CAPITULO 08 RESPOSTA À EXCITAÇÃO SENOIDAL PARA CIRCUI- TOS RL, RC E RLC SOLUÇÃO POR EQUA- ÇÕES DIFERENCIAIS. Prof. SILVIO LOBO RODRIGUES

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1 CAPITUO 8 ESPOSTA À EXCITAÇÃO SENOIDA PAA CICUI- TOS, C E C SOUÇÃO PO EQUA- ÇÕES DIFEENCIAIS Prof. SIVIO OBO ODIGUES

2 8. INTODUÇÃO PONTIFÍCIA UNIVESIDADE CATÓICA DO IO GANDE DO SU FACUDADE DE ENGENHAIA - FENG DEPATAMENTO DE ENGENHAIA EÉTICA DEE CICUITOS I A função senoidal é uma das mais imporanes para a eoria de circuios e por várias razões foi escolhida para ser uilizada na maioria das aplicações eléricas. Uma das razões é evidene dos resulados do capíulo anerior; a resposa naural de um circuio de segunda ordem sub amorecido é uma senóide amorecida e, caso não haja perda é uma senóide pura. Assim, parece ser a senóide uma escolha naural, como seria a exponencial decrescene. De fao, a naureza de um modo geral, parece er um caráer senoidal; o movimeno de um pêndulo, uma bola pulando, a vibração de uma corda de violão, a amosfera pol piica de qualquer país e muios ouros. Uma oura razão é enconrada na dependência exisene enre a função senoidal e qualquer oura função periódica. O maemáico francês Fourier demonsrou que a grande maioria das funções periódicas pode ser represenada pela soma de um número infinio de funções senoidais, no empo, com as freqüências múliplas da freqüência fundamenal em que se repee a função periódica. Uma erceira razão é enconrada numa imporane propriedade maemáica da função senoidal. Suas derivadas e inegrais ambém são funções senoidais. Como a resposa forçada em a mesma forma que a função exciação. Suas inegrais e derivadas ambém serão senoidais. A funçãoexciação senoidal produzirá uma resposa forçada senoidal em odo circuio linear. A função exciação senoidal permie, assim, um manuseio mais simples que qualquer oura função. Finalmene, a função senoidal em imporanes aplicações práicas. É uma função fácil de ser gerada e sua forma de onda é usada, predominanemene, pela indúsria de geração e disribuição de energia elérica. 8. CAACTEÍSTICAS PINCIPAIS DE UMA SENÓIDE Uma volagem de variação senoidal é definida como: ( = m ( ω θ ( = ( ω θ v V sen v V cos m ou (8. Os parâmeros que definem uma onda senoidal são: a ampliude de V m, a freqüência angular ω e a fase θ. Vemos na figura 8. uma onda senoidal cuja fase θ = º. Figura 8. Função senoidal v( = V m senω raçada em função a ω b. Professor Silvio obo odrigues

3 PONTIFÍCIA UNIVESIDADE CATÓICA DO IO GANDE DO SU FACUDADE DE ENGENHAIA - FENG DEPATAMENTO DE ENGENHAIA EÉTICA DEE CICUITOS I Na figura 8.a a função é represenada em função de ω e a sua naureza periódica é evidene sendo o período de π radianos. Na figura 8.b, senω é raçado como uma função do empo e, nese caso, o período é T. O período pode ser expresso em graus ou ocasionalmene em unidades, ais como cenímeros ou polegadas. A uma onda senoidal com um período T correspondem /T períodos cada segundo. ogo sua freqüência f é: f = Hz T Assim, Hz é idênico a um ciclo por segundo. Da figura 9.a podemos observar que: ω T = π π ω= = π f rad/s T Na figura 8. podemos observar uma senóide, defasada, esando adianada de θ radianos. (8. (8.3 (8.4 Figura 8. Senóide defasada de θ radianos V m cos(ωθ. Em Engenharia Elérica, o ângulo de fase é, geralmene, dado em graus e não em radianos, não havendo nenhuma confusão se o símbolo de grau for sempre uilizado. Assim, podemos represenar: ou Duas ondas senoidais que devem ser comparadas em fase devem ser escrias como ondas senoidais ou como ondas cossenoidais; ambas devem ser escrias com ampliude posiiva e devem er a mesma freqüência. Enão, podemos dizer que: Em relação a v = sen π π 6 v = sen π 3º ( = ( v V sen 5 3º m ( = ( = ( v V cos 5 º V sen 5 º m m Professor Silvio obo odrigues 3

