa jf ou seja, de fao, v=. v f = e lém disso, usando a definição de TF para =1, conclui-se que: I[ v ] = V f = v e a inegral da exponencial complexa é igual ao impulso! jf d I[1] = 1e jf f d = δ f 1 δf, e assim, e j f d = δ f inegral em, expoene negaivo Forma alernaiva de demonsração: Usar o pulso reangular: v = lim Π / = e o par de ransformada de Fourier: f ssim, calcula-se a ransformada de Fourier no limie para mosrar que: relação usada por Carlson v = δf Prova: Fazendo-se ϵ=1/ obém-se lim... = lim..., e daí: 1 f I{ v } = I{lim Π / } = lim I{ Π / } = lim sincf = lim sinc = limδ f = δ f relação usada por Carlson novamene.

7 Dado que: v= a Generalização de : Recorrendo ao eorema da modulação complexa.3-6, iso é: fasor individual generaliza-se.5-11 para o caso onde w = v e jωc = e jωc, para mosrar que: w Wf, onde informando-se que o especro de um fasor individual é um impulso em f =f c. b Cosseno eerno w = Foi viso na Seção. que a condição essencial da análise especral usando a definição de ransformada de Fourier é que o sinal seja não periódico sinal de energia. Ese não é o caso da função cosseno eerno... a menos que se use o impulso em frequência ou seja, TF no limie. Recorrendo-se ao eorema da modulação real.3-7, ou seja: = Wf e.5-11, orna-se possível ober a TF do cosseno eerno: coninua... c Seno eerno Obs: Vf v = sen ω + φ = cos ω + φ 9 c c o / / v e j φ 9 δ f f c + e j φ 9 δ f + f c -f c argvf f c φ 9 f sen ω + φ c j [ e jφ δ f f e c jφ δ f + f c ] -f c φ9 f c Obs: ± j = e f o ± j9

8 d Transformada de Fourier da Série de Fourier Como a série de Fourier se refere a sinais periódicos de poência, em princípio, ela ambém não poderia exibir uma ransformada de Fourier no senido esrio. Iso ambém pode ser superado com o uso do impulso ou seja, TF no limie. Série de Fourier = especro discreo e bilaeral de linhas ou raias. Transformada de Fourier da série de Fourier = especro conínuo de impulsos em frequência. soma de fasores Dado: usando-se 1 fasor individual e o princípio de superposição de efeios eorema da linearidade, se obém: v um especro conínuo??. Explicar!! Especro discreo conínuo: /T = 1/5: = 1/, T = 1/4, f = 4 i Série de Fourier: f = nf = n4 nf = n41/ = n/5 v = soma de linhas especro Linhas n n c n nf = sinc 5 5 sinc n/5=, n/5=±1, ±,... n =±5, ±1,... Especro discreo = para se recuperar v deve-se somar os fasores: cnf expjnf. v = inegral da soma de impulsos soma de impulsos 1 I ii Transformada de Fourier: especro Impulsos Especro conínuo = para se recuperar v deve-se inegrar os impulsos com áreas cnf para ober os fasores.

9 Exemplo: Ober a ransformada de Fourier do rem de impulsos com período T, cuja série de Fourier é dada por função original série de Fourier 1 j nf x = reptδ = δ nt = e T Exercício: demonsrar esa relação! Solução: plicando-se a-b, série de Fourier n n ransformada da série de Fourier com c n =1, e sabendo-se que f =1/T, obém-se x = rep δ = δ nt T n X f = f f nf δ n x rem de impulsos no empo T... -T T T... f -f Xf rem de impulsos em frequência f... -f f f f # Exemplo.5-1: Impulsos e Especros Conínuos forma de onda senoidal na figura abaixo em frequência consane f c, exceo para o inervalo 1/f c < < 1/f c, onde a frequência muda para f c. Deseja-se deerminar seu especro. 1/f c = T f c f c f c Ese é um exemplo de sinal com modulação em frequência FM*. O sinal v pode ser escrio como a soma de rês parcelas, considerando-se que = /f c : Cosseno eerno na frequência f c, com um janela em 1/f c < < 1/f c, na qual será inserido o ermo em f c * Poucos especros de FM êm soluções analíicas Pulso de RF, no inervalo 1/f c < < 1/f c, na frequência f c, e que é inserido na janela. coninua...

10 Para o cálculo da TF empregam-se as seguines relações:.-9ab:.3-7:.5-13: resulando em o qual é um especro conínuo, com componenes impulsivas e não não-impulsivas. coninua..., = / f c O gráfico de Vf esá desenhado na Figura.5-4b apenas para a porção posiiva do especro Sinal com apenas duas frequências? Errado! Superposição de / sincff c com / sincff c Especro com componenes em odas as frequências #

11 Funções Degrau e Sinal Definição: função degrau uniário Definição: função sinal não exibe simeria Obs: 1 u = sgn + 1 exibe simeria ímpar Função sinal sign ou signum função sinal é o caso limie do sinal de energia z mosrado na Fig..5-6, onde, quando b para >. b v = e u v = e b u = e b u função z é escria como: a qual pode ser inerpreada como:, a 1 = 1 e a = 1 al qual discuido no Exercício.3-1, que garania que: coninua...

12 Recordação: na Seção. foi viso que, dado se obém: Foi viso ainda que: al que Enão, do Exercício.3-1, se: ocorre: Porano, de exraem-se a 1 = 1 e a = 1: enão a 1 + a = e a 1 a =, e daí: coninua... Porano, como vem I[lim z ] = lim I[ z ] = lim Z f b b b e em-se um novo par de TF: Observe-se que o especro é imaginário puro, pois sgn é uma função ímpar no empo. coninua...

