Se um sinal arbitrário x(t) for aplicado à entrada do filtro de quadratura, o sinal na saída será

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1 3.5 Filros de uadraura e Transormada de Hilber ransormada de Fourier permie o esudo de ilros apazes de separar sinais, baseados em suas requênias. Conudo, exisem oasiões onde a separação de sinais baseados em suas ases é mais apropriada. Para esa úlima apliação, a ransormada de Hilber é onveniene. Filro de uadraura (ou ilro de Hilber) Um ilro de quadraura é uma rede passa-udo que simplesmene desloa a ase das omponenes de requênia posiiva por 9, e, as de requênia negaiva, por +9. Noe-se que: H ( ) 9, arg H ( ) + 9, < < resposa impulsiva h () dese ilro pode ser obida a parir de (.5-7), qual seja: apliando-se o eorema da dualidade: j sgn ( ) sgn Ou seja: I { sgn } I { H ( )} I { j sgn } j j j girar sgn() sgn( ) Se um sinal arbirário x() or apliado à enrada do ilro de quadraura, o sinal na saída será y( ) x( ) * h ( ) o qual, por deinição, onsiui a ransormada de Hilber de x(), denoada por y ( ) ) : saída do ilro de Hilber ransormada de Hilber

2 x() Filro de Hilber h () xˆ ( ) Noe-se que a ransormada de Hilber* é uma onvolução e não muda o domínio, al que, x() e xˆ ( ) são ambas unções do empo. Uma oura orma de se deerminar a ransormada de Hilber é usando a propriedade omuaiva da onvolução: + x ( λ) ) x()* * x() λ Com iso, (3.5-) orna-se: ) x( ) * + x( λ) λ ou ) * x( ) + x( λ) λ * lguns auores usa a noação [x()] para represenar a ransormada de Hilber. O espero de xˆ ( ) é obido a parir do eorema da onvolução: ou seja xˆ ( ) x( ) * h iso é apenas uma noação ( ) Δ I{ )} Xˆ ( ) I{ h ( ) * x( )} H ( ) X ( ) Xˆ ( ) Cuidado: não se raa da ransormada de Hilber de X(), mas sim, da ransormada de Fourier de. Fisiamene, a equação (3.5-b), qual seja:, h () (oném preursor) revela que h () é não-ausal, o que signiia que o ilro de quadraura não é realizável!!! Conudo, seu omporameno pode ser aproximado ao longo de uma banda inia de requênia usando uma rede práia.

3 Propriedades da ransormada de Hilber Na sequênia, onsidera-se que o sinal x() é real e que sua TF é X(). a) Um sinal x() e sua ransormada de Hilber xˆ ( ) êm o mesmo espero de ampliudes. lém disso, a energia (ou poênia) num sinal e em sua ransormada de Hilber são iguais. Prova: iso segue direamene da equação (3.5-3), ou seja, donde resula numa densidade esperal: ao quadrado ou não Como j sgn, enão X ˆ ( ) X ( ) Xˆ ( ) I{ˆ( x )} j sgn, a qual omprova a primeira pare da propriedade. X ( ) Inegrando-se ese resulado em se obém: X ( ) d Xˆ ( ) e assim, apliando o eorema de Rayleigh, em-se a energia E: d E x( ) d ) d # b) Se xˆ ( ) é a ransormada de Hilber de x(), enão, x() é a ransormada de Hilber de xˆ ( ), ou seja, xˆ ( ) x( ) Prova: Dado que x ˆ( ) I{ˆ( x )} j sgn X ( ) Xˆ ( ) enão: Filro de Hilber Filro de Hilber x() xˆ ( ) xˆ ( ) h () H () X() X ˆ ( ) ( ) Xˆ ( ) H ) j sgn Xˆ ( ) j sgn [ j sgn X ( )] ( j) (sgn ) X ( ) X ( ) alulando a ransormada inversa, resula: ) I { X ( )} x( ).q.d. Comenário: dois desloamenos suessivos de 9 resula num desloameno oal de 8.

4 ) ransormada de Hilber é uma ransormação linear α ) + βw( ) αvˆ( ) + βwˆ ( ) uja prova segue direamene da deinição. d) Regra de esalonameno + delay: uja prova ia omo exeríio. x( α + β ) α + β ) e) Derivada: n d x( ) n d d d n n ) ) Um sinal x() e sua ransormada de Hilber xˆ ( ) são orogonais enre si, ou seja: para sinais de energia para sinais de poênia. (oninua...) (oninua...) Propriedade: Um sinal x() e sua ransormada de Hilber Prova: No aso de sinais de energia Usando o eorema de Rayleigh: xˆ ( ) x ( ) ) d X ( ) Xˆ ( ) d são orogonais. Reorrendo-se a (3.5-3), ou seja: obém-se x( ) ) d X ( )[ j sgn X ( )] d j X ˆ ( ) X par ímpar ( ) sgn d pois o inegrando oném o produo de uma unção par om uma unção ímpar de e, porano, resula numa unção ímpar, uja inegral enre e + é nula. prova para sinais de poênia é similar.