4 PONTIFÍCIA UNIVESIDADE CATÓICA DO IO GANDE DO SU FACUDADE DE ENGENHAIA - FENG DEPATAMENTO DE ENGENHAIA EÉTICA DEE CICUITOS I Esá arasada de 3º, ou ambém é correo dizer que v esá 3º avançado em relação a v já que pode ser escria como: v = V sen 5 6º ( m 8.3 ESPOSTA FOÇADA À FUNÇÃO-EXCITAÇÃO SENOIDA CICUITO Inicialmene, escreveremos a equação diferencial que se aplica ao circuio dado. A solução complea dessa equação é composa de duas pares: a solução complemenar (chamada de resposa naural e a solução paricular (ou resposa forçada. A resposa naural é independene da forma maemáica da função-exciação e depende, apenas, do ipo do circuio, dos valores dos elemenos e das condições iniciais. A solução naural pode ser obida admiindo-se que odas as funções-exciações sejam nulas e, dese modo, a equação é reduzida a uma simples equação diferencial homogênea. A resposa naural para os circuios, C e C é idênica às já esudadas. Usaremos resposa em esado de repouso como sinônimo de resposa forçada e os circuios que começaremos a analisar esarão no esado de repouso senoidal ou esado esacionário senoidal. Consideremos agora o circuio mosrado na figura 8.3. A fone de volagem senoidal v s = v m cosω foi ligada há muio empo e a resposa naural já amoreceu oalmene. Vamos ober a resposa forçada. Figura 8.3 Um CKT alimenado por fone senoidal. A equação diferencial para o circuio di i V cos m d = ω (8.5 A solução para i( é da forma: ( i = I cos ω I sen ω (8.6 Onde I e I são consanes que dependem de V m,,, e ω. Professor Silvio obo odrigues 4

5 PONTIFÍCIA UNIVESIDADE CATÓICA DO IO GANDE DO SU FACUDADE DE ENGENHAIA - FENG DEPATAMENTO DE ENGENHAIA EÉTICA DEE CICUITOS I Subsiuído (8.6 em (8.5: I ω sen ω I ω cos ω Icos ω Isen ω = Vmcos ω I ω I sen ω I ω I V cos ω = m Para que esa equação seja verdadeira em odo : I ω I = I ω I V = m esolvendo o sisema: I I V = ω ω V = ω m m ogo a equação para i( fica: ω i( = Vm cos ω V m sen ω ω ω Esa forma de solução é um pouco complicada e podemos escrevê-la numa forma mais simples: ( = ( ω θ i Acos (8.7 (8.8 (8.9 Fazendo a expansão de i( e comparando com a equação 8.8 obemos A e θ. Vm ω Vm Acos θ cos ω Asen θ sen ω= cos ω sen ω ω ω Vm Acos θ= ω ω Vm Asen θ= ω Dividindo as equações: Asen θ ω ω = g θ= θ= g Acosθ (8. (8. (8. Desenhando um riângulo auxiliar obemos: cos θ= ω (8.3 Professor Silvio obo odrigues 5

6 PONTIFÍCIA UNIVESIDADE CATÓICA DO IO GANDE DO SU FACUDADE DE ENGENHAIA - FENG DEPATAMENTO DE ENGENHAIA EÉTICA DEE CICUITOS I Figura 8.4 Triângulo auxiliar onde Aplicando a equação 8.3 na 8.: cos θ= ω A = V m ω (8.4 A solução para i( pode enão ser escria: V i cos g ω m ( = ω ω (8.5 Como pode ser observado, a correne esá arasada em relação a ensão. O ângulo de defasagem θ depende da razão enre ω e. Chamamos ω de reaância induiva do induor; sua unidade é OHMS e dá uma medida da reação imposa pelo induor à passagem de correne senoidal. A resposa naural mais a resposa forçada, iso é, a resposa complea fica enão: V i( = ke cos ω g ω m ω (8.6 Onde k é obido a parir das condições iniciais do CKT. Professor Silvio obo odrigues 6