13 O especro de ampliudes da função sinal esá desenhado na figura abaixo: especro de magniudes área oal nula Observe-se que I[sgn ] ende para quando f = +, e, para, quando f =. Porém, exaamene em f =, deve-se lembrar da propriedade da área, iso é, se w Wf, em-se j f por definição: W f = w e d, e daí, W = w d, ou seja, W é igual a área sob a curva [ou enão, a componene DC ou valor médio de w]. Como w = sgn é uma função ímpar, sua área líquida é nula, e assim, o especro I[sgn ] não exibe impulso em f = ver o caso da função degrau a seguir. não em componene DC! coninua... Função degrau uniário Esa função é muio empregada na eoria de Fourier, pois auxilia a represenar sinais causais: qualquer função emporal muliplicada por u será nula para <. Esa função pode ser considerada como o limie de v quando b, sendo: não possui simeria Porém, não exibe simeria, e não pode se beneficiar do resulado do Exercício.3-1, pois não pode ser escria na forma: Conudo, lembra-se que valor médio = 1/ e porano, usando.5-11 e.5-17: especro complexo coninua...

14 O especro de ampliudes da TF do degrau esá desenhado na figura abaixo: Nese caso, o degrau u em valor médio: 1 u = lim T T T / T / 1 u d = lim T T 1 T 1d = lim = T T Consequenemene, seu especro deve incluir um impulso: δf /, da mesma forma que a ransformada de um sinal periódico com valor médio c deve incluir um ermo DC igual a cδf. T / 1 Generalização do Teorema da Inegração : Na Seção.3 foi viso que, se área sob a curva = enão, seguir, generaliza-se ese eorema para o caso em que a área inegrada é não nula. Convoluindo-se u com um sinal de energia arbirário v, em-se: desde que uλ + = u λ = para λ >. uλ uλ 1 1 λ λ coninua...

15 Recorrendo-se ao eorema da convolução: e ao resulado.5-18, qual seja: w = = W f = U f se obém: Usando-se propriedade da muliplicação por impulso Vf δf = V δf, conclui-se que: Esa relação se reduz ao caso da Seção.3 quando V =. # eorema da inegração generalizado Impulsos no Tempo TF de um impulso pode ser deduzida parindo-se de: quando, ou seja, quando o pulso emporal em largura nula e alura infinia impulso no limie. Por sua vez, o śinc f se alarga e ende a função consane uniária. Ou seja, no limie ocorre: I{lim Π / } = lim{ sinc impulso no limie gerando-se: f} impulso no limie I{ limδ } = lim{sinc f} I{ δ } = inerpreação de.5-1 é que um impulso no empo coném odas as componenes de frequências, com que odas elas endo a mesma ampliude.

16 Considerações Gerais a Observe-se que é o dual de. Esas relações refleem casos exremos do fenômeno de espalhameno recíproco: Um sinal de impulso com duração nula em largura especral infinia, enquano um sinal consane com duração infinia em largura especral nula b plicando-se o eorema do delay: à obém-se ou, equivalenemene Porém, por definição o que permie concluir que inegral em f, expoene posiivo Esa inegral permie provar o eorema inegral de Fourier ver a seguir. c Dado que sendo v uma função conínua e com TF dada por Vf = I[v], mosra-se que a TFI realmene é v. Prova: parir das definições de TF direa e inversa: Vf Inegra em λ depois em f Inegra em f depois em λ Conudo, noa-se que a inegral enre colchees corresponde a.5-3, para d = λ, cujo resulado é igual a δ d = δλ. Com isso, Usando a propriedade da replicação:, conclui-se que I -1 [Vf] = v. c.q.d.

17 d Pode-se esabelecer uma relação enre impulso uniário e degrau uniário aravés da inegral e Diferenciando ambos os lados de.5-5, chega-se a oura relação enre δ e u: a qual apresena um impulso como uma derivada de uma desconinuidade degrau. f O eorema da diferenciação.3-8, em conjuno com as relações.5- e.5-6, ou seja: podem agilizar o cálculo de ceras ransformadas de Fourier Procedimeno: diferenciar repeidamene o sinal v aé que uma ou mais desconinuidades degrau apareçam. devido a.5-6, a próxima derivada a n-ésima inclui um impulso: k δ k. com isso, ocorre que sendo w uma função não impulsiva. ransformando.5-7a aravés de.3-8, e usando.5-: se Wf for conhecido, resolver para exrair Vf.

18 Exemplo.5-1: Raised Cosine Pulse Figura.7-7a mosra uma forma de onda chamada de raised cosine pulse: primeira derivada de v é: que não em nenhuma singularidade degrau segunda derivada é: a qual apresena singularidades degrau em = ±. Π = 1 cos d v d coninua... aplicar a regra da cadeia aplicar a regra da cadeia a erceira derivada será: Como muliplicação por impulso, enão que em a forma de Noe-se que a primeira parcela em forma semelhane à primeira derivada, e assim: Π = 1 cos d v d + + Π = + + Π = ] [ cos sen ] [ cos cos 3 3 δ δ u u d d d d d v d cos cos δ δ δ = ± = ± Dado: e d dv w = coninua... aplicando a regra da cadeia

19 d dv w = 3 3 δ δ + + = d dv d v d plicando a TF se obém: pós alguns cálculos algébricos, isola-se Vf: coninua... Obs: O especro de ampliudes de Vf esá desenhado na Fig..5-7c, para f.

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