5 sen( + ) j [ e ( ) e ( + )] jφ jφ ω φ δ δ Exemplo 3.5-: Transormada de Hilber do osseno Se a enrada or, enão, denoando I{ x ˆ( )} Xˆ ( ) em-se porção de posiivo porção de negaivo jφ e jφ e I xˆ ( ) sin( ω + φ) e porano, ) I { Xˆ ( )} sin( ω + φ) os( ω + φ 9 ransormada de Hilber da unção osseno equivale simplesmene a um desloameno de ase de 9. Exemplo: Transormada de Hilber do seno sin 9 ) 9 9 ) ) Exemplo: Calular a ransormada de Hilber de jω e... asor girane om requênia posiiva jω e osω + jsenω osω + jsen na qual oi usada a propriedade de linearidade da TH, e assim ω a TH muliplia j j e sen jos j(os jsen ) a porção posiiva do espero por j ω ω ω je # ω ω + ω Exemplo 3.5-: Transormada de Hilber de um pulso reangular Seja um pulso reangular de ampliude, largura e arasado de /: Pulso x() ransormada de Hilber de x() é dada por: *Para < < /, observa-se que as áreas se anelam enre λ e λ. Fazendo: u λ du, enão du ln u ln( λ) λ λ u ) λ λ [ln( ) ln( )] [ln(( λ)] [ln( ) ln( )] (oninua...)

6 Como < < /, o argumeno do ln é menor que, e assim, xˆ ( ) <. *O resulado ambém se maném para / < <, quando as áreas se anelam enre λ e λ. ) [ln(( λ)] λ [ln( + ) ln( )] [ln( ) ln( + )] Como / < <, o argumeno do ln é maior que, e assim, xˆ ( ) >. (oninua...) Não há áreas de anelameno para < ou >. *Para < : ) [ln(( λ)] [ln( ) ln( )] [ln( ) ln( )] ln λ Como / < <, o argumeno do ln é menor que, e assim, xˆ ( ) <. *Para > : ) ln λ Como / < <, o argumeno do ln é maior que, e assim, xˆ ( ) >. (oninua...)

7 Todos eses asos separados podem ser ombinados numa únia expressão: Transormada de Hilber Os spikes ininios em e (bordas do pulso) podem ser inerpreados omo uma maniesação exrema da disorção por delay. # Reordação: Disorção por delay ransormada de Hilber desloa ossenos por 9, independenemene das suas requênias. É ineressane rever o aso dos sinais periódios das Figuras 3.-3 e 3.-5, sendo que odas as senoides desa úlima oram desloadas de 9. orma de onda quadrada sore disorção, onverendo-se em onda riangular. Todas as omponenes sorem a mesma deasagem, de 9 o Pode-se inerprear que as ossenoides da Fig passaram por um ilro de Hilber, gerando-se a orma de onda da Fig Spikes oram riados nas bordas dos reângulos, embora não sejam ininios.

8 Tabela de ransormadas de Hilber: a) b) ) d) ^ δ () os( ω + θ) sin( ω + θ) sen( ω + θ ) os( ω + θ ) i) j) k) l) e e sin( ) d ( / ) ln + Π Π ( / )sgn( ) ln x()os x()sin e) ) a a a sin( ) sin ( ) ± jω j e ± je ω m) n) x()sin x()os [ + μx( )]os [ + μx( )]sin g) ( a + a ) ( + a ) o) Λ ( / ) ln + ln + h) δ ( ) p) a ( / a) ln, a a + a a Teorema: ransormada de Hilber do produo (modulação) Se ) e w() são sinais disjunos em requênia, sendo que w() em naureza passa-baixa e ) em naureza passa-ala, enão: Prova: Dado que W() para > a ) e w() são sinais disjunos em requênia V() para < a w( ) ) I w ( ) ) w( ) vˆ( ) { W ( )} I W() a +a V() a +a { V ( )} e usando a propriedade de linearidade da ransormada de Hilber: w( ) ) W ( ) V ( W ( ) e j d ') e V ( j ( + ') ') ( j) e empo d d ' j ' d ' w() em naureza passa-baixa W ( ) V ( ') e W ( ) V ( ) em naureza passa-ala ') [ je j ( + ') d d '... TH da inegral igual a inegral da TH TH do asor girane j ( + ') ] d d ' (oninua...)

9 w( ) ) j ( + ') W ( ) V ( ') e d w()??? W ( ) e j d V ( ') ( j) e d ' j ' d ' Observe-se que, se: enão W ( ) V ( o que prova que: w ( ) ) w( ) vˆ( ) # Exemplo: Dado que w() é passa-baixa om W() para > a, vem w ()os ω w ()os ω w ()senω passa-baixa j ' ) V ( ') e d ' passa-ala, para > a. Também w ()sin ω w ()sin ω w ()osω, para > a. ') [ je mensagem W() j ( + ') Para ambas as modulações, oorre somene uma deasagem da 9 ou + 9 da poradora. # ] d d ' TH do asor girane j ' j ' vˆ( ) V ( ') e d ' V ( ') [ je ] d ' poradora I {os ω } a +a +