7 PONTIFÍCIA UNIVESIDADE CATÓICA DO IO GANDE DO SU FACUDADE DE ENGENHAIA - FENG DEPATAMENTO DE ENGENHAIA EÉTICA DEE CICUITOS I 8.4 ESPOSTA FOÇADA À ENTADA SENOIDA CKT C Consideremos o circuio da figura 8.5 ao qual é aplicada a correne i( = I m cosω Figura 8.5 CKT C paralelo alimenado por uma fone senoidal. A equação diferencial para o circuio pode ser obido a parir da equação de nós para as correnes. dv v ω = Im cos ω = C d (8.7 Vamos considerar o CKT em esado de repouso, iso é, o ransiório já desapareceu. A solução forçada é da forma: v = V cos ω Vsen ω f (8.8 Aplicando na equação diferencial: V V Imcos ω = CV ω sen ω CV ω cos ω cos ω sen ω eunindo as componenes em seno e cosseno: V V CV ω sen ω CV ω Im cos ω = A solução para odo : V ω = CV V CV ω I m = (8.9 (8. Professor Silvio obo odrigues 7

8 PONTIFÍCIA UNIVESIDADE CATÓICA DO IO GANDE DO SU FACUDADE DE ENGENHAIA - FENG DEPATAMENTO DE ENGENHAIA EÉTICA DEE CICUITOS I esolvendo o sisema: V V = ω C I ωc = ω C I m m (8. (8. A solução forçada é enão expressa por: Im ωc v( = cos ω I m sen ω ω C ω C Da mesma forma a resposa forçada pode ser colocada na forma: ( = ( ω θ v Acos o m ω ωc m Im ωc A cos θ cos ω Asem θ sen ω = ω C cos ω ω C Im sen ω I Acos θ= ω C Asen θ= I ω C (8.3 (8.4 (8.5 Dividindo as equações: g θ=ω C θ= ω θ= g ωc (8.6 Usando um riângulo auxiliar. Figura 8.6 Triângulo auxiliar onde cos θ= ω C Professor Silvio obo odrigues 8

9 PONTIFÍCIA UNIVESIDADE CATÓICA DO IO GANDE DO SU FACUDADE DE ENGENHAIA - FENG DEPATAMENTO DE ENGENHAIA EÉTICA DEE CICUITOS I Da figura obém-se: cos θ= ω C Aplicando na equação 8.4 emos: A = I m ω C (8.7 A solução forçada fica represenada por: ( = I ω ω ω C m v = cos ω g ωc (8.8 A solução complea para o circuio considerando a resposa naural mais a forçada oma a seguine forma: I C m v( = ke cos ω g ω C ω C (8.9 Onde k é obido a parir das condições iniciais. 8.5 ESPOSTA À ENTADA SENOIDA CKT C Vamos esudar a forma de solução para um CKT série dado pela figura 8.7. Figura 8.7 CKT C série resposa à enrada senoidal. Professor Silvio obo odrigues 9

10 PONTIFÍCIA UNIVESIDADE CATÓICA DO IO GANDE DO SU FACUDADE DE ENGENHAIA - FENG DEPATAMENTO DE ENGENHAIA EÉTICA DEE CICUITOS I A equação diferencial para o CKT será de ª ordem e pode ser obida a parir das equações de malha. ( v = v v v s c di vmcos ω = i v d Como: dv i= C d c c dvc dvc Vmcos ω = C C v c d d (8.3 A solução complea para esa equação em duas componenes, a resposa naural e a forçada. ( v = v v c cn cf Professor Silvio obo odrigues (8.3 Vamos desenvolver a solução uilizando como exemplo os seguines dados para o circuio da figura 8.7. = H C= F 3 = Ω v u cos s c ( = ( = i A v = V Usando os dados fornecidos escreveremos a equação diferencial que represena o CKT. ( u cos dvc 3dvc = d d v c (8.3 Observe que a função u( serve apenas para indicar que a fone enrou em operação em =. Para obermos a solução naural precisamos deerminar as raízes caracerísicas que nos indicarão o ipo de amorecimeno e a forma de solução. 3 s s = = 3 ± 9 8 s = s = s = s 3s

11 PONTIFÍCIA UNIVESIDADE CATÓICA DO IO GANDE DO SU FACUDADE DE ENGENHAIA - FENG DEPATAMENTO DE ENGENHAIA EÉTICA DEE CICUITOS I ogo, o circuio é superamorecido e a resposa naural é da forma: v = A e A e cn (8.33 Para a obenção da solução forçada, parimos da hipóese de solução: v = V cos V sen cf (8.34 E enão aplicamos a equação diferencial. Vamos anes ober a ª e ª derivadas para faciliar a solução. dv d cf dvcf d = V sen V cos = 4V cos 4V sen evando à equação diferencial: 3 cos = 4Vcos 4Vsen Vcos Vsen Vcos Vsen V 3V V cos V 3V V sen = V 3V = V 3V = = V = 3V V = 3 = V 3 Vcf = cos sen Passando para a forma: vcf = Acos( θ 3 A cos θ cos Asen θ sen = cos sen Acos θ= 3 Asen θ= g θ= 3 θ= 8, 4º Professor Silvio obo odrigues

12 PONTIFÍCIA UNIVESIDADE CATÓICA DO IO GANDE DO SU FACUDADE DE ENGENHAIA - FENG DEPATAMENTO DE ENGENHAIA EÉTICA DEE CICUITOS I A = =, 368 cos8, 4º cf v =, 368 cos 8, 4º A solução complea pode, enão, ser escria: ( = ( v A e A e, 368cos 8, 4º c Para obenção das consanes A e A usa-se as condições iniciais. Como v c (=V: = A A, A A =, (8.35 (8.36 Para usarmos a correne inicial precisamos da derivada da ensão no capacior pois como o circuio é série: i ( =i C (. ic dvc = = = V s C d = dvc ( = Ae Ae, 6336sen 8, 4º d Aplicando a condição inicial: = A A, 6336sen 8, 4º = A A, 6 A A =,4 (8.37 esolvendo o sisema formado por 8.36 e 8.37 emos: A = 3,6 A =,5 A solução final é enão obida: c ( = ( v 3, 6e, 5e, 368cos 8, 4º (8.38 Professor Silvio obo odrigues

13 PONTIFÍCIA UNIVESIDADE CATÓICA DO IO GANDE DO SU FACUDADE DE ENGENHAIA - FENG DEPATAMENTO DE ENGENHAIA EÉTICA DEE CICUITOS I Figura 8.8 A resposa complea é represenada pela linha cheia. 8.6 ANÁISE DOS NÓS E DAS MAHAS PAA CKT C Nese iem vamos uilizar os méodos de análise de nós e malhas para deerminar a equação diferencial para o circuio dado. Consideremos o circuio da figura 8.9 para o qual são conhecidos os valores iniciais de ensão no capacior (V o e correne no induor (I o. Figura 8.9 Análise de nós para obenção da equação diferencial que define o CKT. Para o nó emos: dv v = ( C Io v v d = is d (8.39 Professor Silvio obo odrigues 3

14 PONTIFÍCIA UNIVESIDADE CATÓICA DO IO GANDE DO SU FACUDADE DE ENGENHAIA - FENG DEPATAMENTO DE ENGENHAIA EÉTICA DEE CICUITOS I Para o nó : v = Io v v d (8.4 Podemos ainda esabelecer a condição inicial para a ensão v : v = V o (8.4 Somando as equações 8.39 e 8.4 obemos: dv v v = ( C = is d (8.4 Derivando a equação 8.4: v v dv = d Ficando enão: v = v dv d (8.43 Derivando a úlima expressão: dv dv d v d d d = Usando as expressões 8.43 e 8.44 na equação 8.4: dv C d v v dv v C = is d d d ( (8.44 Simplificando e muliplicando por odos os ermos chegamos finalmene à equação diferencial em v. dv dv C C v is( (8.45 = d d Para complear a solução precisamos ober as condições iniciais para v. Do circuio obemos: v = I o (8.46 Professor Silvio obo odrigues 4

15 PONTIFÍCIA UNIVESIDADE CATÓICA DO IO GANDE DO SU FACUDADE DE ENGENHAIA - FENG DEPATAMENTO DE ENGENHAIA EÉTICA DEE CICUITOS I Da expressão 8.43 podemos ober: dv d = v v = (8.47 Para deerminar v basa aplicar a solução obida para v na expressão v = v dv d Aplicando Thévenin no CKT da figura 8.9 obemos um CKT que pode ser resolvido pela aplicação da análise de malhas. Figura 8. Equivalene Thevenin da figura 8.9. As condições são manidas v c (=V o e i (=I o. Para a malha : i V ( i i d v C = Para a malha : o s di d C i = I Somando 8.49 e 8.48 i i id Vo = o i di i = V d s (8.48 (8.49 (8.5 (8.5 Professor Silvio obo odrigues 5

16 PONTIFÍCIA UNIVESIDADE CATÓICA DO IO GANDE DO SU FACUDADE DE ENGENHAIA - FENG DEPATAMENTO DE ENGENHAIA EÉTICA DEE CICUITOS I Desa expressão obemos: i V di = s d i (8.5 Diferenciando 8.49: di di i i = d d C C (8.53 Aplicando (8.5 em (8.53: di di i vs di i = d d C C C d C Simplificando e muliplicando por C: C C i di di s = d d A equação (8.54 represena a equação diferencial para o CKT em ermos de i. As condições iniciais são definidas por: i = i o di V = i = V I d = o o o V (8.54 (8.55 (8.56 Após ober i pode-se ober i a parir da equação (8.5. v di i = s d i (8.57 Professor Silvio obo odrigues 6

17 PONTIFÍCIA UNIVESIDADE CATÓICA DO IO GANDE DO SU FACUDADE DE ENGENHAIA - FENG DEPATAMENTO DE ENGENHAIA EÉTICA DEE CICUITOS I 8.7 EXECÍCIOS Obenha o ângulo de araso de i em relação a i se = ( π i ( cos 3 A quando: a = ( π b = ( π c = ( π i ( 8cos A i ( 5sen 5 A i ( 6sen 3 A Solução: a = ( π = ( π i ( 8cos 8cos 6 A I -6 o -3 o I i esa arasada de 3 o em relação a i. b = ( π = ( π i ( 5sen 5 5cos 4 A -4 o -3 o I I i esa arasada de o em relação a i. Professor Silvio obo odrigues 7

18 PONTIFÍCIA UNIVESIDADE CATÓICA DO IO GANDE DO SU FACUDADE DE ENGENHAIA - FENG DEPATAMENTO DE ENGENHAIA EÉTICA DEE CICUITOS I c = ( π = ( π = ( π i ( 6sen 3 6sen 6cos A - o -3 o I I i esa arasada de 9 o em relação a i. Enconre A,B,C e Ф se ( π ( π = ( π ( π = ( π Φ 6cos 3 4sen 45 A cos Bsen Ccos Solução: ( π ( π = ( ( π ( π ( 6cos 3 4sen 45 6 cos cos 3 sen sen 3 4 cos π cos 45 sen π cos 45 = = 5, 96cos π 3sen π 8, 8sen π 8, 8 cos π = = 8, 4cos π 58, 8sen π A = 8,4 B = 58,8 ( π Φ = ( Φ ( π ( Φ ( π ( Φ = ( Φ = sen( Φ ( Φ Ccos Ccos cos Csen sen Ccos 8, 4 Csen 58, 8 C 58, 8 = C cos 8, 4 g Φ =, 6537 Φ= 36 o 8, 4 C = = 99,7 cos 36 o ( Professor Silvio obo odrigues 8

19 PONTIFÍCIA UNIVESIDADE CATÓICA DO IO GANDE DO SU FACUDADE DE ENGENHAIA - FENG DEPATAMENTO DE ENGENHAIA EÉTICA DEE CICUITOS I 3 No circuio abaixo deermine em = 6ms os valores de a i ( b A poência absorvida pelo resisor c A poência absorvida pelo induor 5Ω v(=5cos(πv i( 5mH Solução: a di v = i d di 5cos( π = 5i,5 d i = I cos π I sen π ( π = ( π ( π π ( π π ( π ( π = ( π ( π = π f 5cos 5 I cos I sen, 5 I sen I cos 5cos 5I 5 I cos 5 5I 5 I = 5I 5 π I sen π 5I = 5 π I 5πI πi I = = I = =, , 449 π, 5898 I = =, i =, 5898 cos π, 6648sen π f f i 6ms =, 493, 5833 =, 9A p = 5.i = 5., 9 = 7, 89W b ( Professor Silvio obo odrigues 9

20 PONTIFÍCIA UNIVESIDADE CATÓICA DO IO GANDE DO SU FACUDADE DE ENGENHAIA - FENG DEPATAMENTO DE ENGENHAIA EÉTICA DEE CICUITOS I = v i c p di v = =, 5, 5898sen(,6648cos( d π π π π v 4, 97sen 6,5cos ( = ( π ( π = = = = v 6ms 3, 75 8,8 3, 83 p 6ms 3, 83, 9 34, 76W 4 Depois de usar o eorema de Thévenin para simplificar o circuio abaixo deermine, em =, os valores de: a v b v c v V - V - 5Ω 6Ω sen( V Ω v H - Solução: v - 6Ω,sen( A 5Ω Ω v H - Professor Silvio obo odrigues

21 PONTIFÍCIA UNIVESIDADE CATÓICA DO IO GANDE DO SU FACUDADE DE ENGENHAIA - FENG DEPATAMENTO DE ENGENHAIA EÉTICA DEE CICUITOS I v - 4Ω 6Ω 8sen( V i v H - di 8sen ( = i d Sendo i = I cos( I sen( f = 8sen I cos I sen I sen I cos 8 = I 4I = I 4I I = I 8 = I 8I I I = 8mA = 6mA ( = = ( = i 8sen 6cos ma v 6i, 6sen, 56cos V Em = v = -,56V di v = =, 6cos( 3, sen( d v = 3,V Para a obenção de v obemos a equação de laço no circuio inicial = sen v v v Professor Silvio obo odrigues

22 PONTIFÍCIA UNIVESIDADE CATÓICA DO IO GANDE DO SU FACUDADE DE ENGENHAIA - FENG DEPATAMENTO DE ENGENHAIA EÉTICA DEE CICUITOS I Em = v =,56 3, =,64V 5 Para o circuio abaixo mosre que a correne i é definida por di 6i, = 4cos. d i' Ω v X - Ω i 4cos(V,v X mh Solução: Chamando de i a correne que sai da fone X X ( i =,v i v = i ( em ( i =, 4i i =, 6i ( 4 di 4cos i vx, 3 d = ( e ( 4 em ( 3 di 4cos =,6i i, d di 4cos( = 6i, d Professor Silvio obo odrigues

23 PONTIFÍCIA UNIVESIDADE CATÓICA DO IO GANDE DO SU FACUDADE DE ENGENHAIA - FENG DEPATAMENTO DE ENGENHAIA EÉTICA DEE CICUITOS I 6 Sendo = v = cos 5 3cos V, no circuio que segue, deermine i (. S Ω i v S H Solução: Usa-se o eorema da superposição considerando v s como duas fones independenes de freqüências ω = 5 rad/s e ω = rad/s. Para a fone Ω i cos(5v H i = Acos 5 Bsen 5 cos 5 = i d = di = cos 5 A cos 5 Bsen 5 5Asen 5 5B cos 5 = A B = B A A = B = A A = e B = i = cos 5 sen 5 Professor Silvio obo odrigues 3

24 PONTIFÍCIA UNIVESIDADE CATÓICA DO IO GANDE DO SU FACUDADE DE ENGENHAIA - FENG DEPATAMENTO DE ENGENHAIA EÉTICA DEE CICUITOS I Para a fone Ω i 3cos(V H i = Ccos Dsen 3cos = i d = ( = ( ( = di 3cos Ccos Dsen Csen Dcos 3 = C D = D C D = C 3 = C 4C C =, 6 e D =, i =,6cos,sen i i i ( = sen( i cos 5 sen 5, 6cos, Passando para a forma ( = ( θ ( θ ( θ = ( θ = θ = i k cos 5 k cos k cos g 45 ksen( θ = k = =, 44 k cos θ =, 6 g θ = θ = 63, 4, k sen( θ =, k = =, 34 sen 63, 4 ( = ( ( 63,4 i, 44cos 5 45, 34cos Professor Silvio obo odrigues 4

25 PONTIFÍCIA UNIVESIDADE CATÓICA DO IO GANDE DO SU FACUDADE DE ENGENHAIA - FENG DEPATAMENTO DE ENGENHAIA EÉTICA DEE CICUITOS I 7 Para a forma de onda senoidal mosrada na figura que segue deermine: a o período T; b a freqüência f; c a freqüência ω; d a fase Ф; f = Asen ω φ e a ampliude máxima A sendo ( Solução: f( -5-8, (ms ( = ( ω φ = = ( φ f Asen f 5 5 Asen 3 = ( ω φ f, = Asen, A = 8 do gráfico 5 sen( φ= 8 φ= 38,68 =,675 rad ω = 3,,675 ω= 56,5 rad / s π a T = =,7ms f = ω T b f = 89,5Hz c ω= π 89, 5 = 56,5 rad / s d φ= 38, 68 e A = 8 Professor Silvio obo odrigues 5

26 PONTIFÍCIA UNIVESIDADE CATÓICA DO IO GANDE DO SU FACUDADE DE ENGENHAIA - FENG DEPATAMENTO DE ENGENHAIA EÉTICA DEE CICUITOS I 8 Uma senóide de Hz em um valor máximo posiivo de 5V em =,34s. Expresse a senóide na forma A cos(ω B sen(ω. Solução: ( = m ( ω φ ( = ( π φ v v sen v 5sen,34 π A senóide é máxima quando π,34 φ= π φ= 77,5345 = 75,96 rad =,5677 rad s v 5sen, 568 v 5sen cos, 568 5cos sen, 568 v 45, 3sen 6, 63cos ( = ( π ( = ( π ( π ( = ( π ( π. 9 No circuio que segue vs = cos( 5 enconre, K, i( e v (. e = ( v k cos 5 45 V. Se = 8mH v - i( v s =cos(5 8mH v - k i( = cos( 5 45 cos di ( 5 k cos ( 5 45 =,8 d 5k cos 5 cos sen 5 sen k cos 5 45, 8 sen 5 45 = ( ( Professor Silvio obo odrigues 6

27 PONTIFÍCIA UNIVESIDADE CATÓICA DO IO GANDE DO SU FACUDADE DE ENGENHAIA - FENG DEPATAMENTO DE ENGENHAIA EÉTICA DEE CICUITOS I 3, 47cos 5 9, 696sen 5 = k cos 5 cos 45 ksen 5 sen 45 4k 4k sen 5 cos 45 cos 5 sen 45 k 4k k 4k 3, 47 = 9, 696 = 3, 47 4k 9, 696 4k 4 = k = k = k 4 k = 4,9 4,9 k = 4 4, 9 4 7, 854 = 4 4,9 7, 854 = 4 4 ( = ( 7, = 4, 9 96, 4 4,6 96, 4 7, 854 4, 9 97, 76 = = 8, Ω 3, 764 4,9 k = =, ,, 456 i( = cos , ( = ( i, 4cos 5 45 d v, 8, 4cos 5 45 d ( = ( ( = ( ( = ( v 6, 4sen 5 45 V v 6, 4cos 5 35 V Professor Silvio obo odrigues 7

28 PONTIFÍCIA UNIVESIDADE CATÓICA DO IO GANDE DO SU FACUDADE DE ENGENHAIA - FENG DEPATAMENTO DE ENGENHAIA EÉTICA DEE CICUITOS I Use repeidas ransformações de fones sobre o circuio abaixo e obenha i(. i( 3Ω,H cos(4 A Ω Ω 5cos(4 A i( Ω 3Ω,H Ω 4cos(4 V 5cos(4 V 6Ω i( 9cos(4 V,H v i( cos g ω ω m = ω 9 4, i( = cos 4 g 6 4, 6 Professor Silvio obo odrigues 8

29 PONTIFÍCIA UNIVESIDADE CATÓICA DO IO GANDE DO SU FACUDADE DE ENGENHAIA - FENG DEPATAMENTO DE ENGENHAIA EÉTICA DEE CICUITOS I 9 i( = cos 4 g (, ( i =, 9cos 4 53, Professor Silvio obo odrigues 9